Вынужденные механические колебания презентация

и сил сопротивления (– r∙υ), действует добавочная периоди-ческая сила F – вынуждающая сила.
Для колебаний вдоль оси x запишем:
max = −kx − rυx + Fx (7.1)
– основное уравнение колебательного процесса, или
(7.2)

где fx = Fx/m – вынуждающая сила, изменяющаяся по гармо-ническому закону: fx = F0 cosωt.
Через некоторое время после начала действия вынуждаю-щей силы колебания системы будут совершаться с частотой вынуждающей силы ω. Уравнение установившихся вынужден-ных колебаний:
X=Asin(ωt+φ) (7.3)

колебаний и вынуждаю-щей силой.
Воспользуемся тем, что скорость на π/2 опережает смещение, а ускорение на π/2 опережает скорость:





Подставим эти уравнения в уравнение (7.2)

амплитуды:
A1 = ω2 – амплитуда ускорения; A2 = 2βω – амплитуда ско-рости; A3 = ω02 – амплитуда смещения; A4 = F0 /mA – ам-плитуда вынуждающей силы, причем A3 > A1 .
Вектор амплитуды силы найдем по правилу сложения век-торов:
Из рисунка видно, что

Тогда

и β амплитуда зависит только от соотношения круговых частот вынуждающей силы ω и свободных незатухающих колебаний системы ω0.
Начальную фазу вынужденных колебаний можно найти из выражения:

под действием собственной силы тяжести mg вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс тела и называемой осью качания. Центр тяжести маятника совпадает с его центром масс. Как правило, силой трения в под-весе маятника пренебрегают и момент относительно оси качания маятника создает только его сила тяжести mg.
При отклонении маятника на угол α момент,
создаваемый силой тяжести равен:
M = mgd sinα .
Согласно основному уравнению динамики
вращательного движения (для тела с момен-
том инерции I, вращающегося вокруг непод-
вижной оси в отсутствие трения):


При малых α → sinα ≈ α →

0 , имеем для физического маятника:



Предельным случаем физического маятника является математичес-кий маятник - материальная точка, подвешенная на невесомой не-растяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной пло-скости под действием силы тяжести. Вся масса сосредоточена в центре масс тела. При этом d=l – длина маятника и момент инер-ции J = ml2. Тогда



Длина математического маятника, имеющего такой же период ко-лебаний, что и данный физический маятник, называется приве-денной длиной физического маятника. Точка О1, находящаяся на расстоянии lпр от точки подвеса О маятника, называется центром качания физического маятника. Точки O и О1 обладают свойством взаимности, т.е. при перемене их ролей длина и период маятника останутся прежними.

из емкости C и катушки индуктивности L.
По закону Ома для замкнутой цепи: сумма падений
напряжений на проводниках сопротивлением R и на
конденсаторе Uс равна ЭДС самоиндукции в контуре
IR + Uc = IR + Q/C = εsi = -L(dI/dt).
I = dQ/dt → dI/dt = d2Q/dt2,

(R→0) → d2Q/dt2 + ω2Q =0


Q =Qmsin(ωt + φ0) и I = dQ/dt = ωQmcos(ωt + φ0) = Imcos(ωt + φ0)
W = Wэл + Wмагн = (1/2)∙(LI2 + CU2)

системы при ее участии в нескольких колебательных процессах. Различают сложение сонаправленных и взаимнопер-пендикулярных колебаний.
Используем метод векторных
диаграмм.
x1 = A1sin(ω1t + φ1) = A1sinФ1(t)
x2 = A2sin(ω2t + φ2) = A2sinФ2(t)
Результирующее колебание: x = x1 +x2 = AsinФ(t) , где амплитуда
A2(t) = A12 + A22 + 2A1A2cos(Ф2 –Ф1)

= (ω2 − ω1)t + (ϕ2 − ϕ1 ) = const , то это выполняется при ω2= ω1= ω, тогда x = x1+ x2= Asin(ωt+ϕ0), где
амплитуда А и фаза Ф результирующего колебания. Тогда в зави-симости от значения (ϕ2 −ϕ1) результирующая амплитуда А изменяется в пределах от A = |A1 − A2| при ϕ2 -ϕ1 = ±(2m +1)π, до A = |A1 + A2| при ϕ2 -ϕ1 = ±2 π m (m → целые числа).
При ϕ2 -ϕ1 = ±2 π m колебания называются синфазными (в одной фазе), а при ϕ2 -ϕ1 = ±(2m +1)π – противофазными.
При ω1 ≠ ω2 результирующий вектор A будет изменяться по длине и вращаться с переменной скоростью. При сложении колебаний с близкими частотами (Δω=|ω2 −ω1|<<ω) возникают, так называе-мые, биения, тогда x1 = xmcosωt, x2 = xmcos(ωt + Δωt).

[2ωt >>Δω; cos(-Δωt)=cos(Δωt)]


Косинус берется по модулю, так как функция четная и поэтому частота биений ωб = Δω, а не Δω/2.
Период биений равен
половине периода мо-
дуляции:
Тб = Тмод /2 = 2π/(Δω)

2xm

-2xm

x

t

T