Кривые линии и поверхности презентация

Содержание

КРИВЫЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ Кривые линии Определение: Кривую линию можно рассматривать как траекторию движущейся точки на плоскости или в пространстве. Кривая линия, все точки которой принадлежат плоскости, называется плоской. Кривая

Слайд 1КРИВЫЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ

Слайд 2КРИВЫЕ ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ
Кривые линии
Определение: Кривую линию можно рассматривать как траекторию

движущейся точки на плоскости или в пространстве.

Кривая линия, все точки которой принадлежат плоскости, называется плоской.

Кривая линия, все точки которой не принадлежат одной плоскости, называется пространственной или линией двоякой кривизны.

Если движение линии происходит по какому-либо закону, то поверхность рассматривают как закономерную, в противном случае поверхность считают незакономерной или случайной.

Слайд 3Для построения проекций кривой линии необходимо построить проекции ряда принадлежащих ей

точек.
Чтобы отчетливее по чертежу представить себе кривую в пространстве, следует на чертеже указывать проекции характерных ее точек: точки наиболее удаленные от плоскостей проекций и наиболее близкие к ним, точки перегиба и т.п.

Слайд 4Образование поверхности
 
На чертеже поверхности задают с помощью образующей и направляющих.
Образующая -

линия, производящая поверхность пространства в каждом своем положении.
Направляющая - одна или несколько неподвижных линий (прямых, кривых), по которым скользит образующая, сохраняя определенное положение в пространстве и соблюдая условия перемещения образующей в пространстве.

AB - образующая
MN - направляющая
S - условие перемещения

Слайд 5Классификация поверхностей
 По типу образующей:
линейчатые – образующая прямая линия (цилиндр, конус);
нелинейчатые -

образующая кривая линия (сфера, тор).
 По типу поверхности:
развертываемые – могут быть совмещены с плоскостью всеми своими точками без разрывов и складок (цилиндр, конус);
неразвертываемые – в противном случае (сфера, тор).

Слайд 6ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ
1. Поверхность вращения общего вида
 
Поверхностью вращения общего вида называют поверхность,

которая образуется произвольной линией (плоской или пространственной) при ее вращении вокруг неподвижной оси.
Поверхность вращения задают образующей ABCD и положением оси вращения .

О1

О2

О1

О2

Слайд 71. Поверхность вращения общего вида
ABCD – образующая

O1O2 - ось вращения

Слайд 81. Поверхность вращения общего вида
ABCD – образующая
O1O2 - ось

вращения
Каждая из точек криволинейной образующей при вращении вокруг оси (O1O2⊥ H) описывает окружность:

Слайд 9ABCD – образующая
O1O2 - ось вращения
Каждая из точек криволинейной

образующей при вращении вокруг оси (O1O2⊥ H) описывает окружность
параллель - сечение поверхности плоскостью, перпендикулярной к оси вращения, представляет собой окружность
экватор – наибольшая параллель;
горло - наименьшая параллель.
Линии, которые возникают при пересечении поверхности плоскостью, проходящей через ось, например, плоскостью Q называют меридианами, а сами плоскости – меридиональными.
Фронтальная плоскость, проходящая через ось вращения – плоскость главного меридиана, а фронтальный очерк – главный меридиан.

1. Поверхность вращения общего вида

Слайд 10Недостающие проекции точек, определяются по признаку принадлежности с помощью параллелей проходящих

через заданные точки: m' → m - ?

1. Поверхность вращения общего вида

Слайд 11Недостающие проекции точек, определяются по признаку принадлежности с помощью параллелей проходящих

через заданные точки: m' → m - ?

1. Поверхность вращения общего вида

Слайд 12Недостающие проекции точек, определяются по признаку принадлежности с помощью параллелей проходящих

через заданные точки: m' → m - ?

1. Поверхность вращения общего вида

Слайд 13Недостающие проекции точек, определяются по признаку принадлежности с помощью параллелей проходящих

через заданные точки: m' → m - ?
Видимость:
- точка видна на фронтальной проекции, если расположена до плоскости главного меридиана;

1. Поверхность вращения общего вида

Слайд 14Недостающие проекции точек, определяются по признаку принадлежности с помощью параллелей проходящих

через заданные точки: m' → m - ?
Видимость:
- точка видна на фронтальной проекции, если расположена до плоскости главного меридиана;
- точка видна на горизонтальной проекции, если она расположена выше экватора и лежит на параллели, диаметр которой больше диаметров всех параллелей, распложенных выше точки.

1. Поверхность вращения общего вида

Слайд 15Поверхности линейчатые развертываемые
  Цилиндрическая поверхность общего вида - образующая AB проходит

через все точки некоторой кривой направляющей MN параллельно заданному направлению.

Слайд 16Поверхности линейчатые развертываемые
  Цилиндрическая поверхность общего вида - образующая AB проходит

через все точки некоторой кривой направляющей MN параллельно заданному направлению.

Слайд 17Поверхности линейчатые развертываемые
  Цилиндрическая поверхность общего вида - образующая AB проходит

через все точки некоторой кривой направляющей MN параллельно заданному направлению.

Слайд 18Поверхности линейчатые развертываемые
  Цилиндрическая поверхность общего вида - образующая AB проходит

через все точки некоторой кривой направляющей MN параллельно заданному направлению.

Слайд 192. Частные виды поверхностей вращения
1). Цилиндр вращения (прямой круговой цилиндр)– линейчатая,

развертываемая, алгебраическая поверхность второго порядка, получается при вращении прямой образующей вокруг оси ей параллельной.

АВ – образующая
О1О2 – ось вращения

Слайд 201). Цилиндр вращения (прямой круговой цилиндр)– линейчатая, развертываемая, алгебраическая поверхность второго

порядка, получается при вращении прямой образующей вокруг оси ей параллельной.

АВ – образующая
О1О2 – ось вращения

2. Частные виды поверхностей вращения

Слайд 211). Цилиндр вращения (прямой круговой цилиндр)– линейчатая, развертываемая, алгебраическая поверхность второго

порядка, получается при вращении прямой образующей вокруг оси ей параллельной.

АВ – образующая
О1О2 – ось вращения

k' → k - ?

2. Частные виды поверхностей вращения

Слайд 221). Цилиндр вращения (прямой круговой цилиндр)– линейчатая, развертываемая, алгебраическая поверхность второго

порядка, получается при вращении прямой образующей вокруг оси ей параллельной.

АВ – образующая
О1О2 – ось вращения

k' → k - ?

2. Частные виды поверхностей вращения

Слайд 23 Коническая поверхность общего вида - образующая SA проходит через некоторую

неподвижную точку S (вершину) и последовательно через все точки некоторой кривой направляющей MN.

SA - образующая MN – направляющая 

Слайд 24SA - образующая

MN – направляющая 
K ∈ Кон ⇒ k' → k - ?

Коническая поверхность общего вида - образующая SA проходит через некоторую неподвижную точку S (вершину) и последовательно через все точки некоторой кривой направляющей MN.

Слайд 25 Коническая поверхность общего вида - образующая SA проходит через некоторую

неподвижную точку S (вершину) и последовательно через все точки некоторой кривой направляющей MN.

SA - образующая MN – направляющая 
K ∈ Кон ⇒ k' → k - ?
K ∈ S2 ⇒ k' ∈ s’2’; k ∈ s2

Слайд 26SA - образующая

MN – направляющая 
K ∈ Кон ⇒ k' → k - ?
K ∈ S2 ⇒ k' ∈ s’2’; k ∈ s2

Коническая поверхность общего вида - образующая SA проходит через некоторую неподвижную точку S (вершину) и последовательно через все точки некоторой кривой направляющей MN.

Слайд 27SA - образующая

MN – направляющая 
K ∈ Кон ⇒ k' → k - ?
K ∈ S2 ⇒ k' ∈ s’2’; k ∈ s2

Коническая поверхность общего вида - образующая SA проходит через некоторую неподвижную точку S (вершину) и последовательно через все точки некоторой кривой направляющей MN.

Слайд 282). Конус вращения – линейчатая, развертываемая, алгебраическая поверхность второго порядка, получается

при вращении прямой образующей вокруг оси пересекающейся с образующей.

SА – образующая
SO – ось вращения

Q ∩Кон по прямым S1, S2 (образующим) (Q ∈ S)

Слайд 292). Конус вращения – линейчатая, развертываемая, алгебраическая поверхность второго порядка, получается

при вращении прямой образующей вокруг оси пересекающейся с образующей.

SА – образующая
SO – ось вращения

Q ∩Кон по прямым S1, S2 (образующим) (Q ∈ S)

Слайд 302). Конус вращения – линейчатая, развертываемая, алгебраическая поверхность второго порядка, получается

при вращении прямой образующей вокруг оси пересекающейся с образующей.

Т ∩ Кон по окружности 3,4 (T ⊥ SO)

Слайд 312). Конус вращения – линейчатая, развертываемая, алгебраическая поверхность второго порядка, получается

при вращении прямой образующей вокруг оси пересекающейся с образующей.

Т ∩ Кон по окружности 3,4 (T ⊥ SO)


R

R

Слайд 322). Конус вращения – линейчатая, развертываемая, алгебраическая поверхность второго порядка, получается

при вращении прямой образующей вокруг оси пересекающейся с образующей.

U ∩ Кон = Парабола 5,6,7 (U ⎟⎟ одной образующей)

Слайд 332). Конус вращения – линейчатая, развертываемая, алгебраическая поверхность второго порядка, получается

при вращении прямой образующей вокруг оси пересекающейся с образующей.

U ∩ Кон = Парабола 5,6,7 (U ⎟⎟ одной образующей)

Слайд 342). Конус вращения – линейчатая, развертываемая, алгебраическая поверхность второго порядка, получается

при вращении прямой образующей вокруг оси пересекающейся с образующей.

R ∩ Кон = Гипербола 8,9,10 (R⎟⎟ двум образующим)

Слайд 352). Конус вращения – линейчатая, развертываемая, алгебраическая поверхность второго порядка, получается

при вращении прямой образующей вокруг оси пересекающейся с образующей.

R ∩ Кон = Гипербола 8,9,10 (R⎟⎟ двум образующим)

Слайд 362). Конус вращения – линейчатая, развертываемая, алгебраическая поверхность второго порядка, получается

при вращении прямой образующей вокруг оси пересекающейся с образующей.

Р∩ Кон = Эллипс (P ∩ все образующие)

Слайд 372). Конус вращения – линейчатая, развертываемая, алгебраическая поверхность второго порядка, получается

при вращении прямой образующей вокруг оси пересекающейся с образующей.v

1'2' - большая ось эллипса

Слайд 382). Конус вращения – линейчатая, развертываемая, алгебраическая поверхность второго порядка, получается

при вращении прямой образующей вокруг оси пересекающейся с образующей.

34 – малая ось эллипса

1'2' - большая ось эллипса

Слайд 392). Конус вращения – линейчатая, развертываемая, алгебраическая поверхность второго порядка, получается

при вращении прямой образующей вокруг оси пересекающейся с образующей.

34 – малая ось эллипса

1'2' - большая ось эллипса

Слайд 402). Конус вращения – линейчатая, развертываемая, алгебраическая поверхность второго порядка, получается

при вращении прямой образующей вокруг оси пересекающейся с образующей.

34 – малая ось эллипса

1'2' - большая ось эллипса

Слайд 412). Конус вращения – линейчатая, развертываемая, алгебраическая поверхность второго порядка, получается

при вращении прямой образующей вокруг оси пересекающейся с образующей.

34 – малая ось эллипса

1'2' - большая ось эллипса

Слайд 422). Конус вращения – линейчатая, развертываемая, алгебраическая поверхность второго порядка, получается

при вращении прямой образующей вокруг оси пересекающейся с образующей.

34 – малая ось эллипса

1'2' - большая ось эллипса

Слайд 432). Конус вращения – линейчатая, развертываемая, алгебраическая поверхность второго порядка, получается

при вращении прямой образующей вокруг оси пересекающейся с образующей.

34 – малая ось эллипса

1'2' - большая ось эллипса

Слайд 442). Конус вращения – линейчатая, развертываемая, алгебраическая поверхность второго порядка, получается

при вращении прямой образующей вокруг оси пересекающейся с образующей.

34 – малая ось эллипса

1'2' - большая ось эллипса

Слайд 452). Конус вращения – линейчатая, развертываемая, алгебраическая поверхность второго порядка, получается

при вращении прямой образующей вокруг оси пересекающейся с образующей.

34 – малая ось эллипса

1'2' - большая ось эллипса

Слайд 463). Сфера – не линейчатая, не развёртываемая, алгебраическая поверхность второго порядка,

получается при вращении окружности или дуги вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и проходящей через ее центр.

2. Частные виды поверхностей вращения

Слайд 472. Частные виды поверхностей вращения
3). Сфера – не линейчатая, не развёртываемая,

алгебраическая поверхность второго порядка, получается при вращении окружности или дуги вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и проходящей через ее центр.

Слайд 48Очерк сферы на любую ПП – окружность:
- на плоскости Н –

экватор;
- на плоскости V - главный меридиан;
- на плоскости W - профильный меридиан.
Окружности параллельные экватору – параллели.

Слайд 49Видимость сферической поверхности на плоскости Н определяет экватор:
точки выше экватора

– видны, ниже – не видны.
Видимость сферической поверхности на плоскости V определяет главный меридиан, на плоскости W – профильный меридиан.

Слайд 50a → a', a″ ?
Точка А принадлежит экватору на

горизонтальной ПП и проекциям экватора на фронтальной и профильной ПП.
Профильная проекция т. А определяется координатным методом по координате YA.

Слайд 51b'→ b, b″ ?
Точка В принадлежит главному меридиану на

фронтальной ПП и проекциям главного меридиана на горизонтальной и профильной ПП.

Слайд 52b'→ b, b″ ?
Точка В принадлежит главному меридиану на

фронтальной ПП и проекциям главного меридиана на горизонтальной и профильной ПП.

( )

Слайд 53 c″ → c ,c' ?
Точка С принадлежит профильному меридиану

на профильной ПП и проекциям профильного меридиана на горизонтальной и фронтальной ПП.

( )

Слайд 54 c″ → c ,c' ?
Точка С принадлежит профильному меридиану

на профильной ПП и проекциям профильного меридиана на горизонтальной и фронтальной ПП.

( )

( )

Слайд 55m' →m, m″ ?
Точка М принадлежит параллели на фронтальной ПП

и проекциям параллели на горизонтальной и профильной ПП.

( )

( )

Слайд 56m' →m, m″ ?
Точка М принадлежит параллели на фронтальной ПП

и проекциям параллели на горизонтальной и профильной ПП.

( )

( )

( )

Слайд 574). Тор – не линейчатая, не развёртываемая, алгебраическая поверхность четвертого порядка,

получается при вращении окружности или дуги вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр.

Образующая – окружность радиуса R
Ось вращения – О1О2

Торовая поверхность образуется путем вращения окружности радиуса R вокруг оси О1О2

О1

О2

Слайд 58Торовая поверхность образуется путем вращения окружности радиуса R вокруг оси О1О2

так, что центр окружности радиуса R описывает окружность радиуса L.

Образующая – окружность радиуса R
Ось вращения – О1О2

Слайд 59Торовая поверхность образуется путем вращения окружности радиуса R вокруг оси О1О2

так, что центр окружности радиуса R описывает окружность радиуса L.

Образующая – окружность радиуса R
Ось вращения – О1О2

Слайд 60Любая точка образующей окружности (M, N, K) при вращении вокруг оси

О1О2 перемещается по окружности своего радиуса.

Образующая – окружность радиуса R
Ось вращения – О1О2

Торовая поверхность образуется путем вращения окружности радиуса R вокруг оси О1О2 так, что центр окружности радиуса R описывает окружность радиуса L.

Слайд 61Горизонтальная проекция торовой поверхности – две концентрические окружности, фронтальная – справа

и слева ограничена дугами полуокружности радиуса R образующей окружности.

Любая точка образующей окружности (M, N, K) при вращении вокруг оси О1О2 перемещается по окружности своего радиуса.

Образующая – окружность радиуса R
Ось вращения – О1О2

Торовая поверхность образуется путем вращения окружности радиуса R вокруг оси О1О2 так, что центр окружности радиуса R описывает окружность радиуса L.

Слайд 62Тор имеет две системы круговых сечений:
1). Плоскости, перпендикулярные к оси вращения

(Р) образуют две концентрические окружности – с радиусами R1 и R2.

Торовая поверхность образуется путем вращения окружности радиуса R вокруг оси О1О2 так, что центр окружности радиуса R описывает окружность радиуса L.

Слайд 63Тор имеет две системы круговых сечений:
1). Плоскости, перпендикулярные к оси вращения

(Р) образуют две концентрические окружности – с радиусами R1 и R2.

Торовая поверхность образуется путем вращения окружности радиуса R вокруг оси О1О2 так, что центр окружности радиуса R описывает окружность радиуса L.

Слайд 642). Плоскости, проходящие через ось вращения (Q) пересекает поверхность тора по

двум образующим окружностям радиуса R.

Тор имеет две системы круговых сечений:
1). Плоскости, перпендикулярные к оси вращения (Р) образуют две концентрические окружности – с радиусами R1 и R2.

Торовая поверхность образуется путем вращения окружности радиуса R вокруг оси О1О2 так, что центр окружности радиуса R описывает окружность радиуса L.

Слайд 65Положение точки на поверхности тора определяется по признаку принадлежности точки линии

данной поверхности. Например, если задана фронтальная проекция точки А и требуется построить горизонтальную проекцию точки, то, как в случае любой поверхности вращения, через точку следует провести окружность, построить проекции этой окружности, и найти на одной из них недостающую проекцию точки.

Торовая поверхность образуется путем вращения окружности радиуса R вокруг оси О1О2 так, что центр окружности радиуса R описывает окружность радиуса L.

Слайд 66Торовая поверхность образуется путем вращения окружности радиуса R вокруг оси О1О2

так, что центр окружности радиуса R описывает окружность радиуса L.

Положение точки на поверхности тора определяется по признаку принадлежности точки линии данной поверхности. Например, если задана фронтальная проекция точки А и требуется построить горизонтальную проекцию точки, то, как в случае любой поверхности вращения, через точку следует провести окружность, построить проекции этой окружности, и найти на одной из них недостающую проекцию точки.

Слайд 67Вид торовой поверхности зависит от соотношения величин L и R:
Если L

> R, то тор называют открытым.
При L = R, то тор называют закрытый или замкнутый.
Если L < R, то тор называют самопересекающийся.

Замкнутый

Слайд 68Самопересекающийся

Слайд 69ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Слайд 70ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Общим способом построения линии пересечения криволинейных поверхностей является

нахождение точек этой линии при помощи вспомогательных секущих поверхностей.
Две поверхности, пересекаясь, образуют некоторые линии, представляющие собой множество точек, общих как для одной, так и для другой поверхности. Таким образом, задача построения линии пересечения двух заданных поверхностей состоит в определении точек, принадлежащих обеим поверхностям.

Кривые поверхности в общем случае пересекаются по кривым линиям: P ∩ Q=L

Слайд 71 Общим способом построения линии пересечения криволинейных поверхностей является нахождение точек этой

линии при помощи вспомогательных секущих поверхностей.
Две поверхности, пересекаясь, образуют некоторые линии, представляющие собой множество точек, общих как для одной, так и для другой поверхности. Таким образом, задача построения линии пересечения двух заданных поверхностей состоит в определении точек, принадлежащих обеим поверхностям.

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Кривые поверхности в общем случае пересекаются по кривым линиям: P ∩ Q=L
Алгоритм определения точек линии пересечения:
1). Пересечь заданные поверхности P и Q вспомогательной секущей поверхностью – T.

Слайд 72 Общим способом построения линии пересечения криволинейных поверхностей является нахождение точек этой

линии при помощи вспомогательных секущих поверхностей.
Две поверхности, пересекаясь, образуют некоторые линии, представляющие собой множество точек, общих как для одной, так и для другой поверхности. Таким образом, задача построения линии пересечения двух заданных поверхностей состоит в определении точек, принадлежащих обеим поверхностям.

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Кривые поверхности в общем случае пересекаются по кривым линиям: P ∩ Q=L
Алгоритм определения точек линии пересечения:
1). Пересечь заданные поверхности P и Q вспомогательной секущей поверхностью – T.
2). Построить линии пересечения вспомогательной поверхности (T) с каждой из заданных поверхностей (P и Q):
Ti ∩ P= ni;

Слайд 73 Общим способом построения линии пересечения криволинейных поверхностей является нахождение точек этой

линии при помощи вспомогательных секущих поверхностей.
Две поверхности, пересекаясь, образуют некоторые линии, представляющие собой множество точек, общих как для одной, так и для другой поверхности. Таким образом, задача построения линии пересечения двух заданных поверхностей состоит в определении точек, принадлежащих обеим поверхностям.

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Кривые поверхности в общем случае пересекаются по кривым линиям: P ∩ Q=L
Алгоритм определения точек линии пересечения:
1). Пересечь заданные поверхности P и Q вспомогательной секущей поверхностью – T.
2). Построить линии пересечения вспомогательной поверхности (T) с каждой из заданных поверхностей (P и Q):
Ti ∩ P= ni;
Ti ∩ Q= mi

Слайд 74 Общим способом построения линии пересечения криволинейных поверхностей является нахождение точек этой

линии при помощи вспомогательных секущих поверхностей.
Две поверхности, пересекаясь, образуют некоторые линии, представляющие собой множество точек, общих как для одной, так и для другой поверхности. Таким образом, задача построения линии пересечения двух заданных поверхностей состоит в определении точек, принадлежащих обеим поверхностям.

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Кривые поверхности в общем случае пересекаются по кривым линиям: P ∩ Q=L
Алгоритм определения точек линии пересечения:
1). Пересечь заданные поверхности P и Q вспомогательной секущей поверхностью – T.
2). Построить линии пересечения вспомогательной поверхности (T) с каждой из заданных поверхностей (P и Q):
Ti ∩ P= ni;
Ti ∩ Q= mi
3). Построить точку пересечения полученных линий пересечения:
ni ∩ mi= Ki

Слайд 75Применение плоскостей в качестве вспомогательной секущей поверхности.
План решения задачи:
I). Определение характерных

точек:
- наивысшей и наинизшей;
- точки, определяющие видимость линии пересечения.
II). Определение промежуточных точек по разработанному алгоритму.
III). Определение видимости линии пересечения.

Слайд 76Т.к. общая плоскость симметрии параллельна фронтальной ПП, то образующие сферы и

конуса пересекаются (лежат в одной плоскости) и дают наивысшую – 10 и наинизшую – 20 точки линии пересечения.

Применение плоскостей в качестве вспомогательной секущей поверхности.

Слайд 77Применение плоскостей в качестве вспомогательной секущей поверхности.
Т.к. общая плоскость симметрии параллельна

фронтальной ПП, то образующие сферы и конуса пересекаются (лежат в одной плоскости) и дают наивысшую – 10 и наинизшую – 20 точки линии пересечения.

Слайд 78Промежуточные точки находим по алгоритму:
1). T1 – вспомогательная секущая плоскость

(|| H)

Применение плоскостей в качестве вспомогательной секущей поверхности.

Слайд 79Промежуточные точки находим по алгоритму:
1). T1 – вспомогательная секущая плоскость

(|| H)
2). T1 ∩ Сф.= L1 (окр. R1);
T1 ∩ Кон.= L2 (окр. R2)
3). L1 ∩ L2 =3040

Применение плоскостей в качестве вспомогательной секущей поверхности.

R1


R2

L1

L2

Слайд 80Вводя новые вспомогательные горизонтальные плоскости и повторяя приведенные построения, можно найти

достаточное количество точек, соединив которые плавной кривой - получить проекции линии пересечения.

Применение плоскостей в качестве вспомогательной секущей поверхности.

Слайд 81Применение плоскостей в качестве вспомогательной секущей поверхности.
Вводя новые вспомогательные горизонтальные плоскости

и повторяя приведенные построения, можно найти достаточное количество точек, соединив которые плавной кривой - получить проекции линии пересечения.

Слайд 82Применение плоскостей в качестве вспомогательной секущей поверхности.
Вводя новые вспомогательные горизонтальные плоскости

и повторяя приведенные построения, можно найти достаточное количество точек, соединив которые плавной кривой - получить проекции линии пересечения.

Слайд 83Применение плоскостей в качестве вспомогательной секущей поверхности.
Вводя новые вспомогательные горизонтальные плоскости

и повторяя приведенные построения, можно найти достаточное количество точек, соединив которые плавной кривой - получить проекции линии пересечения.

Слайд 84Применение плоскостей в качестве вспомогательной секущей поверхности.
Видимость линии пересечения:
на плоскости Н

– определяет экватор сферы;
на плоскости V – определяет общая плоскость симметрии

Вид V

Экв

Общ. плоскость
симметрии

Вводя новые вспомогательные горизонтальные плоскости и повторяя приведенные построения, можно найти достаточное количество точек, соединив которые плавной кривой - получить проекции линии пересечения.

Слайд 85Применение плоскостей в качестве вспомогательной секущей поверхности.
Вид V
Общ. плоскость
симметрии

Слайд 86Общая
пл-ть симметрии

Слайд 87ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
 
Применение сфер в качестве вспомогательной секущей поверхности.
При построении

линии пересечения криволинейных поверхностей в качестве вспомогательных поверхностей часто используют сферы.
В основе применения сфер в качестве вспомогательных секущих поверхностей лежит свойство соосных поверхностей вращения пересекаться по общим окружностям.

Соосными называют поверхности, полученные вращением вокруг одной оси (поверхности с общей осью).

Свойство соосных поверхностей: две соосные поверхности вращения пересекаются по окружности, плоскость которой перпендикулярна оси вращения.

О1

О2

Плоскость окружности перпендикулярна оси вращения и проецируется на фронтальную ПП в виде отрезка m'.

Слайд 88Необходимые условия:
1 Пересекающиеся поверхности должны иметь общую плоскость симметрии.
2. Пересекающиеся поверхности

могут быть представлены как множества окружностей.

Слайд 89Необходимые условия:
1 Пересекающиеся поверхности должны иметь общую плоскость симметрии.
2. Пересекающиеся поверхности

могут быть представлены как множества окружностей.

O1

1). Цил. и Сф. – соосные поверхности (O1)

Слайд 90Необходимые условия:
1 Пересекающиеся поверхности должны иметь общую плоскость симметрии.
2. Пересекающиеся поверхности

могут быть представлены как множества окружностей.

O1

1). Цил. и Сф. – соосные поверхности (O1)
Цил. ∩ Сф. = L1 (окр.) ⊥ O1

Слайд 91Необходимые условия:
1 Пересекающиеся поверхности должны иметь общую плоскость симметрии.
2. Пересекающиеся поверхности

могут быть представлены как множества окружностей.

O1

O2

2). Кон. и Сф. – соосные поверхности (O2)

Слайд 92Необходимые условия:
1 Пересекающиеся поверхности должны иметь общую плоскость симметрии.
2. Пересекающиеся поверхности

могут быть представлены как множества окружностей.

O1

O2

 

Слайд 93Необходимые условия:
1 Пересекающиеся поверхности должны иметь общую плоскость симметрии.
2. Пересекающиеся поверхности

могут быть представлены как множества окружностей.

O1

O2

3). Тор и Сф. – соосные поверхности (O1)

Слайд 94Необходимые условия:
1 Пересекающиеся поверхности должны иметь общую плоскость симметрии.
2. Пересекающиеся поверхности

могут быть представлены как множества окружностей.

O1

O2

3). Тор и Сф. – соосные поверхности (O1)
Тор ∩ Сф = L3 (окр.) ⊥ O1

Слайд 95Необходимые условия:
1 Пересекающиеся поверхности должны иметь общую плоскость симметрии.
2. Пересекающиеся поверхности

могут быть представлены как множества окружностей.

O1

O2

4). Сф. и Сф.1 – соосные поверхности (O2)

Слайд 96Необходимые условия:
1 Пересекающиеся поверхности должны иметь общую плоскость симметрии.
2. Пересекающиеся поверхности

могут быть представлены как множества окружностей.

O1

O2

4). Сф. и Сф.1 – соосные поверхности (O2)
Сф. ∩ Сф.1 = L4 (окр.) ⊥ O2

Слайд 97Применение сфер с постоянным центром
(Концентрических сфер)
Условие применения:
1). Обе поверхности тела вращения
2).

Оси поверхностей пересекаются

Центр вспомогательных секущих сфер находится в точке пересечения осей O1 и O2 заданных поверхностей.

Слайд 98Очерковые образующие конуса и цилиндра пересекаются, т.к. лежат в общей плоскости

симметрии. Точка 1 - наивысшая точка линии пересечения, а точка 2 - наинизшая.

Применение сфер с постоянным центром
(Концентрических сфер)

Условие применения:
1). Обе поверхности тела вращения
2). Оси поверхностей пересекаются

Слайд 99Применение сфер с постоянным центром
(Концентрических сфер)
Условие применения:
1). Обе поверхности тела вращения
2).

Оси поверхностей пересекаются

Алгоритм:
1). Сф. R1 – вспомогательная секущая поверхность

Слайд 100Применение сфер с постоянным центром
(Концентрических сфер)
Условие применения:
1). Обе поверхности тела вращения
2).

Оси поверхностей пересекаются

Алгоритм:
1). Сф. R1 – вспомогательная секущая поверхность
2). Сф. ∩ Кон. = L1 (окр.) ⊥ O1 - как соосные поверхности
Сф. ∩ Цил. = L2 (окр.) ⊥ O2 - как соосные поверхности

Слайд 101Применение сфер с постоянным центром
(Концентрических сфер)
Условие применения:
1). Обе поверхности тела вращения
2).

Оси поверхностей пересекаются

Алгоритм:
1). Сф. R1 – вспомогательная секущая поверхность
2). Сф. ∩ Кон. = L1 (окр.) ⊥ O1 - как соосные поверхности
Сф. ∩ Цил. = L2 (окр.) ⊥ O2 - как соосные поверхности
3). L1 ∩ L2 = 3, 4

Слайд 102Применение сфер с постоянным центром
(Концентрических сфер)
Условие применения:
1). Обе поверхности тела вращения
2).

Оси поверхностей пересекаются

Алгоритм:
1). Сф. R1 – вспомогательная секущая поверхность
2). Сф. ∩ Кон. = L1 (окр.) ⊥ O1 - как соосные поверхности
Сф. ∩ Цил. = L2 (окр.) ⊥ O2 - как соосные поверхности
3). L1 ∩ L2 = 3, 4

Наименьшим радиусом вспомогательной сферы является сфера с наибольшим радиусом, вписанная в одну из поверхностей (в данном случае в конус).

Слайд 103Применение сфер с постоянным центром
(Концентрических сфер)
Условие применения:
1). Обе поверхности тела вращения
2).

Оси поверхностей пересекаются

Алгоритм:
1). Сф. R1 – вспомогательная секущая поверхность
2). Сф. ∩ Кон. = L1 (окр.) ⊥ O1 - как соосные поверхности
Сф. ∩ Цил. = L2 (окр.) ⊥ O2 - как соосные поверхности
3). L1 ∩ L2 = 3, 4

Наименьшим радиусом вспомогательной сферы является сфера с наибольшим радиусом, вписанная в одну из поверхностей (в данном случае в конус).

Слайд 104Применение сфер с постоянным центром
(Концентрических сфер)
Условие применения:
1). Обе поверхности тела вращения
2).

Оси поверхностей пересекаются

Алгоритм:
1). Сф. R1 – вспомогательная секущая поверхность
2). Сф. ∩ Кон. = L1 (окр.) ⊥ O1 - как соосные поверхности
Сф. ∩ Цил. = L2 (окр.) ⊥ O2 - как соосные поверхности
3). L1 ∩ L2 = 3, 4

Наименьшим радиусом вспомогательной сферы является сфера с наибольшим радиусом, вписанная в одну из поверхностей (в данном случае в конус).

Слайд 105Применение сфер с постоянным центром
(Концентрических сфер)
Условие применения:
1). Обе поверхности тела вращения
2).

Оси поверхностей пересекаются

Алгоритм:
1). Сф. R1 – вспомогательная секущая поверхность
2). Сф. ∩ Кон. = L1 (окр.) ⊥ O1 - как соосные поверхности
Сф. ∩ Цил. = L2 (окр.) ⊥ O2 - как соосные поверхности
3). L1 ∩ L2 = 3, 4

Наименьшим радиусом вспомогательной сферы является сфера с наибольшим радиусом, вписанная в одну из поверхностей (в данном случае в конус).

Слайд 106O1
O2
Применение сфер с постоянным центром
(Концентрических сфер)

Слайд 107Пересечение прямой с кривой поверхностью
ПРИМЕР: Построить проекции точек пересечения прямой

с поверхностью сферы, соблюдая условия видимости.

Плоскость Р пересекает поверхность сферы по окружности, которая отобразиться на горизонтальную ПП в виде отрезка прямой по свойству проецирующей плоскости, на фронтальную ПП по свойству принадлежности точек поверхности сферы – в виде эллипса. 

Алгоритм:
1). АВ ⊂ Р(Р⊥ H)


Слайд 108Алгоритм:
1). АВ ⊂ Р(Р⊥ H)
2). Р ∩ Сф = L(l, l')

Плоскость

Р пересекает поверхность сферы по окружности, которая отобразиться на горизонтальную ПП в виде отрезка прямой по свойству проецирующей плоскости, на фронтальную ПП по свойству принадлежности точек поверхности сферы – в виде эллипса. 

Пересечение прямой с кривой поверхностью

ПРИМЕР: Построить проекции точек пересечения прямой с поверхностью сферы, соблюдая условия видимости.

Слайд 109Алгоритм:
1). АВ ⊂ Р(Р⊥ H)
2). Р ∩ Сф = L(l, l')

Плоскость

Р пересекает поверхность сферы по окружности, которая отобразиться на горизонтальную ПП в виде отрезка прямой по свойству проецирующей плоскости, на фронтальную ПП по свойству принадлежности точек поверхности сферы – в виде эллипса. 

Пересечение прямой с кривой поверхностью

ПРИМЕР: Построить проекции точек пересечения прямой с поверхностью сферы, соблюдая условия видимости.

Слайд 110Алгоритм:
1). АВ ⊂ Р(Р⊥ H)
2). Р ∩ Сф = L(l, l')

Плоскость

Р пересекает поверхность сферы по окружности, которая отобразиться на горизонтальную ПП в виде отрезка прямой по свойству проецирующей плоскости, на фронтальную ПП по свойству принадлежности точек поверхности сферы – в виде эллипса. 

Пересечение прямой с кривой поверхностью

ПРИМЕР: Построить проекции точек пересечения прямой с поверхностью сферы, соблюдая условия видимости.

Слайд 111Алгоритм:
1). АВ ⊂ Р(Р⊥ H)
2). Р ∩ Сф = L(l, l')
3).

К1К2 = L ∩ АВ

Плоскость Р пересекает поверхность сферы по окружности, которая отобразиться на горизонтальную ПП в виде отрезка прямой по свойству проецирующей плоскости, на фронтальную ПП по свойству принадлежности точек поверхности сферы – в виде эллипса. 

Пересечение прямой с кривой поверхностью

ПРИМЕР: Построить проекции точек пересечения прямой с поверхностью сферы, соблюдая условия видимости.

Слайд 112Алгоритм:
1). АВ ⊂ Р(Р⊥ H)
2). Р ∩ Сф = L(l, l')
3).

К1К2 = L ∩ АВ

Видимость точек определяет на:
горизонтальной плоскости - экватор;


Экватор

Главн. меридиан

Пересечение прямой с кривой поверхностью

ПРИМЕР: Построить проекции точек пересечения прямой с поверхностью сферы, соблюдая условия видимости.

Слайд 113Алгоритм:
1). АВ ⊂ Р(Р⊥ H)
2). Р ∩ Сф = L(l, l')
3).

К1К2 = L ∩ АВ

Гл. меридиан

Экватор

Видимость точек определяет на:
горизонтальной плоскости - экватор;
фронтальной плоскости- гл. меридиан

Пересечение прямой с кривой поверхностью

ПРИМЕР: Построить проекции точек пересечения прямой с поверхностью сферы, соблюдая условия видимости.

Слайд 114МНОГОГРАННИКИ

Слайд 115МНОГОГРАННИКИ
Определение: Многогранником называется тело, поверхность которого есть объединение конечного числа многоугольников.
Призма

– многогранник, две грани которого n- угольники, лежащие в параллельных плоскостях, остальные n- граней – параллелограммы.

Ребра - прямые, по которым пересекаются смежные грани;
Вершина - точка, в которых пересекаются ребра.

Призма прямая – ребра перпендикулярны основанию.
Призма наклонная – ребра не перпендикулярны основанию.

Слайд 116Пирамида – многогранник, одна из граней которого (основание) есть произвольный многоугольник,

остальные n- граней – треугольники, имеющие общую вершину.

Правильная пирамида – в основании лежит правильный многоугольник, и высота пирамиды проходит через центр этого многоугольника.
Усеченная пирамида – плоскость отсекает вершину и пересекает все боковые грани.
 
Правильные многогранники
(тела Платона):
Тетраэдр – правильный четырехгранник (четыре равносторонних треугольника)
Гексаэдр - правильный шестигранник (куб)
Октаэдр - правильный восьмигранник (восемь равносторонних треугольника)
Додекаэдр - правильный двенадцатигранник (двенадцать правильных пятиугольников)
Икосаэдр - правильный двадцатигранник (двадцать равносторонних треугольников)

Слайд 117Построить недостающие проекции точек, лежащих на поверхности
многогранника соблюдая условия видимости

Слайд 118Построить недостающие проекции точек, лежащих на поверхности
многогранника соблюдая условия видимости

Слайд 119Построить недостающие проекции точек, лежащих на поверхности
многогранника соблюдая условия видимости

Слайд 120Построить недостающие проекции точек, лежащих на поверхности
многогранника соблюдая условия видимости

Слайд 121Построить недостающие проекции точек, лежащих на поверхности
многогранника соблюдая условия видимости

Слайд 122Построить недостающие проекции точек, лежащих на поверхности
многогранника соблюдая условия видимости

Слайд 123Построить недостающие проекции точек, лежащих на поверхности
многогранника соблюдая условия видимости

Слайд 124Пересечение многогранника проецирующей плоскостью.
Натуральный вид фигуры сечения.
Сечение многогранника – геометрическая фигура

в результате пересечения многогранника плоскостью.
В общем случае плоскость пересекает многогранник по плоской фигуре - многоугольнику, вид которого зависит от числа граней, пересекаемых плоскостью.

Два способа построения сечения многогранника плоскостью:
1). Способ ребер – по точкам пересечения ребер многогранника с плоскостью (построение сводится к задаче на пересечение прямой с плоскостью).
2). Способ граней – по отрезкам прямых пересечения граней многогранника с плоскостью (построение сводится к задаче на пересечение плоскостей).

Слайд 125
- пересечение плоскости Р с ребрами пирамиды (способ ребер)

Слайд 126- пересечение плоскости Р с ребрами пирамиды (способ ребер)
k’l’m’n’- по свойству

проецирующей плоскости (совпадает с проецирующим следом плоскости Pv)

Слайд 127- пересечение плоскости Р с ребрами пирамиды (способ ребер)
k’l’m’n’- по свойству

проецирующей плоскости (совпадает с проецирующим следом плоскости Pv)

klmn- по принадлежности точек соответствующим ребрам пирамиды:


Слайд 131Пересечение прямой с поверхностью многогранника
Точки пересечения прямой с поверхностью многогранника определяются

как точки пересечения заданной прямой с гранями многогранника и сводятся к решению основной позиционной задачи: пересечение прямой с плоскостью.

Слайд 132Пересечение прямой с поверхностью многогранника
Точки пересечения прямой с поверхностью многогранника определяются

как точки пересечения заданной прямой с гранями многогранника и сводятся к решению основной позиционной задачи: пересечение прямой с плоскостью.

Слайд 133Пересечение прямой с поверхностью многогранника
Точки пересечения прямой с поверхностью многогранника определяются

как точки пересечения заданной прямой с гранями многогранника и сводятся к решению основной позиционной задачи: пересечение прямой с плоскостью.

Слайд 134Пересечение прямой с поверхностью многогранника
Точки пересечения прямой с поверхностью многогранника определяются

как точки пересечения заданной прямой с гранями многогранника и сводятся к решению основной позиционной задачи: пересечение прямой с плоскостью.

Слайд 135Пересечение прямой с поверхностью многогранника
Точки пересечения прямой с поверхностью многогранника определяются

как точки пересечения заданной прямой с гранями многогранника и сводятся к решению основной позиционной задачи: пересечение прямой с плоскостью.

Слайд 136Пересечение прямой с поверхностью многогранника
Точки пересечения прямой с поверхностью многогранника определяются

как точки пересечения заданной прямой с гранями многогранника и сводятся к решению основной позиционной задачи: пересечение прямой с плоскостью.

Слайд 137Пересечение прямой с поверхностью многогранника
Точки пересечения прямой с поверхностью многогранника определяются

как точки пересечения заданной прямой с гранями многогранника и сводятся к решению основной позиционной задачи: пересечение прямой с плоскостью.

Слайд 138Взаимное пересечение многогранников
Линию взаимного пересечения двух многогранников можно построить двумя способами:
1).

Способ ребер – по точкам пересечения ребер первого многогранника с гранями второго и ребер второго многогранника с гранями первого.
Через найденные точки в определенной последовательности проводят ломанную линию – линию пересечения. При этом можно соединять прямыми линиями лишь ту пару точек, которые принадлежат одной и той же грани как одного, так и другого многогранника.
2). Способ граней – по отрезкам прямых, по которым грани одной поверхности пересекаются с гранями другой.

Слайд 139Пример:
Построить пересечения поверхности пирамиды с поверхностью призмы

Слайд 140Способ ребер:
Первое ребро призмы пересекает грань SAB в точке 1, а

грань SAC – в точке 2.
Следовательно:
ребра призмы ∩ гранями пирамиды
в точках 1…6;
ребро пирамиды SB ∩ грань призмы в точках 7, 8

Слайд 141Горизонтальная проекция точек линии пересечения 1…6, 7, 8 – определяется по

принадлежности точек поверхности пирамиды.
Плоскость Т рассекает пирамиду по треугольнику d подобному основанию acb, на котором расположены горизонтальные проекции точек 1…4 .

Слайд 142Горизонтальная проекция точек линии пересечения 1…6, 7, 8 – определяется по

принадлежности точек поверхности пирамиды.
Плоскость Т рассекает пирамиду по треугольнику d подобному основанию acb, на котором расположены горизонтальные проекции точек 1…4 .

Слайд 143Горизонтальная проекция точек линии пересечения 1…6, 7, 8 – определяется по

принадлежности точек поверхности пирамиды.
Плоскость Т рассекает пирамиду по треугольнику d подобному основанию acb, на котором расположены горизонтальные проекции точек 1…4 .

Слайд 144Точки 5 и 6 определяем по их принадлежности прямой SE.
Точки 7

и 8 принадлежат ребру SB.

Слайд 145Точки 5 и 6 определяем по их принадлежности прямой SE.

Слайд 146Точки 5 и 6 определяем по их принадлежности прямой SE.
Точки 7

и 8 принадлежат ребру SB.

Слайд 147Далее, в определенной последовательности соединяем прямыми линиями лишь ту пару точек,

которые принадлежат одной и той же грани как пирамиды, так и призмы: 1- 8, 8 – 3 и т.д.

Слайд 148Профильную проекцию многогранников и линию пересечения строим координатным методом и определяем

видимость многогранников и линии пересечения.

Слайд 149Профильную проекцию многогранников и линию пересечения строим координатным методом и определяем

видимость многогранников и линии пересечения.

Слайд 150Плоскость Р (⊥V) пересекает пирамиду по треугольнику MNK:
Фронтальная проекция m'n'k' совпадает

с проецирующим следом плоскости;

Натуральный вид фигуры сечения.

Слайд 151Плоскость Р (⊥V) пересекает пирамиду по треугольнику MNK:
Фронтальная проекция m'n'k' совпадает

с проецирующим следом плоскости;
горизонтальная проекция mnk определяется по принадлежности точек соответствующим ребрам.

Натуральный вид фигуры сечения.

Слайд 152Натуральный вид фигуры сечения многогранников плоскостью Р строим координатным методом:
в плоскости

Р определяемся системой координат Xp , Yp и к ней относим фигуру сечения.
Координату Xp направляем по следу Pv (Xp = xp') параллельно плоскости V ,
а координату Yp - перпендикулярно плоскости V: Y (Yp = yp')

Натуральный вид фигуры сечения.

Слайд 153Натуральные величины точек фигуры сечения по координате Xp берем с фронтальной

проекции, а по координате Yp –
с горизонтальной проекции.

Натуральный вид фигуры сечения.

Слайд 154Натуральные величины точек фигуры сечения по координате Xp берем с фронтальной

проекции, а по координате Yp –
с горизонтальной проекции.

Натуральный вид фигуры сечения.

Слайд 155Далее, в натуральном виде фигуры сечения вырезаем окно от призмы
Натуральные величины

точек фигуры сечения по координате Xp берем с фронтальной проекции, а по координате Yp –
с горизонтальной проекции.

Натуральный вид фигуры сечения.

Слайд 156Далее, в натуральном виде фигуры сечения вырезаем окно от призмы
Натуральные величины

точек фигуры сечения по координате Xp берем с фронтальной проекции, а по координате Yp –
с горизонтальной проекции.

Натуральный вид фигуры сечения.

Похожие презентации

Проектирование электроснабжения десятиэтажного жилого дома. Приложения к пояснительной записке 270
Презентация к внеклассному занятию по изобразительному искусству: "Первоцветы Белгородского района" 316
Пересечение прямых и плоскостей 321
ded moroz 256
презентация 375
Порядок чтения чертежей деталей 279

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика