Сопротивление материалов презентация

занятия – 14 часов;
Лабораторные работы – 12 часов.
Самостоятельная работа – 54 часа

Утверждаю:
Декан ФИТЭ ___________Холушкин В.С.
Зав.кафдрой ОТД ___________Батьков Ю.В.
Составил: ___________Панков А.Д.
“ 28 “ февраля 2012 г

бакалавров по специальности “Технология машиностроения” по курсу “ Сопротивление материалов”. Несмотря на наличие большого количества хороших учебников по курсу сопротивления материалов М.М. Филоненко - Бородича, Н.М. Беляева, В.И. Феодосьева, А.В. Даркова и многих других авторов студенты испытывают недостаток в учебной литературе при изучении этой дисциплины.
Указанные курсы, отражая стремительное развитие науки и практики, от издания к изданию, увеличивали свой объем. Одновременно учебные планы по упомянутым дисциплинам насыщались другими специальными дисциплинами. При этом объем лекционного курса по сопротивлению материалов сокращался, и его содержание становилось менее полным. Кроме того, в указанной литературе не учитывались знания , получаемые студентами из других дисциплин, и наличие пакетов прикладных программ по расчетам конструкций на прочность.
В настоящее время разрыв между объемом и содержанием учебной литературы, соответствующей достаточно полному курсу, и лекционных курсов на базе укороченной современной программы обучения приводит к тому, что использование студентами солидных учебников стало почти невозможным для изучения и усвоения основных положений сопротивления материалов.
В этих условиях наиболее целесообразно использование электронных учебных материалов, отражающих программные вопросы, на основе которых возможно достаточно прочное усвоение основ механики деформируемого тела - сопротивления материалов. Последовательное предъявление материала с использованием анимации поможет студентам понять основные закономерности и методы анализа напряженно-деформированного состояния, прочности и устойчивости.
Настоящее электронное пособие соответствует полной программе курса сопротивления материалов для для подготовки бакалавров по специальности “Технология машиностроения” по курсу “ Сопротивление материалов” с учетом особенностей будущей работы в РФЯЦ ВНИИЭФ .
Данное пособие составлено с использованием существующих электронных пособий и других учебно-методических материалов и является дополнительным материалом к лекциям и практическим занятиям.
Пособие составлено в форме конспекта лекций. По нему студенты могут проверить, исправить и дополнить свои лекционные записи.
Большинство рисунков выполнено на основе прекрасных рисунков, приведенных в электронном учебнике:
Бондаренко А.Н. Электронный учебник по сопротивлению материалов. Москва. 2007 г.

2

УДК 539.3/.6
ББК 30 121
В 155

школа, 1989.-622 с.
2. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. - М.: изд. МГТУ, 1999. -591с.
4. Степин П.А. Сопротивление материалов - М.: ИНТЕГРАЛ-ПРЕСС, 1997.-320 с.
5. Ицкович Г.М., Минин Л.С., Винокуров А.И Руководство к решению задач по сопротивлению материалов - М.: Высшая школа, 1999. -592 с.
6. Миролюбов И.Н. и др. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов -М: Высшая школа, 1985. -399 с.
7. Бондаренко А.Н. Электронный учебник по сопротивлению материалов. Москва. 2007 г.
8. Панков А.Д. Руководство по курсовому проектированию по сопротивлению материалов Расчет валов. г. Саров. 2008 г.
9. Панков А.Д. Вопросы для электронного тестирования по курсу “Cопротивление материалов”. г. Саров. 2009 г.
10. Панков А.Д. Лабораторный практикум по курсу “Cопротивление материалов”. г. Саров. 2010 г.
1. Шелофаст В.В. Основы проектирования машин. Изд –во АПМ., 2007 г.

4

твердого деформируемого тела, в которую входят: теория упругости, теории пластичности и ползучести, теория сооружений, строительная механика, механика разрушения и др. Задачей сопротивления материалов является изучение методов расчета простейших элементов конструкций и деталей машин на прочность, жесткость и устойчивость.




















Прочностью называется способность элемента конструкции сопротивляться воздействию приложенных к нему сил не разрушаясь.
Жесткостью называется способность элемента конструкции сопротивляться воздействию приложенных к нему сил, получая лишь малые упругие деформации.
Устойчивостью называется способность элемента конструкции сохранять первоначальную форму равновесия под действием приложенных сил.
Реальные тела не являются абсолютно твердыми и под действием приложенных к ним сил изменяют свою первоначальную форму и размеры, то есть деформируются. Деформации тела, исчезающие после снятия внешних сил, называются упругими, а не исчезающие – остаточными или пластическими.
Определение размеров деталей или внешних нагрузок, при которых исключается возможность разрушения деталей, является целью расчета на прочность.
Определение размеров деталей или внешних нагрузок, при которых исключается возможность появления недопустимых с точки зрения нормальной работы конструкции деформаций этих деталей, является целью расчета на жесткость.
Под “разрушеннием” будем понимать такое состояние конструкции, когда она не может выполнять функции, для которых она проектировалась. Это определяется величиной и способом приложения внешних сил и величиной внутренних сил, возникающих в поперечных сечениях бруса, механическими свойствами материалов, используемых в конструкции, условиями эксплуатации и технологией изготовления и сборки конструкции

Механика твердого деформируемого тела

Строительные конструкции

Теория пластичности и ползучести

Теория сооружений

Механика подземных сооружений

Строительная механика

Механика грунтов

Сопротивление материалов

Детали машин

Прикладная механика

Теория упругости

Механика разрушения

5

Реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, не влияющих заметным образом на работу системы в целом, называется расчетной схемой. Переход от реального объекта к расчетной схеме осуществляется путем схематизации свойств материала, системы приложенных сил, геометрии реального объекта, типов опорных устройств и т.д.
Схематизация свойств материала
Реальные материалы обладают разнообразными физическими свойствами и характерной для каждого из них структурой.
С целью упрощения расчетов в сопротивлении материалов используются следующие допущения о свойствах материала.
1. Материал считается однородным, если его свойства во всех точках одинаковы.
2. Материал считается изотропным, если его свойства во всех направлениях одинаковы.
3. Материал считается анизотропным, если его свойства в разных направлениях разные.

свойством идеальной упругости, вследствие которой деформируемое тело полностью восстанавливает свою форму и размеры после снятия нагрузки независимо от величин нагрузок и температуры тела.
4. Форма и размеры упругого тела меняются прямо пропорционально изменению нагрузок, то есть подчиняется закону Гука (1660 г.).

7

5. Материал обладает свойством сплошности, то есть способностью сплошь (без пустот) заполнять пространство, ограниченное
поверхностью тела. Вследствие этого материал считается непрерывным, что позволяет использовать для определения напряжений и деформаций
математический аппарат дифференциального и интегрального исчисления.
6. Упругие тела являются относительно жесткими, благодаря чему перемещения точек тела весьма малы по сравнению с размерами
самого тела. Эта гипотеза служит основанием для использования при расчете начальных (исходных) размеров тела (по недеформированной схеме).

Схематизация геометрии реального объекта – упрощает геометрию реально существующих тел, составляющих конструкцию.
Большинство сооружений, механизмов и машин можно расчленить на отдельные тела простой геометрической формы:
Брус - тело, два измерения которого малы по сравнению с третьим (стержни, стойки, валы, балки). Брус может иметь различную форму поперечного сечения (круглое, кольцевое, прямоугольное, коробчатое, двутавровое и др.). Поперечное сечение образуется при разрезе бруса плоскостью, перпендикулярной продольной оси, а продольная ось является линией, соединяющей центры тяжести поперечных сечений, и может быть прямой или криволинейной. Брус является основным объектом рассмотрения в курсе сопротивления материалов.
Следующие тела являются объектами рассмотрения в других разделах механики твердого деформируемого тела (теория пластин и оболочек, теория упругости и др.):
Оболочка, пластина - тело, одно измерение которого мало по сравнению с двумя другими (тонкостенные резервуары, оболочки перекрытия, плиты, стенки).
Массив - тело, все три измерения которого мало отличаются друг от друга (фундаментные блоки, шарик подшипника).

Схематизация силового воздействия – представляет модель механического действия внешних сил на объект
от других тел или сред. К внешним силам относятся также и реакции связей, определяемые методами теоретической механики.
Схематизация силового воздействия сводится к рассмотрению трех типов нагрузки:
Сосредоточенная сила – сила, рассматриваемая в курсе теоретической механики как вектор, характеризуемый модулем (величиной),
направлением действия и точкой приложения. Здесь такая сила является условной, поскольку механическое взаимодействие деформируемых тел
не может осуществляться в точке (площадь контакта не равна нулю). Условность состоит в том, что в случае малости площадки контакта по
сравнению с размерами объекта, сила считается приложенной в точке. Если же определяются контактные напряжения, например, в головке
рельса, то учитывается фактическое распределение нагрузки на рельс по площадке контакта, размеры которой зависят от величины сжимающей
силы (равнодействующей давления). Сосредоточенная сила измеряется в ньютонах (Н).
Объемные силы – силы, распределенные по объему (силы тяжести, силы инерции), приложенные к каждой частице объема. Для этих сил
схематизация часто состоит в задании простого закона изменения этих сил по объему.
Объемные силы определяются их интенсивностью, как предел отношения равнодействующей
сил в рассматриваемом элементарном объеме к величине этого объема, стремящего к нулю: и измеряются в Н/м3.

газа или другого тела), характеризуемые
интенсивностью давления, как предел отношения равнодействующей
сил на рассматриваемой элементарной площадке к величине площади
этой площадки, стремящейся к нулю:

и измеряются в Н/м2.
Для этих сил схематизация часто
состоит в задании простого закона
изменения этих сил по поверхности.

Линейно распределенная нагрузка – силы, распределенные по некоторой
линии (длине), характеризуемая интенсивностью нагружения, как предел
отношения равнодействующей сил на рассматриваемой элементарной
длине линии к величине длины этой линии,
стремящейся к нулю:

и измеряются в Н/м.
Для этих сил условность состоит
в представлении области контакта
в виде линии нулевой толщины.
Характер изменения часто задается
в виде простого закона (постоянного, линейного).

По характеру воздействия на сооружения внешние силы делятся на статические и динамические. Динамическая нагрузка быстро изменяется
во времени (при движении подвижного состава, колебания, удар). При медленном изменении нагрузки можно пренебречь силами инерции и
деформациями, возникающими в объекте, и такая нагрузка может условно считаться статической. По времени действия на сооружения нагрузки
делятся на постоянные (вес автомобиля, вес балки) и временные (нагрузка на дорогу от движущейся автомашины, ветровая
или снеговая нагрузка).

Внутренние силы – Под действием внешних сил на объект происходит изменение расстояний между частицами (атомами) рассматриваемого тела и сил взаимодействия между ними. В результате возникают так называемые внутренние силы, которые можно определить методом сечений:

F3

F4

1. Пусть брус под действием сил F1,F2, … находится
в равновесии. Для рассматриваемого объекта
удовлетворяются уравнения равновесия:

2. Проведем сечение плоскостью, совпадающей
с поперечным сечением бруса, в котором отыскиваются
внутренние силы.

3. Отбросим одну из частей (например, левую) и заменим ее действие на оставшуюся часть бруса
совокупностью реактивных сил, распределенных некоторым образом по поверхности поперечного
сечения.

4. Полученную систему внутренних сил можно упростить приведением к главному вектору и главному моменту, выбрав в качестве центра приведения центр тяжести поперечного сечения.

5. Разложим главный вектор и главный момент на составляющие по осям x, y, z: Rx, Ry, Rz и Mx, My, Mz.

z

x

y

O

R

Rx

Ry

Rz

M0

Mz

Mx

My

6. Полученные компоненты имеют в сопротивлении материалов специальные названия, соответствующие видам деформации:
Rz = N – нормальная сила, Rx = Qx, Ry = Qy – поперечные силы и Мк = Mz – крутящий момент, Mx, My – изгибающие моменты.

N

Qy

Qx

7. Поскольку оставленная часть бруса должна остаться в равновесии, полученные внутренние силовые факторы могут быть определены:
из уравнений равновесия, составленных для этой части:

на брус внешних сил, в поперечном сечении бруса будет возникать шесть силовых факторов, которые являются алгебраическими суммами сил и моментов, возникающих в поперечном сечении бруса, приведенных к центру тяжести поперечного сечения:
две поперечные силы – Qx , Qy (сдвигают поперечное сечение вдоль осей X и Y);
- нормальная сила – N (стремится оторвать одно сечение бруса от другого);
- два изгибающих момента – Mx , My (изгибают брус в вертикальной XOZ плоскости и горизонтальной плоскости YOZ);
- крутящий момент - Т или Mк (закручивает одно сечение бруса относительно другого).
Эти шесть силовых факторов можно найти из условий равновесия отсеченной или оставленной части бруса.
-При этом алгебраические суммы моментов находятся относительно центра тяжести сечения бруса.

по сечению.
Поскольку внутренние силы, представляют собой поверхностные силы, приложенные к поперечному сечению
оставленной части, то интенсивность этих сил, называемое полным напряжением, определяется как указано ранее:
Размерность этого напряжения совпадает с размерностью поверхностной нагрузки (Н/м2, МПа = 106 Н/м2).

Полное напряжение, как и равнодействующая внутренних сил, приложенных на элементарной площадке, является векторной величиной
и может быть разложено на две составляющие: перпендикулярное к рассматриваемой площадке – нормальное напряжение σn и
касательное к площадке – касательное напряжение τn:

p

σn

τn

n

Касательное напряжение, в свою очередь, может быть разложено на две составляющие,
параллельные координатным осям x, y, связанным с поперечным сечением - τnx , τny :

τny

τnx

z

x

y

При анализе напряжений в окрестности рассматриваемой точки выделяется бесконечно малый
объемный элемент (параллелепипед со сторонами dx, dy, dz), по каждой грани которого действуют,
в общем случае, три напряжения, например, для грани, перпендикулярной оси x (площадка x) – σx, τxy, τxz :

x

y

z

σz

τzy

τzx

σx

σy

τxy

τxz

τyz

τyx

Компоненты напряжений по трем перпендикулярным граням элемента образуют
систему напряжений, описываемую так называемым тензором напряжений:

Здесь первый столбец представляет компоненты напряжений на площадках,
нормальных к оси x, второй и третий – к оси y и z соответственно. Первый
индекс указывает площадку (“место”) действия, второй – направление. Для
нормальных напряжений индексы совпадают и один индекс опускается.

Связь внутренних усилий и напряжений – Внутренние усилия в сечении связаны уравнениями равновесия с внешними силами, приложенными к оставленной части бруса при его сечении. С другой стороны внутренние усилия есть результат приведения к центру поперечного сечения внутренних сил, приложенных к элементарным площадкам (напряжений), выполняемое сложением, которое для элементарных сил сводится к интегрированию по площади поперечного сечения.

x

y

Выполнение этой операции
для каждого из внутренних усилий
приводит к следующим
интегральным выражениям:

σz

τzy

τzx

O

x

y

z

N

Qy

Qx

Mz

Mx

My

Таким образом, в целом связь внешних сил, внутренних усилий и напряжений такова:

Внешние силы

Внутренние усилия

Напряжения

Уравнения равновесия

Интегральные соотношения

изменения формы и размеров тела под действием нагрузки.
Полное перемещение точки в пространстве раскладывается на компоненты u, v и w, параллельные осям x, y и z, соответственно.
Перемещения рассматриваемой точки зависит от деформации всех нагруженных областей тела и включают в себя перемещения как жесткого
целого ненагруженных областей. Таким образом, перемещения не могут характеризовать степень деформирования в окрестности
рассматриваемой точки.
■ Деформация в точке – мера деформирования материала в ее окрестности. Выделим в рассматриваемой точке тела элементарный
объем (параллелепипед со сторонами dx, dy, dz) и рассмотрим его возможные изменения размеров и формы.

y

z

x

Пусть за счет деформации длины его ребер получат абсолютные удлинения Δdx, Δdy и Δdz:

dx

dz

dy

Δdx

Δdz

Δdy

Относительные линейные деформации в точке:

Кроме линейных деформаций, связанных с изменением размеров линейных элементов возникают угловые деформации или углы сдвига, связанные с изменением формы. Например, в плоскости xy могут возникать малые
изменения первоначально прямых углов параллелепипеда:

Такие угловые деформации в общем случае могут иметь место во всех трех плоскостях. Все относительные деформации весьма малы и имеют для реальных материалов порядок ≈10-4-10-3.
Таким образом, совокупность относительных линейных и угловых деформаций определяют деформированное состояние в точке и образуют тензор деформаций, подобный тензору напряжений:
Примечание: Половинные углы сдвига используются в целях получения аналогичных формул преобразования с тензором напряжений.

В зависимости от того, какие из компонент относительных деформаций имеют нулевое значение
в рассматриваемой области или для всего тела различают следующие простые виды деформаций:
Линейная деформация – εz ≠ 0, углы сдвига равны нулю, остальными линейными относительными
деформациями пренебрегается (характеризуется абсолютным и относительным удлинением).
Плоская деформация – εz ≠ 0, εx ≠ 0 или εy ≠ 0, остальные относительные деформации равны нулю (характеризуется абсолютным и
относительным сужением площади поперечного сечения). Эти виды деформаций обычно реализуются при растяжении-сжатии.
Объемная деформация – εz ≠ 0, εx ≠ 0, εy ≠ 0, углы сдвига равны нулю(характеризуется абсолютным и относительным изменением объема).
Чистый сдвиг – линейные относительные деформации равны нулю, углы сдвига не равны нулю (характеризуется изменением формы, изменение объема не происходит). Это вид деформации также возникает при кручении.
В соответствии с видом деформации вначале последовательно изучают такие простейшие напряженно-деформированные состояния как
растяжение-сжатие, чистый сдвиг и кручение, чистый изгиб. Далее изучаются более сложные – поперечный изгиб, сложное сопротивление,
продольный изгиб.

Задача определения напряжений в силу интегральности соотношений с внутренними усилиями всегда статические неопределима и необходимо дополнительно рассматривать деформации тела с целью определения закона распределения напряжений по сечению. Распределение напряжений по сечению бруса зависит от геометрии поперечного сечения.

в совокупности точек по длине бруса с целью определеня их максимальных значений. График изменения внутреннего усилия по оси бруса называется эпюрой.
Общий порядок построения эпюр внутренних усилий:

Если необходимо то определяются опорные реакции. Связи и их действие заменяются неизвестными усилиями, которые затем находятся из уравнений равновесия (уравнений статики). Реакции можно не находить, если они не входят в числов внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Определяется число участков по длине бруса, на которых нагрузка или геометрия бруса не изменяется. Границей участка является любой фактор, влияющий на резкое (скачкообразное) изменение рассматриваемого внутреннего силового фактора (начало или конец бруса, перелом оси бруса, место расположения опоры, точка приложения внешней сосредоточенной силы или другого фактора, например, сосредоточенного момента, начало или конец распределенной нагрузки).

На каждом из участков проводится сечение, отстоящее от начала участка на некотором произвольном (переменном) расстоянии. Для каждого сечения указывается текущая координата (z) от начала участка или от начала бруса и записываются пределы изменения координаты. При выборе начала локальных координат в начале участка нижний предел всегда равен нулю.

Предварительно выбирается положение начала координат, затем эта система координат последовательно перемещается в очередную границу следующего участка, отбрасывается левая (правая) часть бруса и для рассматриваемого сечения определяются внутренние силовые факторы, которые равны алгебраической сумме силовых факторов отсеченной части бруса относительно рассматриваемого сечения (системы координат, помещенной в данную точку)

По полученным выражениям строится эпюра изменения усилия подстановкой верхнего и нижнего пределов, и если необходимо, вычисляются значения силовых факторов в других точках рассматриваемого интервала (обычно в середине интервала).

поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой
фактор – продольная сила N. В соответствии с методом сечений величина и направление продольной силы может быть найдены из
уравнения равновесия в проекции на ось, совпадающую с осью стержня, составленного для оставленной части:

Продольная сила считается положительной, если она вызывает растяжение, т.е. направлена от сечения (в сторону внешней нормали), и отрицательной, если она вызывает сжатие, т.е. направлено к сечению.

Пусть прямолинейный брус нагружен продольными силами F1, F2:

Реакции левой опоры можно не определять, т.к. в этом примере можно ограничиться
рассмотрением лишь сил, приложенных к правым оставленным частям (справа от сечений).

2. Число участков - 3

3. Проведем сечение I-I на первом участке и определим текущую координату сечения и пределы ее
изменения: 0 ≤ z1 ≤ a.

4. Отбросим левую часть, заменим ее действие продольной силой NI-I
и составим уравнение равновесия в проекции на ось z :

NI-I

NII-II

эпюры N, положительные значения обычно откладываются вверх от базисной линии
или вправо, если она вертикальна.
Пусть F1=250 кН, F2=100 кН. Откладывая не каждом из участков значения продольной силы в некотором
выбранном масштабе получаем эпюру N:

14

Обратите внимание, что скачки на эпюре N располагаются в точках приложения внешних сосредоточенных сил и равны величинам этих сил. Соответственно скачок на левом конце эпюры дает величину опорной реакции.

Лекция 3 (стр.14)

сечении стержня возникает лишь один силовой фактор – крутящий момент Mz. В соответствии с методом сечений величина и направление крутящего может быть найдены из уравнения равновесия в моментах относительно оси, совпадающей с осью стержня, составленного для оставленной части:
Крутящий момент считается положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он поворачивает сечение
по ходу часовой стрелки.
Внимание! Это правило знаков условное и не совпадает с принятыми правилами знаков моментов, углов поворота в теоретической механике и математике, поскольку связано не с системой координат, а с видом деформации оставленной части, точно также, как правило знаков для продольного усилия связано не с направлением оси z, а с видом деформации рассматриваемой части бруса.
■ Построение эпюры крутящих моментов принципиально ничем не отличается от построения эпюры продольных сил. Положительные значения откладываются вверх от горизонтальной базовой линии, а отрицательные – вниз.

Пусть прямолинейный брус нагружен внешними сосредоточенными крутящими моментами M1, M2:

Реакции левой опоры можно не определять, т.к. в этом примере можно ограничиться рассмотрением
лишь сил, приложенных к правым оставленным частям (справа от сечений).

2. Число участков - 3

3. Проведем сечение I-I на первом участке и определим текущую координату сечения и пределы ее
изменения: 0 ≤ z1 ≤ a.

4. Отбросим левую часть, заменим ее действие крутящим моментом MzI-I и составим уравнение равновесия
в моментах относительно оси z :

Из уравнения равновесия получаем выражение для крутящего момента на участке 1 :

Повторяем шаги 3 и 4 для следующих участков:

3. Проведем сечение II-II на втором участке и определим текущую координату сечения и пределы ее
изменения: 0 ≤ z2 ≤ b.

4. Отбросим левую часть, заменим ее действие крутящим моментом MzII-II
и составим уравнение равновесия в моментах относительно оси z :

MII-II

Из уравнения равновесия получаем выражение для крутящего момента на участке 2 :

Аналогично получаем для участка 3 (0 ≤ z3 ≤ c):

Полученные выражения показывают, что крутящий момент в сечении
равен алгебраической сумме моментов внешних сил относительно
оси бруса, взятых по одну сторону от сечения!

Знак слагаемых положителен, если рассматриваемый внешний крутящий момент
вращает сечение по часовой стрелке при взгляде на сечение со стороны внешней нормали.

объекта
как по нормали к опорной плоскости, так и по касательной (не препятствует повороту).

Реакция неподвижного
шарнира проходит через центр шарнира перпендикулярно оси шарнира и имеет произвольное направление.

Реакцию неподвижного
шарнира можно разложить на две составляющие, например, Rx и Ry, параллельные координатным осям.

Другие схематические изображения
шарнирно-неподвижной опоры:

Жесткое защемление (жесткая заделка) – ограничивает как поступательные, так и вращательные движения (линейные и угловые перемещения) объекта. В случае плоской системы сил (плоская заделка)
ограничиваются перемещения по осям x, у и поворот в плоскости x, у.

В жесткой плоской заделке возникает три реактивных усилия: две составляющие реактивные силы RAx и RAy,
а также реактивный момент (пара сил) MA .

В сопротивлении материалов и далее в строительной механике горизонтальные и вертикальные реакции для сокращения наименования часто обозначают как HA (horizontal) и VA (vertical).
В случае пространственной системы сил возникают три реакции по направлению трех координатных осей и три реактивных момента (пар сил) относительно этих осей.

Схематизация опорных устройств – упрощает реальные конструкции опорных устройств с сохранением функций
ограничения перемещений. Схематизация большинства из опорных устройств рассмотрена в курсе теоретической
механикеи сводится к нескольким типам опор:
Шарнирно-подвижная (катковая) опора – ограничивает перемещение объекта
по нормали к опорной плоскости (не препятствует повороту и перемещению
по касательной к опорной плоскости).

Реакция подвижного
шарнира проходит через центр шарнира перпендикулярно оси шарнира и плоскости опирания.

Другие схематические изображения
шарнирно-подвижной опоры:

Основные типы опор и балок – Стержни, работающие главным образом на изгиб, называются балками. Балки являются простейшими
несущими конструкциями в мостах, промышленных и гражданских сооружениях. Балки опираются на другие конструкции или основание (стены,
колонны, устои и др.).

Во всех случаях число связей должно быть достаточным для обеспечения неподвижности балки (плоские системы – 3, пространственные – 6)
и способы постановки связей должны исключать мгновенную изменяемость системы.
Примеры мгновенно-изменяемых систем:

A

общем случае изгибающие моменты Mx, My и поперечные силы Qx , Qy.
Если в поперечном сечении возникает только один изгибающий момент Mx, то такой изгиб называется чистым.
В большинстве случаев дополнительно к изгибающему моменту возникает поперечная сила Qy, и такой изгиб
называется поперечным.
Если внешняя нагрузка и реактивные усилия лежат в одной плоскости, то такой изгиб называется плоским.
Правила знаков для изгибающего момента – Изгибающий момент принимается положительным,
если он изгибает элемент балки так, нижние волокна оказываются растянутыми, т.е. ось балки искривляется
выпуклостью вниз.
Правила знаков для поперечной силы – Поперечная сила считается положительной, если она
стремится повернуть элемент балки по ходу часовой стрелки.

■ Дифференциальные зависимости при изгибе – связывают внутренние усилия между собой в сечении и нагрузкой. Выделим из балки элемент длиной dz, находящийся по действием внешней вертикальной равномерно распределенной нагрузкой q, и заменим действие отброшенных частей внутренними усилиями:

Выделенный элемент находится в равновесии
и удовлетворяет уравнения равновесия:

Из первого уравнения
получаем:

Производная от поперечной силы
по продольной координате равна
интенсивности распределенной нагрузки.

Из второго уравнения, пренебрегая малыми
второго порядка получаем:
Производная от изгибающего момента
по продольной координате равна поперечной силе.

ничем не отличается от построения эпюры продольных сил и крутящих моментов. Положительные значения поперечной силы Qy откладываются вверх от горизонтальной базовой линии, а отрицательные – вниз. Положительные значения изгибающих моментов Mx откладываются вниз – со стороны растянутого волокна. Таким образом расположение ординат эпюры Mx указывают, какие волокна растянуты.
Примечание: Это правило принято в строительных и транспортных вузах в то время, как в машиностроительных и авиационных вузах используется обратное правило (положительный момент откладывается со стороны сжатого волокна).

Пусть балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой q, сосредоточенной силой F=qa и крутящим моментом M=qa2:

q

F

M

1. Определяем
опорные реакции:

HA

VA

VB

A

B

z

y

Из второго и третьего
уравнений получаем:

Выполняем контроль:

VB = 1,75qa

VA = 1,25qa

2. Количество участков – 3.

y

Отсюда получаем:

3. Проведем сечение II-II на втором участке и определим текущую координату сечения и пределы ее
изменения: 0 ≤ z2 ≤ 2a.

Повторяем шаги 3 и 4 для следующих участков:

4. Отбросим правую часть, заменим ее действие поперечной силой QyII-II и изгибающим моментом MxII-II
и составим уравнения равновесия в проекциях и в моментах относительно оси x, проходящей через
центр текущего сечения (т.е. относительно точки D) :

Отсюда получаем:

Аналогично получаем для участка 3 (0 ≤ z3 ≤ 2a):

эпюре Q наклонную
прямую линию, падающую в сторону действия нагрузки,
а на эпюре M – параболу с выпуклостью в ту же сторону.
2. Сосредоточенная сила вызывает на эпюре Q
скачок в точке приложения силы в сторону действия силы,
а на эпюре М – перелом в ту же сторону.
3. Сосредоточенный момент не вызывает на эпюре Q
в точке его приложения никаких особенностей,
а на эпюре M вызывает скачок в ту же сторону.

Используя полученные выражения для поперечной силы и изгибающего момента построим эпюру поперечных сил и изгибающих моментов, подставляя значения реакций и координаты начала и конца участков. В случае квадратичного изменения величины (изгибающий момент на первом участке) дополнительно подставляется координата точки внутри интервала, например, посредине.
Откладывая не каждом из участков значения поперечных сил и изгибающего момента
в некотором выбранном масштабе получаем эпюры Qy и Mx:

Лекция 3 (стр.20)

21

Испытание материалов на растяжение – сжатие – При проектировании конструкций, машин и механизмов необходимо знать прочностные и деформационные свойства материалов. Их определяют экспериментально на специальных испытательных машинах. Из всех прочих свойств (твердость, сопротивляемость ударным нагрузкам, противодействие высоким или низким температурам и т.п.) основными является сопротивление на растяжение и сжатие, дающие наибольшую и важнейшую информацию о механических свойствах металлов.
Испытание на растяжение – проводят на разрывных или универсальных машинах, имеющих специальные
захваты для передачи усилия. Используются стандартные образцы специальной формы
(l0 – длина рабочей части, l0/ a0 = 5 – короткие, l0/ a0 = 10 – длинные):

При испытаниях на сжатие применяются цилиндрические образцы
с отношением высоты к диаметру h/d = 1,5 – 3.
Образцы устанавливаются на опорную поверхность
с использованием смазки для ослабления влияния
сил трения.

Диаграммы растяжения пластичных и хрупких материалов – Характерной
диаграммой пластичных материалов является диаграмма растяжения низкоуглеродистой
стали (< 0,25% С):

Все машины снабжены устройством для автоматической записи
в определенном масштабе диаграммы-графика зависимости величины
растягивающей силы от удлинения образца.
Современные машины компьтеризированы и имеют средства управления процессом
нагружения по различным задаваемым программам, вывода данных на экран
и сохранения их в файлах для последующей обработки:

1. В начальной стадии (OA, до Fпц) нагружения удлинение
растет прямопропорционально величине нагрузки
(на этой стадии справедлив закон Гука):

O

A

2. Далее (AB, до Fуп) деформации начинают расти чуть
быстрее и не линейно, но остаются малыми и упругими
(исчезающими после снятия нагрузки).

B

3. При дальнейшем нагружении (BС, до Fт) криволинейная часть переходит
в горизонтальную площадку CD, на которой деформации растут без увеличения
нагрузки (текучесть). Зона BCD – зона общей текучести.

С

D

4. При дальнейшем нагружении (DE, до Fмакс) изменяется структура металла и материал
вновь может воспринимать возрастание нагрузки (упрочнение) вплоть до максимальной.

E

5. Далее (EK, до Fк) в наиболее слабом месте возникает и развивается локальное
уменьшение поперечного сечения (шейка). Зона EK – зона местной текучести.

K

Fк

В точке K образец внезапно разрушается
с резким ударным звуком, но без световых эффектов.

растяжения, связывающая нагрузку с удлинением не может непосредственно характеризовать прочность и пластичность материала, поскольку нагрузка зависит от площади поперечного сечения образца, а удлинение – от базовой его длины. Для получения объективных механических характеристик материала, не зависящих от сечения и длины образца, необходимо перейти к напряжениям и относительным удлинениям. Для этого нагрузка делится на начальную или текущую площадь поперечного сечения образца, а по оси абсцисс откладывается соответствующее относительное удлинение для каждой их характерных точек.

22

В результате получается диаграмма напряжений, подобная диаграмме растяжения:

В этой диаграмме характерные точки определяют следующие механические свойства
материала:
1. Предел пропорциональности σпц – наибольшее напряжение, до которого
существует пропорциональная зависимость между нагрузкой и деформацией
(для Ст3 σпц =195-200 МПа).

2. Предел упругости σуп – наибольшее напряжение, при котором в материале
не обнаруживается признаков пластической (остаточной) деформации
(для Ст3 σуп =205-210 МПа).

3. Предел текучести σт – наименьшее напряжение, при котором образец
деформируется без заметного увеличения растягивающей нагрузки
(для Ст3 σт =220-250 МПа).

4. Предел прочности или временное сопротивление σв – напряжение,
соответствующее наибольшей нагрузке, предшествующей разрушению
образца (для Ст3 σв =370-470 МПа).

5. Истинный предел прочности или истинное сопротивление разрыву σи
– напряжение, соответствующее разрушающей силе FK, вычисленное для
площади поперечного сечения образца в месте разрыва A1 (для Ст3
σв =900-1000 МПа). Поскольку на участке EK образуется шейка и площадь
поперечного сечения быстро уменьшается, напряжение увеличивается (EK1)
при регистрируемом падении усилия.

Механизм разрушения: в области шейки образуются мелкие продольные трещины,
которые затем сливаются в одну центральную трещину, перпендикулярную оси растяжения,
далее трещина распространяется к поверхности шейки, разворачиваясь примерно на 450,
и при выходе на поверхность образует коническую часть излома.
В результате получается поверхность излома в виде “конуса” и “чашечки”. Стадия
образования конической поверхности показывает, что материал в вершине трещины
начинает разрушаться по механизму скольжения (по площадкам максимальных
касательных напряжений), характерному для хрупких материалов.

физическая сторона задачи, в которой необходимо иметь
аналитическую зависимость между напряжениями и деформациями. Такую зависимость,
представляемой полученной экспериментально диаграммой напряжений, сложно
получить в аналитическом виде и использовать в расчетах.

ΔlK

В связи с этим используются упрощенные (идеализированные) диаграммы, отражающие
основные закономерности. В частности, для пластичных материалов часто применяется
диаграмма Прандтля, состоящая всего из двух прямолинейных участков.
Как видно, диаграмма Прандтля распространяет зону действия закона Гука до предела
текучести, после чего предполагается (задается), что материал испытывает далее
текучесть вплоть до разрушения.

ε

Потенциальная энергия деформации – Эта величина характеризует способность
материала совершить работу при переходе его из деформированного состояния
в исходное. При деформации внешние силы совершают работу W, которая превращается
в потенциальную энергию внутренних упругих сил U (например, при сжатии пружины).
При снятии нагрузки внутренние силы возвращают материал в исходное
(недеформированное) состояние (пружина распрямляется).
Таким образом, для упругих материалов процесс полностью обратим:

При статическом растяжении образца силой F
элементарная работа на малом перемещении
равна:

dΔl

Полная работа равна:

- площадь, ограниченная кривой растяжения

В пределах соблюдения закона Гука потенциальная энергия деформации равна:

Δl

В случае переменной величины продольной силы и/или площади поперечного сечения по длине стержня:

Характеристики пластичности – Пластичность материала является важным механическим свойством материала при его сопротивлении переменным динамическим нагрузкам, а также технологическим свойством при его обработке (штамповка и др.).
К характеристикам пластичности относятся:

1. Относительное удлинение после разрыва δ (%) – отношение
приращения расчетной длины образца после разрыва к ее
первоначальному значению (для Ст3 δ = 25-27 %).

2. Относительное сужение после разрыва ψ (%) – отношение уменьшения площади поперечного сечения образца в месте разрыва к начальной площади поперечногосечения (для Ст3 ψ =60-70 %).

образца отличается от его поведения при растяжении.
Диаграмма низкоуглеродистой стали – Начальный участок диаграммы является прямолинейным ( до точки A) и совпадает с аналогичным участком диаграммы растяжения. Это свидетельствует о том, что модуль упругости у стали можно принимать одинаковым при растяжении и сжатии. Нелинейный участок до лощадки текучести также совпадает с подобным участком на диаграмме растяжения Значения предела пропорциональности и предела екучести при растяжении и сжатии практически одинаковы. Площадка текучести при сжатии выражена очень слабо и после нее кривая уходит все более круто вверх вследствие развития значительных пластических деформаций, приводящих к увеличению площади поперечного сечения. Образец сплющивается принимая бочкообразную форму. На этом испытания заканчивают, т.к. образец разрушить не удастся, не удается определить и предел прочности.

■ Диаграмма чугуна – Начальный участок диаграммы имеет почти линейную зависимость,
на этом участке форма и размеры образца меняются незначительно. При приближении
к максимальной нагрузке кривая становится более пологой и образец принимает слегка
бочкообразную форму. При достижении нагрузкой наибольшего значения появляются трещины
под углом примерно 450 и наступает разрушение по площадкам с наибольшими касательными
напряжениями (хрупкое разрушение).
Другие хрупкие материалы (камень, бетон) имеют подобную диаграмму и такой характер
разрушения. Хрупкие материалы сопротивляются сжатию значительно лучше, чем растяжению,
например, предел прочности серого чугуна на сжатие 560-900 МПа, а на растяжение – 120-190 МПа.

■ Диаграмма древесины – Древесина – анизотропный материал. Сопротивляемость при сжатии
зависит от расположения волокон относительно направления сжимающей силы.
При сжатии вдоль волокон на участке OA древесина работает почти упруго, деформации растут
пропорционально увеличению сжимающей силы. Далее деформации начинают расти более быстро,
чем усилие, вследствие возникновения пластических деформаций в отдельных волокнах.
Разрушение происходит при максимальной нагрузке в результате потери местной устойчивости
ряда волокон, сопровождаемой сдвигом с образованием продольных трещин.

При сжатии поперек волокон на участке OB древесина работает почти упруго, деформации растут пропорционально увеличению сжимающей силы. Далее деформации начинают расти очень быстро при малом увеличении силы, вследствие уплотнения (спрессовывания) отдельных волокон. При наличии сучков и других пороков (трещин) образец может разрушиться раскалыванием. Разрушающая нагрузка определяется условно при достижении деформации сжатия, при которой высота образца уменьшается на треть исходной высоты .

B

при эксплуатации деформируются при длительном действии постоянных нагрузок. Это обуславливается способностью материалов деформироваться во времени при действии постоянных нагрузок, называемой ползучестью.
Ползучесть присуща таким материалам, как кирпич, древесина, полимеры, камень, резина, грунты и т.п. Металлы также обнаруживают
ползучесть при высоких температурах, а цветные металлы – и при обычной (комнатной) температуре. Ползучесть может возникать и при малых
нагрузках, которые при кратковременном действии вызывают только упругие деформации.

25

Результаты испытаний на ползучесть представляют графиками изменения деформаций во времени (кривые
ползучести). В начальный момент времени деформации имеют ненулевое значение ε(0), равное упругой
деформации или сумме упругой и пластической деформаций. Считается, что время предварительной нагрузки
(или разгрузки) пренебрежимо мало по сравнению со временем выдерживания нагрузки, поэтому можно
принять, что деформации ε(0) и напряжение появляются как бы мгновенно.
При определении характера процесса ползучести анализируется скорость деформации, вычисляемая как
производная по времени.
Если скорость деформации монотонно уменьшается со временем, то деформация ползучести стремится к
некоторому пределу (кривая 1). Это характерно, например, при деформациях, связанных с уплотнением
материала с течением времени под нагрузкой (осадка грунта под фундаментом, бетон).

Ползучесть, представленная кривой 2, характеризуется на первом участке (AB) уменьшением скорости
деформации, соответствующей обжатию локальных зон, на втором участке (BC) стабилизацией скорости
деформации (установившаяся ползучесть). Для хрупких материалов в точке C испытание заканчивается
хрупким разрушением, для пластичных материалов – вязким разрушением с образованием локальных
пластических деформаций (третий участок CD, на котором возрастает скорость деформации).
Интересно заметить, что кривой типа 2 описывается процесс накопления повреждений, в том числе износа,
в механике разрушения, диагностике и материаловедении.

Характер ползучести зависит от действующих напряжений. Например, сталь при различных уровнях напряжений
может иметь кривые ползучести как типа 1, так и типа 2 [1].

Если деформации ползучести увеличиваются пропорционально увеличению напряжений (бетон, пластмасса при
малых напряжениях), то ползучесть – линейная, в противном случае (металл при высоких температурах) –
нелинейная.

В некоторых материалах (бетон, пластмассы, каучук) происходят длительные, медленно протекающие
химические или окислительные процессы, в результате которых материалы теряют свои первоначальные
свойства, так называемое “старение”. В таких материалах деформации ползучести конечно зависят от “возраста”
материала.

При снятии нагрузки упругая часть деформаций материала исчезает, накопленная деформация ползучести
начинает уменьшаться, асимптотически стремясь к некоторому пределу, подобно перевернутой кривой 1. Такое
явление носит название обратной ползучести. Если при неограниченном увеличении времени образец полностью восстанавливает свои первоначальные размеры, то это явление называется упругим последействием.

длительного времени в состоянии, при котором деформация остается постоянной, то напряжения в материале, имевшие в начальный момент значение σ(0), снижаются асимптотически до некоторого значения. Явление медленного уменьшения напряжений в образце при постоянной деформации называется релаксацией.

Таким образом, явление релаксации в некоторой степени обратное ползучести, но природа этих двух явлений одна – энергия тепловых упругих колебаний атомов добавляется к энергии, обеспечивающейся внешними силами, вызывающими деформацию.
При свободной деформации под действием приложенных сил происходит дополнительное движение дислокаций (дислокации –дефекты кристаллической решетки) и деформация прирастает. Поскольку при обыкновенной температуре эта энергия незначительна, то ползучесть (прирост деформации) происходит в этом случае медленно.
При постоянной деформации поступление дополнительной энергии тепловых колебаний атомов приводит к перераспределению дислокаций с частичным восстановлением регулярности кристаллической решетки. При этом энергия деформации уменьшается, что приводит к уменьшению напряжений, если деформация остается постоянной.

продольные усилия, вызывающие в них деформации растяжения или сжатия (стойки, элементы ферм, тяги, тросы и т.п.). При этом в местах приложения условно сосредоточенных сил характер распределения деформаций достаточно сложный и отличается от распределения деформаций на удалении от этой локальной области. Размер этой области равен примерно наибольшему из размеров поперечного сечения.
Принцип Сен-Венана - Если совокупность некоторых сил, приложенных к небольшой части поверхности тела, заменить статически эквивалентной системой других сил, то такая замена не вызовет существенных изменений в условиях нагружения частей тела, достаточно удаленных от мест приложения исходной системы сил.
Как показывает опыт, за пределами этой области деформации практически постоянны и поперечные сечения перемещаются параллельно своим начальным положениям. На основании этого вводится гипотеза плоских сечений (Я. Бернулли):
Поперечные сечения стержня, плоские и перпендикулярные оси стержня до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными после деформации.

Напряжения и деформации – Как было ранее сказано, задача определения напряжений всегда является статически неопределимой.
Такие задачи решаются последовательным рассмотрением статической, геометрической и физической сторон.
В данном случае имеем статическое уравнение, связывающее внутреннее усилие – продольную силу с напряжением:.

Для вычисления интеграла необходимо знать закон изменения напряжений по сечению. Этот закон можно установить
изучением непосредственно наблюдаемых перемещений (деформаций). Поскольку принимается гипотеза плоских сечений, то при отсутствии
внешней распределенной продольной нагрузки деформации постоянны по сечению и по длине стержня (геометрия) . Из введенного ранее
определения деформаций в точке :

где Δl – абсолютная продольная деформация (удлинение), l - длина (базовая длина) стержня.

Опытным путем установлена фундаментальная (физическая) связь усилий и удлинений (Р. Гук) и в дальнейшем, напряжений и деформаций (Коши, Навье) в виде:

где Е – модуль упругости (физическая постоянная материала, определяемая экспериментально).

Подстановка последнего соотношения – закона Гука в интегральное выражение c учетом постоянства деформации и напряжения дает:

Нормальное напряжение в поперечном сечении прямо пропорционально величине продольного усилия и обратно пропорционально площади сечения.

Абсолютную деформацию (удлинение) стержня также можно определить через продольное усилие:

Формула для абсолютного удлинения справедлива лишь при постоянной по длине стержня продольной силе
и неизменной площади поперечного сечения! В случае переменной продольной силы, например, при учете собственного
веса вертикальных стержней, и/или переменной площади необходимо использовать интегральное выражение:

деформацией (удлинением), определяемой законом Гука,
возникает поперечная деформация (сужение поперечного сечения), выражающаяся в уменьшении поперечных размеров стержня.
Относительные поперечные деформации вычисляются как где b, h – размеры поперечного сечения.

Экспериментально установлено, что имеется линейная связь
между продольной и поперечной деформацией: где μ – коэффициент пропорциональности, называемый
коэффициентом Пуассона.
Коэффициент Пуассона для данного материала в пределах упругих деформаций имеет постоянное значение
и находится в пределах от 0 до 0,5.

По закону Гука, определяющему связь нормальных напряжений с продольными деформациями:
Тогда

Как упоминалось ранее, в общем случае нагружения по граням выделенного
элемента возникают нормальные и касательные напряжения. Последние,
вызывая деформации сдвига, не влияют на линейные деформации,
поскольку не изменяют длин сторон элемента. Используя принцип независимости
действия сил, справедливый для изотропного и линейно упругого материала,
можно записать обобщенный закон Гука, учитывающий одновременное действие
нормальных напряжений по всем граням элемента:

Напряжения по наклонным площадкам – При растяжении стержня в его
поперечном сечении возникают только нормальные напряжения. Посмотрим
какие напряжения возникают в сечении, не перпендикулярном оси стержня.

α

1. Отбросим правую часть и заменим ее действие главным вектором внутренних сил Rα :
Из уравнения равновесия в проекции на ось стержня Rα = F.

Rα

2. Разложим это внутреннее усилие на нормальную и касательную к сечению составляющие Nα и Qα:

Nα

Qα

α

С учетом того, продольная сила N в поперечном сечении равна внешней растягивающей силе F, отношение F/A = N/A есть нормальное напряжение в поперечном сечении. Тогда получаем:

силой F. Выделим на расстоянии z участок длиной dz. Удлинение этого участка Δdz равно перемещению второй его границы относительно первой dw.
Деформация на этом участке определяется выражением,
представляющим собой дифференциальное уравнение:

Разделим переменные и сведем решение этого уравнения
к интегрированию левой и правой частей:

Подставим пределы и выражение для деформации,
следующего из закона Гука:

Здесь w0 – перемещение левой границы рассматриваемого участка на расстоянии z0, EA – жесткость стержня при растяжении-сжатии,
N – продольное усилие.

В случае постоянства продольного усилия и площади поперечного сечения имеем:

Отсюда, как частный случай, получается выражение для абсолютного удлинения стержня (w0 = 0, z0 = 0, z = l):

Общая формула вычисления перемещений показывает, что к перемещению, вычисляемому на рассматриваемом участке [z0 ,z] (второе слагаемое), добавляется перемещение сечения, соответствующего левой границе, и представляющего перемещение всего участка, как жесткого целого (твердого тела). Если на каждом из участков продольное усилие и площадь поперечного сечения постоянны, то определение перемещения любого сечения или конца стержня сводится к простому суммированию удлинений каждого
из участков от неподвижного сечения до рассматриваемого.

Учет собственного веса – Рассмотрим стержень, нагруженный собственным весом (длина стержня l, объемный вес материала стержня γ).

Продольное усилие от собственного веса в произвольном сечении на расстоянии z равно весу нижерасположенной части стержня
и линейно зависит от координаты. Эпюры продольной силы и нормальных напряжений имеют вид треугольников:

Перемещение произвольного сечения на расстоянии z имеет квадратичную зависимость от координаты:

Определим перемещения конца стержня и сечения на расстоянии половины длины:

Здесь G – вес стержня.

неопределимых системах число наложенных связей больше числа независимых уравнений равновесия. Как указывалось выше, такие задачи решаются последовательным рассмотрением статической, геометрической и физической сторон, в результате чего получается полная система уравнений, позволяющая найти искомые усилия. Общий порядок решения определяется вышесказанным, конкретные шаги и особенности рассмотрим на примерах:
Пример 1. Стержень переменного сечения (2A и A) жестко заделан с двух сторон и нагружен продольной силой. Построить эпюры N и σ.

действие реакциями:

RA

RB

2. Статика : Составляем уравнение равновесия:

Это единственное уравнение равновесия, которое можно составить для линейной системы сил.
Следовательно система один раз статически неопределима.

3.Составляем уравнение совместности деформаций:

Это уравнение устанавливает неизменность общей длины стержня при любых воздействиях, которую обеспечивали связи (жесткие заделки) до их удаления.

4. Записываем соотношения связи деформаций с усилиями:

Получили полную систему уравнений, решающую данную задачу (5 уравнений и 5 неизвестных – 2 реакции и 3 перемещения) .

Такой же результат можно получить с использованием статически определимой
системы, образованной из заданной статически неопределимой отбрасыванием
“лишней” связи, и принципа независимости действия сил:

RB

Подставим полученное соотношение
в уравнение равновесия:

Это уравнение устанавливает неизменность общей длины стержня, которую обеспечивала “лишняя” связь (правая жесткая заделка) до ее удаления, или равенство перемещений и их противоположное направление при отдельном действии внешней нагрузки и реакции этой связи.

или

Записываем уравнения совместности деформаций
(перемещений) с усилиями:

Получили полную систему уравнений, решающую данную задачу
(4 уравнения и 4 неизвестных – 2 реакции и 2 перемещения) .

Подставляем соотношения упругости в уравнения совместности:

Составляем уравнение совместности деформаций:

Подставим полученное соотношение
в уравнение равновесия и получим
величину второй реакции (RB).

Подставляем перемещения в уравнения совместности:

32

В статически неопределимых системах нагрев (охлаждение) элементов вызывает дополнительные внутренние усилия (напряжения), которые могут значительно превышать усилия от действия силового нагружения. Общий порядок решения задачи сохраняется, но уравнения совместности деформаций (удлинений) содержат удлинения от действия разности температур Δt : α -коэффициент линейного расширения материала, l – длина стержня.
Пример 2. Стержень переменного сечения (2A и A), рассмотренный в примере 1, дополнительно нагревается на Δt градусов.
Δt

1. Выбираем объект равновесия, отбрасываем связи и заменяем их действие реакциями:

RA

RB

2. Статика : Составляем уравнение равновесия:

3. Геометрия:
Составляем уравнение совместности деформаций:

Это уравнение устанавливает неизменность общей длины стержня при любых воздействиях, в том числе от нагрева, которую обеспечивали связи (жесткие заделки) до их удаления.

4. Физика: Записываем соотношения связи деформаций с усилиями и температурным
воздействием:

Подставим полученное соотношение
в уравнение равновесия:

Подставляем соотношения упругости и температурного удлинения в уравнения совместности:

Эпюру продольных сил строим вычислением значений по участкам:
N1 = RA = 4.5 кН, N2 = N3 = RB = -5.5 кН. В сечении, в котором приложена сосредоточенная сила,
получился скачок, равный величине этой силы.

Эпюра нормальных напряжений также строится вычислением значений напряжений по участкам: σ1 = N1 / A1= 22.5 МПа, σ2 = N2 / A2= - 27.5 МПа, σ3 = N3 / A3= - 55 МПа.

Теперь, при температурном воздействии, в выражения для реакций входят абсолютные значения
модуля упругости E и площади A. Вычислим величины реакций для конкретных данных: F = 10 кН,
A = 1 см2, Δt = 10o, E = 2*105 МПа, α =10-5 (сталь):

При отсутствии нагрева
реакции получаются равными
-2.5 кН и 7.5 кН соответственно.

При отсутствии нагрева значения напряжений получаются равными
37.5 МПа, - 12.5 МПа, и -25 МПа соответственно (вид эпюры напряжений см. в примере 1).
Таким образом, нагрев всего на 10о привел к увеличению сжимающей силы
и максимальных сжимающих напряжений
больше, чем в 2 раза.
Статически неопределимые системы всегда реагируют на изменение температуры изменением внутренних усилий.
Это же происходит при взаимных смещениях опор (неравномерная осадка опор).

34

статически неопределимых системах несоответствие длин изготовленных элементов проектным вызывает дополнительные внутренние усилия, которые могут заметно влиять на результат определения усилий от действия внешних сил. Более того, даже при отсутствии внешних сил, при сборке могут возникать начальные (монтажные) усилия. Общий порядок решения задачи сохраняется, но уравнения совместности деформаций (удлинений) содержат дополнительные удлинения (укорочения) необходимые для осуществления сборки неточно изготовленных элементов.
Пример 2. Абсолютно жесткая балка подвешивается на двух медных и одном стальном (Eм/Eс=1/2) стержнях одинаковой длины. Стальной стержень при изготовлении был сделан длиннее на величину Δ. Определить монтажные усилия после сборки и усилия при нагружении силой F.

1. Выбираем объект равновесия, отбрасываем связи и заменяем их действие реакциями:

Rм

Rс

2. Статика : Составляем уравнение равновесия:

3. Геометрия: Задаем промежуточное положение балки и составляем
уравнение совместности деформаций:

4. Физика: Записываем соотношения связи деформаций с усилиями:

Подставим полученное соотношение
в уравнение равновесия:

Подставляем соотношения упругости в уравнения совместности:

В выражения для реакций входят абсолютные значения модуля упругости Eм , длины и площади стержней.
Вычислим величины реакций для конкретных данных: l = 2 м, A = 20 см2, Δ = 0.5 мм, Eм = 105 МПа :

медь

медь

сталь

a

a

l

Δ

Rм

Реакции от медных
стержней равны из-за
симметрии системы.

Δlм

Δlс

Знак минус присваивается, поскольку стальной
стержень должен укоротиться и внутреннее усилие должно быть отрицательным (сжатие).

Из этого же уравнения равновесия
следует:

При нагружении балки силой F посередине балка получает дополнительное перемещение б:

F

Уравнения равновесия, совместности деформаций и соотношения упругости принимают вид:

Подстановка соотношений
упругости в уравнения
совместности приводит
к ранее полученному
выражению для Rм=Rм(Rс).

Подстановка в уравнение равновесия дает:

Из выражения
Rм=Rм(Rс) :

После подстановки значений силы F =500 кН получаем Rс = 200 кН и Rм= 150 кН.

35

и предельных состояний – Основной задачей расчета конструкции является обеспечение ее прочности в условиях эксплуатации. Прочность конструкции, выполненной из хрупких материалов, считается обеспеченной, если во всех поперечных сечениях фактические напряжения меньше предела прочности материала. Величины нагрузки, напряжения в конструкции и механические характеристики материала не могут быть установлены совершенно точно из-за того, что имеют место такие факторы, как случайный характер нагружения, приближенность расчета, погрешность испытаний, разброс механических свойств реальных материалов и т.д.
Поэтому необходимо, чтобы наибольшие напряжения, полученные в результате расчета (расчетные напряжения) не превышали некоторой величины, меньшей предела прочности. Эта величина называется допускаемым напряжением и устанавливается делением предела прочности на коэффициент, больший единицы, называемый коэффициентом запаса.
В соответствии с этим условие прочности:



где - наибольшие расчетные растягивающие и сжимающие напряжения в конструкции;

- допускаемые напряжения при растяжении и сжатии соответственно.

Итак, условие прочности по методу допускаемых напряжений
при проверке напряжений при растяжении-сжатии стержней имеет вид:

Допускаемые напряжения связаны с пределами прочности
на растяжение и сжатие отношениями:

где nВ – нормативный (требуемый) коэффициент запаса прочности по отношению к пределу прочности, определяемый в зависимости от класса конструкции (капитальная, временная и т.п.), от предполагаемого (задаваемого) срока службы, от характера нагрузки (статическая, динамическая и т.п.), от условий работы конструкции, от качества изготовления материалов и других факторов. Величина nВ в большинстве случаев принимается в диапазоне от 2, 5 до 5.

Для конструкций из пластических материалов, имеющих одинаковые
пределы прочности на растяжение и сжатие, условие прочности:

Допускаемые напряжения: где nТ – нормативный (требуемый) коэффициент запаса прочности по отношению
к пределу текучести (nТ = 1,5 – 2,5).

где σmax – наибольшие по абсолютной величине
сжимающие или растягивающие напряжения в конструкции.

При подборе сечения принимаемые сечения должны удовлетворять
неравенству, вытекающему из условия прочности:

При определении грузоподъемности вычисляется
допускаемая продольная сила
в наиболее нагруженном стержне:

По полученной допускаемой силе определяется далее величина
допускаемой нагрузки [F]. Условие прочности принимает вид:

упруго-пластического материала – Ранее (лекция 5) был рассмотрен расчет статически неопределимых стержневых систем при их работе в упругой стадии. Целью расчета было определение усилий, возникающих в стержнях, знание которых позволяет подобрать сечения. Поскольку в упругом расчете соотношение жесткостей (и, значит, площадей) задается предварительно, то всегда оказывается, что в некоторых стержнях, или участках стержней переменного сечения, напряжения будут меньше предельных (или допускаемых), чем в стержне ( или на участке) , в котором напряжения максимальны и которые были использованы при составлении условия прочности и определения требуемой площади поперечного сечения. Все это составляет существо метода расчета по допускаемым напряжениям.
Статически неопределимые системы имеют “лишние” связи и выход одной из них из строя при увеличении нагрузки не означает, что система больше не может оставаться в равновесии. Таким образом, предельным состоянием для статически неопределимых систем не является возникновение напряжений больше расчетных (допускаемых) в самом нагруженном стержне (или на участке ступенчатого стержня).

37

Метод разрушающих нагрузок – Поскольку при достижении в одном из стержней напряжений больше расчетных (предела текучести) несущая способность статически системы не исчерпывается, то следует принять за опасное состояние такое, при котором во всех стержнях, обеспечивающих неизменяемость системы (равновесие при отсутствии каких-либо перемещений) возникают напряжения, равные пределу текучести. Для такого состояния система перестает быть статически неопределимой, т.к. теперь известны усилия в этих стержнях. Они равны произведению поперечной площади сечения на напряжение, равное пределу текучести.
Все это справедливо при использовании идеализированной диаграммы растяжения-сжатия (диаграммы Прандтля), которая не учитывает упрочнение материала после прохождения площадки текучести.
Таким образом, предельная нагрузка может быть определена из условий равновесия. Естественно, что такая нагрузка не может быть допущена во избежание разрушения системы. Поэтому ее величина делится на коэффициент запаса n, подобно тому, как предельное напряжения при упругом расчете делилось на это коэффициент по отношению к пределу прочности или пределу текучести.

В случае действия нескольких сил предполагается, что силы одновременно увеличиваются пропорционально некоторому параметру.
Тогда отыскивается предельное значение этого параметра, характеризующее предельную нагрузку.

Условие прочности по методу разрушающих нагрузок
при растяжении-сжатии стержней статически неопределимой системы имеет вид: где

Пример – Стержень ступенчатого сечения находится под действием силы F. Эта статически неопределимая задача была рассмотрена и решена на лекции 5. Полученное упругое решение: σmax = 0.375F/A. Определить грузоподъемность по методу допускаемых напряжений и методу разрушающих нагрузок.

RA

RB

Условие прочности
по допускаемым напряжениям:

Условие прочности
по разрушающим
нагрузкам:

Здесь при Fпред = Fn возникает текучесть на первом участке, но система может еще воспринимать нагрузку, т.к. на других участках напряжения меньше σТ.

наклонной площадке,
внешняя нормаль которой повернута на угол α от оси x, используем метод сечений:

α

α

n

2. отбросим правую часть,

1. проведем наклонное сечение,

3. заменим отброшенную часть внутренними усилиями, которые представим
в виде компонент напряжений - нормального и касательного (все напряжения
показаны положительными),

σα

τα

4. составим уравнения равновесия для равнодействующих напряжений в проекциях
на нормаль к наклонному сечению и ось, касательную к сечению:

t

dy

dy.tgα

После деления уравнений на dydz, умножения на cosα, подстановки закона парности касательных напряжений и переноса в правую часть получим:

dz

Или используя известные
тригонометрические
формулы двойного угла:

Получены формулы для определения напряжений в любых площадках, проходящих через данную точку, если известны напряжения σx, σy и τyx = - τxy. Определим, каковы будут напряжения на площадке, перпендикулярной к рассмотренной наклонной площадке:

Из сравнения выражений для касательных напряжений вновь получаем закон парности касательных напряжений: τα +900 = - τα.

Складывая выражения для нормальных напряжений получаем закон постоянства
суммы нормальных напряжений в любых взаимно перпендикулярных площадках:

Из постоянства суммы нормальных напряжений следует, что при повороте этих площадок приращения (изменения)
нормальных напряжений равны и противоположны по знаку:

Соответственно, если на одной из площадок нормальные напряжения достигает максимума,
то на второй площадке они являются минимальными.

в окрестности рассматриваемой точки выделим бесконечно малый
объемный элемент (параллелепипед со сторонами dx, dy, dz), по каждой грани которого действуют, в общем случае, три напряжения,
например, для грани, перпендикулярной оси x (площадка x) – σx, τxy, τxz .
Этот элемент можно по разному ориентировать в пространстве. При поворотах элемента нормальные и касательные
напряжения на его наклонных гранях будут принимать новые значения.
Представляет интерес исследовать, как изменяются эти напряжения от изменения ориентации элемента.
Это позволит найти наклонные площадки, по которым напряжения принимают максимальные и нулевые значения.
Рассмотрим эту проблему вначале для более простого случая – плоского напряженного состояния.

Плоское напряженное состояние – такое состояние, при котором две параллельные грани элемента
свободны от напряжений, т.е. на них отсутствуют и нормальные и касательные напряжения. Такое напряженное
состояние возникает в тонких пластинах, поверхности которых свободны от нагрузок, на незагруженной поверхности тел,
при изгибе балок, кручении валов.

39

Ниже будет показано, в этом случае напряжения τzx и τzу
также должны отсутствовать.

Пусть, например, по площадкам z напряжения отсутствуют:

Теперь элемент можно представить в виде его проекции на плоскость x, y. На рисунке показаны
положительные направления напряжений, соответствующие правилам:
положительные нормальные напряжения направлены в сторону внешней нормали соответствующей грани,
т.е. они вызывают деформацию растяжения элемента.
2. положительные касательные напряжения вращают элемент по часовой стрелке (при взгляде навстречу
оси z).

В общем случае, напряжения в деформированном состоянии меняются от точки к точке, т.е. являются функциями
координат. Здесь при рассмотрении бесконечно малого элемента можно считать, что напряженное состояние
однородное и напряжения по каждой из граней постоянные и на параллельных гранях элемента равны между собой.
Выделенный элемент должен находиться в равновесии и удовлетворять уравнениям равновесия для произвольной плоской системы сил –
равнодействующих по каждой из граней приложенных напряжений:
Суммы проекций на координатные оси тождественно равны нулю.
Составим сумму моментов относительно левого нижнего угла:

dx

dy

A

Получен закон парности касательных напряжений: Касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках
равны друг другу по величине и противоположны по знаку. В смежных гранях касательные напряжения направлены либо к общему ребру,
либо - от ребра.

Таким образом, показанные направления касательных напряжений на рисунке, посвященном правилам знаков, не соответствуют равновесному состоянию элемента. Возможные, правильные направления касательных напряжений:

определить величину максимальных напряжений.
Максимальные и минимальные нормальные напряжения называются главными напряжениями, а площадки, по которым они действуют –
главными площадками.
Для определения положения главных площадок достаточно положить нулю первую производную нормальных напряжений по углу наклона:

40

Для определения величины максимальных и минимальных нормальных напряжений надо найти значения угла через arctg(…) и подставить
в исходное выражение для нормальных напряжений, но проще непосредственно использовать следующие тригонометрические формулы:

Поскольку тангенс имеет одинаковые значения для углов, отличающихся друг от друга на 1800, полученное выражение
определяет две площадки, отличающиеся друг от друга на 900. Таким образом, обе главные площадки взаимно
перпендикулярны.

Заметим, что производная нормальных напряжений в наклонной площадке по углу наклона
оказывается равной удвоенной величине касательных напряжений по этой площадке:
Таким образом, на главных площадках касательные напряжения обращаются в нуль.

Подстановка этих тригонометрических функций в формулу нормальных напряжений дает для одной из главных площадок:

Поскольку угол для другой главной площадки
отличается от первой на 900, то синус и косинус
двойного угла изменят знак на противоположный,
что приведет к изменению знака второго слагаемого :

Таким образом, по двум главным площадкам
действуют главные напряжения:

напряжения достигают максимальных значений. Для определения их положения достаточно положить нулю первую производную касательных напряжений по углу наклона:

Таким образом, площадки сдвига повернуты относительно главных площадок на угол 450.

Поскольку тангенс имеет одинаковые значения для углов, отличающихся друг от друга на 1800, полученное выражение определяет две площадки, отличающиеся друг от друга на 900. Таким образом, обе площадки взаимно перпендикулярны. Хотя в этих площадках в общем случае нормальные напряжения на обращаются в ноль, площадки, в которых касательные напряжения максимальные,
называют площадками сдвига.

Поскольку правые части
обратные друг другу, то

Определим угол между площадкой сдвига и главной площадкой.
Сравним формулы для углов наклона главных площадок и площадок сдвига:

Для определения величины максимальных касательных напряжений надо найти значения угла через arctg(…) и подставить в исходное выражение
для касательных напряжений, но проще принять в качестве исходного состояния главные площадки и перейти к площадкам сдвига:

При подстановке угла 1350 или -450 (вторая площадка сдвига) получим тот же результат, но с обратным знаком. Таким образом, вновь соблюдается закон парности касательных и в общем случае можно записать:

Подставим выражения
для главных напряжений:

Понятие о круге Мора для напряжений- Существуют графический способ определения положений главных площадок и напряжений, а также напряжений по любым другим площадкам. Способ основан на том, что зависимость между нормальными и касательными напряжениями описывается уравнением II порядка, а именно уравнением окружности:

Возведем в квадрат
обе части уравнений
для напряжений
и сложим:

= 1

= 0

= 1

уравнений координаты
центра круга Мора и радиус равны:

Построим круг Мора
для напряженного состояния:

σα

τ α

O

Напряженное состояние по площадке x
характеризуется точкой A на круге
напряжений.

A

τ xy

σx

Напряженное состояние по площадке y
характеризуется точкой B на круге
напряжений.

B

σy

τ yx

Точка пересечения направлений площадок
с окружностью (точка C) называется
полюсом для данного исходного состояния,
и определяет направление любой
наклонной площадки, напряженное
состояние в которой изображается точкой
круга Мора, например, точкой M:

С

M

σα

τ α

Вычислим тангенс угла наклона площадки,
соответствующей точке M, к площадке x :

β

Таким образом, прямая CM,
соединяющая изображающую
точку M с полюсом C,
показывает направление
наклонной площадки, по
которой действуют
напряжения σα ,τ α .

С помощью круга Мора легко определяются главные напряжения
и направления главных площадок,

σmin

σmax

экстремальные касательные напряжения и направления площадок сдвига.

τ max

τ min

главные деформации и направления главных площадок.

Главные деформации - Подобно тому, как определялись напряжения на наклонных площадках, могут быть определены деформации. Выражения деформаций в новой системе координат, повернутой относительно начальной на некоторый угол, аналогичны выражениям для напряжений. Достаточно подставить вместо нормальных напряжений линейные деформации, а вместо касательных напряжений – половины углов сдвига:

Так же, как и для напряжений, существуют такие площадки, для которых отсутствуют углы сдвига, а линейные деформации принимают
максимальные значения. Эти площадки и линейные деформации называются главными. Для их определения используются формулы,
аналогичные полученным для напряжений:

сечении растянутого (сжатого) стержня зависит от площади этого сечения. Таким образом, площадь поперечного сечения является геометрической характеристикой, определяющей напряжение при растяжении (сжатии). В случае других видов напряженно-деформируемого состояния (изгиб, кручение) напряжения зависят не от площади, а от некоторых других геометрических характеристик поперечного сечения.
Иерархия геометрических характеристик устанавливается видом подинтегрального выражения и представляется следующей:
Площадь поперечного сечения:

44

Статические моменты площади поперечного сечения:

Статические моменты используются при определении положения центра тяжести:

Здесь xi, yi – координаты центров тяжести простых фигур, для которых они известны или легко находятся.
Напомним процедуру определения положения центра тяжести:
1. выбрать произвольную (начальную) систему координат x, y;
2. разбить заданную фигуру на более простые фигуры.
3. вычислить статические моменты и использовать формулы координат центра тяжести.

Оси, проходящие через центр тяжести фигуры, называются центральными. Можно показать, что относительно центральных
осей статические моменты обращаются в ноль.

yC

xC

1

2

Пример 1 – Определить положение центра тяжести уголкового поперечного сечения.

1. Выбираем систему координат x, y с началом в нижнем левом углу сечения.

2. Разбиваем фигуру на два прямоугольника,
вычисляем площади
и координаты центров тяжести каждого:

3. Вычисляем статические моменты
и координаты центра
тяжести всего сечения:

O

Определение координат центра тяжести. Методы определения положения центра тяжести плоских фигур
рассматривались в курсе теоретической механики,
например, метод разбиения:

C

площади,

полярный момент инерции площади.

ρ

центробежный момент
инерции площади.

Лекция 9 (стр.45)

Моменты инерции площади используются при определении напряжений при изгибе и кручении.
Можно показать, что центробежный момент инерции относительно осей, одна из которых совпадает с осью симметрии,
равен нулю. В самом деле, в этом случае элементарной площадке dA с координатами x, y всегда будет соответствовать такая же площадка
координатами –x, y или x, -y. Суммирование (интегрирование) произведений xydA даст нуль.
Далее будет показано, что для любой, в том числе несимметричной, фигуры можно найти такое положение осей, при котором центробежный
момент обращается в нуль.

Моменты инерции площади простейших сечений:
Прямоугольник

Известно, что центр тяжести прямоугольника находится
на пересечении осей симметрии (xC = b/2, yC = h/2).
Для вычисления моментов инерции относительно
центральных осей достаточно считать, что координата
y измеряется от центральной оси xC и изменить пределы
интегрирования:

Аналогично получим для других осей:

Центробежный момент инерции (по симметрии):

Полярный момент инерции:

Полярный момент инерции не зависит ориентации координатных осей x, y
и всегда равен сумме осевых моментов инерции:

■ Треугольник

Элементарная площадка имеет
переменную ширину и зависит от
ее координаты по оси y:

Момент инерции относительно центральной оси xC :

Момент инерции относительно центральной оси yC :

инерции относительно центральных осей
с учетом симметрии:

В технике часто используют
приближенные значения
(погрешность менее 2%):

Кольцевое сечение:

Достаточно изменить пределы интегрирования:

Моменты инерции относительно центральных осей
с учетом симметрии:

Для тонкостенного кольца (t < 0,075R) можно приближенно
считать, что ρ = Rср = const по его толщине и A = 2πRсрt:

В технике иногда используют
приближенные значения в виде:

Моменты инерции площади составных сечений
вычисляются , так же как и при вычислении координат центра
тяжести, методом разбиения на простые фигуры, для которых
известны или легко вычисляются координаты центров тяжести и
моменты инерции.
Например, момент инерции кольцевого сечения может быть
вычислен как разность моментов инерции круглого сплошного
сечения радиуса R и такого же сечения, но радиуса r.
Заметим, что при сложении моментов инерции по каждой из
координатных осей для каждой из фигур моменты инерции
должны вычисляться относительно осей, являющихся общими
для рассматриваемого сечения и всех составляющих фигур.
Отсюда следует необходимость располагать формулами,
позволяющими переходить от одних осей к другим.

Зависимость между моментами инерции
при параллельном переносе осей

Аналогично
для оси y1:

Формулы упрощаются, если исходные оси являются центральными,
т.к. SxC = SyC = 0:

осей

x

u

v

dA

O1

y

v

u

x

y

x

xcosα

xsinα

ysinα

ycosα

α

α

Координаты элементарной площадки dA в системе координат u, v выражаются через исходные
координаты x, y линейными зависимостями:

Осевые моменты инерции относительно осей u и v:

Сумма осевых моментов инерции
относительно двух
перпендикулярных осей не зависит
от угла α и при повороте осей
сохраняет постоянное значение.

Центробежный момент
инерции относительно
осей u и v:

Главные оси и главные моменты инерции – Полученные зависимости
показывают, что при изменении угла поворота осей значения моментов инерции изменяются,
при этом сумма осевых моментов инерции остается постоянной.
Это означает, что можно определить такое положение осей, при котором один из осевых моментов
достигает максимального значения, а другой – соответственно минимального значения:

Максимальные и минимальные осевые моменты инерции называются главными моментами инерции, а оси, относительно которых они вычисляются, – главными осями.
Для определения положения главных осей достаточно положить нулю первую производную осевого момента инерции по углу поворота:

Полученный результат показывает, что для искомого положения осей центробежный момент обращается в нуль.

Отсюда же следует:

Поскольку тангенс имеет одинаковые значения для углов, отличающихся друг от друга на 1800,
полученное выражение определяет два положения осей, отличающиеся друг от друга на 900.
Таким образом, обе главные оси взаимно перпендикулярны.

моментов инерции) надо найти значения угла через
arctg(…) и подставить в исходное выражение для осевых моментов инерции, или непосредственно использовать тригонометрические формулы
двойных углов, как это было сделано, например, при определении главных напряжений (лекция 10). Здесь попробуем чуть иначе.
Представим осевой момент в виде:

Подставляя последнее выражение и сокращая
разность моментов инерции получаем окончательно:

Знак плюс перед вторым слагаемым относится к максимальному моменту, знак минус – к минимальному.

Замечание. Полученные формулы для моментов инерции,
связанные с поворотом осей, а также для главных моментов
инерции, практически аналогичны по структуре
соответствующим формулам для нормальных и касательных
напряжений по наклонным площадкам и для главных
напряжений. Отсюда можно заключить, что положения осей,
соответствующих экстремальным значениям моментов
инерции и сами значения можно находить с помощью круга
Мора, построенного для моментов инерции.

Iu

Iv

Iuv

Imax

Imin

Здесь же проиллюстрируем характер изменения моментов
инерции при последовательном повороте осей в диапазоне
0 - 2π :
Хорошо видно, что при достижении осевыми моментами
инерции максимальных и минимальных значений
центробежный момент инерции обращается в ноль.
А при достижении центробежным моментом инерции
максимального значения (при повороте от главных осей
на 45о) осевые моменты становятся равными между собой.

момент инерции с площадью поперечного сечения и определяемая из равенств:
Радиус инерции представляет собой расстояние от рассматриваемой оси до той точки, в которой условно можно сосредоточить
всю площадь поперечного сечения. Эта величина характеризует насколько хорошо “развито” сечение, как далеко отстоят от оси
отдельные области сечения, что в свою очередь характеризует экономичность сечения при изгибе и сжатии с изгибом.

Радиусом инерции удобно пользоваться при оценке гибкости сжатых стержней.
Конечно для этого радиусы инерции предварительно вычисляются для типовых и прокатных сечений по формулам:

Радиусы инерции, соответствующие главным осям, называются
главными радиусами инерции и определяются по формулам:

Вычисление моментов инерции сложных фигур – выполняется в следующем порядке:
Сечение разбивается на части, для которых известны координаты центров тяжести и моменты инерции или легко находятся.
Выбираются начальные оси, относительно которых вычисляются координаты центра тяжести сечения.
Вычисляются координаты центра тяжести сечения.
Проводятся центральные оси (проходящие через центр тяжести сечения), относительно которых вычисляются моменты инерции.
Вычисляются осевые и центробежные моменты инерции сечения относительно центральных осей.
Вычисляются главные центральные моменты и определяется положение главных осей.

Пример 1 – Определить главные
центральные моменты
и положение главных осей
уголкового поперечного сечения.

1

2

O

C

1

2

растяжения или сжатия материал нагруженного элемента конструкции может испытывать деформацию сдвига. Примером этому может служить напряженно-деформированное состояние элемента стенки балки в произвольном сечении, рассмотренное в предыдущей лекции. Там же было показано, что в опорных сечениях на нейтральной оси на гранях элемента отсутствуют нормальные напряжения, а касательные напряжения максимальны.
Другим примером, можно сказать классическим, является кручение тонкостенной трубы,
при котором любой элемент находится только под действием касательных напряжений.
Напряженно-деформированное состояние, характеризуемое тем, что на гранях
элемента возникают только касательные напряжения, называют чистым сдвигом.

50

Закон Гука сдвиге – Деформации чистого сдвига экспериментально изучаются
путем кручения трубчатых образцов. Экспериментальная диаграмма сдвига,
связывающая напряжения и угол сдвига, для пластичной стали имеет такой же характер
изменения, как и диаграмма растяжения:

y

τyz

До напряжения τпц , называемого пределом пропорциональности
при сдвиге справедлива линейная зависимость
(закон Гука при сдвиге):

Здесь γ - относительный сдвиг:

G – модуль сдвига.

■ Связь между модулем сдвига и модулем упругости при растяжении – Модуль сдвига и модуль
упругости при растяжении являются физическими постоянными материала, характеризующими
жесткость в каждом из этих двух видов деформации. Поскольку удлинение диагонали элемента,
вызванное сдвигом, может быть получено также растяжением этого волокна под действием
нормальных напряжений, эти константы должны быть связаны между собой некоторым соотношением:

Касательное напряжение, при котором угол сдвига возрастает при постоянном напряжении называется
пределом текучести при сдвиге.

Таким образом существует соотношение между модулем сдвига и модулем упругости при
растяжении с участием коэффициента Пуассона. Любую из этих величин можно определить,
если известны две другие.

Удлинение диагонали элемента вследствие деформации сдвига (dy = dz):

ds

Δds

Удлинение диагонали элемента вследствие деформации растяжения (σ1 = τ , σ2 = -τ ):

или

Кручение характерно тем, что в поперечных сечениях возникают касательные напряжения τ, приводящиеся к крутящему моменту Mz.

z

x

y

Mz

Деформация стержня при кручении выражается тем, что поперечные сечения поворачиваются вокруг оси стержня
z на некоторые углы ϕ = ϕ(z) , называемые углами закручивания.

τ

z

ϕ

Касательные напряжения при кручении – Как указывалось ранее, задача
определения напряжений является статически неопределимой, для решения которой
необходимо последовательно рассмотреть три стороны задачи:

1. Статика: Выделим малый элемент двумя нормальными к оси бруса сечениями
и заменим действие отброшенных частей касательными напряжениями.
Под их действием элемент находится в равновесии.

Ранее приведением распределенных сил к центру и центральным осям было
получено интегральное соотношение, связывающие крутящий момент
с касательными напряжениями:

dz

dz

τ

τ

Касательное напряжение произвольного направления в каждой точке
плоскости поперечного сечения можно разложить по двум другим
направлениям, а именно, по радиусу ρ, соединяющему точку с центром
тяжести сечения, и по перпендикуляру к этому радиусу. Момент
относительно центральной оси z будет создавать лишь вторая компонента,
обозначаемая одним символом τ. Тогда:

ρ

τ

Из этого соотношения найти напряжение по известному крутящему моменту пока нельзя, поскольку закон изменения напряжений по радиусу сечения неизвестен.

2. Геометрия: Согласно гипотезе плоских сечений при своем повороте сечения остаются плоскими (справедливо лишь для круглых сечений).
Следующее допущение состоит в том, что все радиусы сечения остаются прямыми и поворачиваются на один тот же угол (угол закручивания).

Mz

z

Mz

dφ

K

K1

γ

ρ

3. Физика: По закону Гука при сдвиге:

Подставляем в интеграл:

Подставляем в выражение
для напряжений:

до центральной оси и принимают
Максимальные значения при ρ =ρmax:

Угол закручивания двух смежных сечений отличается на величину dφ.

Угол сдвига в произвольной точке сечения, находящейся
на расстоянии ρ от центральной оси,
равен отношению длины дуги KK1 к dz:

Условие
прочности
при кручении: [τ] – допускаемое касательное
напряжение материала стержня,
Wρ - полярный момент
сопротивления:

Длина дуги KK1:

Лекция 10 (стр.52)

52

По закону парности касательных напряжений полученная формула для касательных напряжений, возникающих в поперечном сечении, одновременно определяет касательные напряжения в плоскости, перпендикулярной продольному диаметральному сечению:

Каждый прямоугольный элемент материала испытывает напряженное состояние чистого сдвига.

Mz

Mz

τ

τ

Определение углов закручивания – При выводе формулы касательных напряжений
при кручении была получена дифференциальная зависимость:

Угол закручивания определяется из этого
дифференциального соотношения интегрированием
левой и правой части:
где ϕ0 – угол поворота при z = 0.

z

В частном случае при постоянном моменте Mz, постоянной жесткости GIpи неподвижном сечении в начале координат (φ0 = 0) получаем:

Этой формулой можно пользоваться при определении угла для вала постоянного или
ступенчато постоянного сечения, нагруженного сосредоточенными моментами.
При этом на каждом из участков, на котором крутящий момент, жесткость постоянны, угол закручивания изменяется по линейному закону. Как следует из общей формулы определения угла закручивания, при построении эпюры углов закручивания ординаты эпюры откладываются от уровня предыдущего угла закручивания, т.е. строятся нарастающим итогом, учитывая угол закручивания предыдущего участка.

Пример: Построить эпюру углов закручивания для стержня нагруженного сосредоточенными моментами:
M1=5M, M2=4M, где M – параметр нагрузки, Ip2/Ip1 = 2.

1

2

1. Сечение I-I (0 < z1< l):

2. Сечение II-II (0 < z2< l):

Расчеты на жесткость – Валы машин испытывают переменные (динамические) нагрузки. При малой
жесткости валов могут возникать нежелательные крутильные колебания. Поэтому, помимо условий прочности
должны выполняться условия жесткости, ограничивающие величину максимального угла закручивания,
отнесенного к длине (погонного угла закручивания):

так же, как и при других видах деформации, т.е. последовательно раскрываются три стороны задачи (статика, геометрия и физика). Специфика лишь состоит в том, что составляются другие уравнения равновесия, сопоставляются угловые перемещения (углы закручивания) и используется физические соотношения упругости, связывающие деформации и усилия при кручении.
Пример. Вал круглого сечения имеет ступенчатое изменение диаметра (d = 0.707D) и нагружен тремя скручивающими моментами M.

54

M

M

z

a

a

M

a

a

1. Статика – Отбрасываем жесткие заделки, заменяем их реактивными моментами:

A

B

MA

MB

Составляем моментное уравнение равновесия относительно оси вала:

Это уравнение единственное, которое связывает нагрузку и реактивные моменты.
Все другие (сумма проекций на координатные оси и суммы моментов относительно
осей x, y) обращаются в тождества. Следовательно, задача является статически
неопределимой с одним “лишним” неизвестным.

2. Геометрия – При наличии на обоих концах вала неподвижных заделок сумма углов
закручивания на каждом из участков при любом нагружении должна быть равной нулю
- уравнение совместности деформаций):

3. Физика – На каждом из участков угол
закручивания связан с крутящим
моментом в сечении
(соотношения упругости):

Полученные 6 уравнений образуют
полную систему уравнений
с 6-ю неизвестными (2 реактивных
момента и 4 угла закручивания).
Подставим соотношения упругости
в уравнение совместности. Одинаковые
сомножители вынесем за скобки и сократим:

Или:

Выразим, например, MA из уравнения равновесия через MB
и подставим в полученное уравнение:

Построим эпюру крутящих моментов:

Mz

Построим эпюру углов закручивания:

Эту задачу можно решить иначе, используя в качестве
основной системы статически определимую систему,
для которой можно найти углы закручивания
с использованием принципа независимости сил
от заданных моментов и неизвестного опорного момента:

совместности принимает вид:

Здесь первые три слагаемые есть углы закручивания, вычисленные для сечения B,
от действия трех заданных моментов по отдельности. Последнее слагаемое – угол
закручивания от действия неизвестного опорного момента MB.

Соотношения упругости:

Подстановка этих соотношений после
некоторых сокращений дает:


откуда получаем:

Далее находится из уравнения равновесия
левый опорный момент и строится эпюра
крутящих моментов обычным образом или
ее можно построить без нахождения левого
опорного момента, двигаясь справа.

Для построения эпюры углов закручивания
придется вычислить для каждого из участков
относительные углы, как это было показано
при предыдущем подходе к решению.

Лекция 11 (стр.55)

55

Основные результаты теории кручения стержней прямоугольного сечения – При рассмотрении деформации кручения стержней круглого сечения использовалась гипотеза плоских сечений. При кручении стержней прямоугольного сечения возникает депланация сечения – точки плоского до деформации поперечного сечения дополнительно перемещаются из этой плоскости по некоторому нелинейному закону:

Основные результаты теории кручения стержней прямоугольного сечения – При рассмотрении деформации кручения стержней круглого сечения использовалась гипотеза плоских сечений. При кручении стержней прямоугольного сечения возникает депланация сечения – точки плоского до деформации поперечного сечения дополнительно перемещаются из этой плоскости по некоторому нелинейному закону:

выведенной при
использовании гипотезы плоских сечений (круглые сечения), в углах прямоугольного сечения
должны получаться максимальные касательные напряжения (ρ = ρmax), а на самом деле в этих точках прямой угол остается прямым и касательные напряжения равны нулю.

M

z

x

y

w =w (x,y)

Из рисунка [1] видно, что угол сдвига элемента, выделенного на
поверхности бруса, происходит не только за счет наклона образующих,
но и за счет наклона сторон, лежащих в поперечных сечениях:

Таким образом гипотеза плоских сечений не применима и задача кручения прямоугольного стержня не может быть решена в рамках допущений, принимаемых в сопротивлении материалов. Строгое решение такой задачи рассматривается в курсе теории упругости
(кто не сдаст сопромат, тому не грозит изучение теории упругости - и ему хорошо, и преподавателю тоже).
Приведем некоторые основные результаты решения методами теории упругости задачи кручения стержней прямоугольной формы:

1. Наибольшие максимальные напряжения – возникают в средних точках (1) длинных сторон прямоугольного контура. Они могут быть представлены в виде, подобном ранее полученной формуле:

Здесь момент сопротивления при кручении вычисляется
с помощью табличного коэффициента, зависящего
от соотношения длин сторон (b/d ):

56

2. В средних точках (2) коротких сторон прямоугольного контура возникают несколько меньшие
касательные напряжения. Они определяются через максимальные выражением:

1

1

2

2

3. Угол закручивания
определяется
выражением:



где

4. В углах сечения касательные
напряжения равны нулю.

теории упругости доказывается, что полное касательное напряжение пропорционально тангенсу угла наклона касательной к поверхности идеальной гибкой мембраны, натянутой на контур сечения, равномерно растягиваемой во всех направлениях и нагруженной постоянно распределенной поперечной нагрузкой. Некоторое представление от такой мембране дает мыльная пленка, выдуваемая на проволочный контур.

Поперечная нагрузка, например, давление воздуха (дутье), вызывает прогибы
поверхности. Сечения поверхности горизонтальными плоскостями дают линии
равных прогибов (горизонтали), расстояния между которыми обратно
пропорциональны тангенсу угла наклона касательной и, значит, величине
касательных напряжений. Направление вектора касательных напряжений
совпадает с касательными к горизонталям.

τ

С помощью мембранной аналогии можно качественно предсказать положение
точек, в которых возникают максимальные касательные напряжения (сгущение
горизонталей) и минимальные (нулевые). На рисунке изображены (по техническим причинам) эллипсы, на самом деле при приближении к контуру должны быть некоторые овалы. Тем не менее можно увидеть, что в углах прямоугольного контура касательные напряжения должны обращаться в ноль.

Лекция 11 (стр.57)

57

(параллельные его оси) испытывают лишь деформации растяжения-сжатия
и не оказывают давления друг на друга (гипотеза об отсутствии сдавливания продольных волокон).

Нормальные напряжения при чистом изгибе – Как указывалось ранее, задача определения напряжений является статически неопределимой, для решения которой необходимо последовательно рассмотреть три стороны задачи:

В общем случае балка может испытывать изгиб под действием изгибающих моментов относительно осей x и y.
Если один из них равен нулю, а другой лежит в главной плоскости сечения (плоскости, проходящей через ось стержня
и одну из главных центральных осей инерции) , то такой изгиб называется плоским изгибом. Если при этом изгибающий момент постоянный,
и это означает отсутствие поперечной силы, то такой изгиб называется чистым изгибом.

σz

σz

Mx

Mx

2. Каждое поперечное сечение стержня, плоское до деформаций, остается плоским и нормальным
к деформированной оси стержня после деформации (гипотеза плоских сечений).

Первая гипотеза пренебрегает влиянием нормальных напряжений σx и σy на продольную деформацию элемента,
вторая – деформациями сдвига. Обе гипотезы подтверждаются экспериментально на основной части длины стержня

1. Статика: Выделим малый элемент двумя нормальными к оси бруса сечниями и заменим действие
отброшенных частей нормальными напряжениями. Под их действием элемент находится в равновесии.

σz

σz

Ранее приведением распределенных сил к центру и центральным осям было получены интегральные
соотношения, связывающие нормальное усилие и изгибающий момент с нормальными напряжениями:

z

σzdA

y

Из этих соотношений найти напряжения и положение нейтральной оси пока нельзя, поскольку закон изменения напряжений по высоте сечения неизвестен.

2. Геометрия: Согласно гипотезе плоских сечений, продольные волокна испытывают деформации
растяжения-сжатия, пропорциональные расстоянию от нейтральной оси. Нейтральная ось, как и
центральная ось стержня, изгибается и имеет радиус кривизны ρ (т. А – центр кривизны).

Mx

Так как нормальное усилие
при изгибе равно нулю, то:

Последнее указывает на то, что в сечении возникают напряжения разного знака и следует предполагать,
что существуют волокна, в которых напряжения равны нулю (нейтральная ось).

Абсолютное удлинение волокна, находящегося
на произвольном расстоянии от нейтральной
оси, из подобия треугольников равно:

A

3. Физика: По закону Гука:

Подставим напряжение
в выражение
для нормальной силы:

Таким образом, нормальное напряжение линейно зависит
от расстояния до нейтральной оси. При y0 > 0 – сжатие.

+

–

Этот интеграл представляет собой статический момент площади и равенство
его нулю означает, что нейтральная ось проходит через центр тяжести.

Замечание: Знак минус учитывает правило
знаков для изгибающего момента и напряжений.

z0

формулы напряжений при изгибе следует, что наибольшие (положительные – растягивающие) и наименьшие (отрицательные – сжимающие) напряжения в поперечном сечении возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, расположенных по обе стороны от нее:
При симметричном сечении относительно нейтральной оси абсолютные
величины наибольших растягивающих и сжимающих напряжений равны
и могут быть определены по формуле: В других случаях необходимо специально искать ymax , но формула остается в силе.

Величина, зависящая только от размеров и формы поперечного сечения, называется осевым моментом сопротивления:

Моментом сопротивления удобно пользоваться при расчете на прочность (подбор сечения) балки при изгибе.
Конечно для этого моменты сопротивления предварительно вычисляются для типовых и прокатных сечений по предыдущей формуле.

С использованием осевого момента сопротивления максимальные напряжения вычисляются как:

Момент сопротивления типовых и прокатных сечений:
1. Прямоугольное сечение:

2. Круглое сечение:

3. Для прокатных сечений все геометрические характеристики,
в том числе и моменты сопротивления, уже вычислены и содержатся
в специальных таблицах – сортаментах.

Во всех случаях, кроме круглого сечения, следует использовать моменты сопротивления, соответствующие ориентации
Плоскости действия изгибающего момента. Например, при действии на балку прямоугольного сечения момента My
при вычислении максимальных нормальных напряжений необходимо использовать Wy:

Условие прочности по нормальным напряжениям:

Максимальные напряжения не должны превышать
расчетных или допускаемых напряжений.

Отсюда при подборе сечения определяется требуемая
величина момента сопротивления для прокатных сечений
или характерных размеров для других сечений:

В случае, например, прямоугольного сечения необходимо задать один из размеров или соотношение между ними. Пусть h / b = k.
Тогда требуемая высота сечения:

Подставим напряжение
в выражение для изгибающего
момента (y0 ≡ y ) :

Из формулы напряжений при изгибе следует, что наибольшие (положительные – растягивающие) и наименьшие (отрицательные – сжимающие) напряжения в поперечном сечении зависят от величины осевого момента инерции или осевого момента сопротивления:


При изменении размеров сечения изменяются как осевой момент сопротивления, так площадь сечения. При этом величина осевого момента сопротивления зависит, например, для прямоугольного сечения, от квадрата высоты сечения, а площадь – линейно. Увеличение площади увеличивает расход материала на изготовление балки. Более рациональным сечением считается такое сечение, при котором отношение момента сопротивления к площади имеет большее значение. Для этого следует возможно большую часть площади поперечного сечения располагать как можно дальше от нейтральной оси. Ниже показаны 5 поперечных сечений балки, составленных из неравнобоких уголков и листа, площадь всех сечений одинакова, а моменты сопротивления различны:

В связи с тем, что площади этих сечений одинаковы,
наиболее рациональным из них является то,
у которого момент сопротивления Wx больше.

■ Добиться снижения веса балки можно также путем изменения размеров
сечения по ее длине в соответствии с изменением величины изгибающего
момента.
Поскольку эпюра изгибающего момента имеет в общем случае криволинейное
очертание, то для получения рационального сечения размеры, например высота
или толщина полок, должны непрерывно изменяться.
Из технологических соображений вместо этого используют ступенчатое
изменение толщины, достигаемое приваркой или приклепыванием
дополнительных горизонтальных листов:
На рисунке изображена, так называемая, эпюра материалов,
ординаты которой равны произведению момента сопротивления
поперечного сечения на допускаемое напряжение:

сечении балки, кроме изгибающего момента, действует также поперечная сила.
При прямом поперечном изгибе изгибающий момент действует в плоскости, совпадающей с одной из главных плоскостей инерции поперечного
сечения балки. Поперечная сила при этом обычно параллельна плоскости действия изгибающего момента.

Выделим малый элемент двумя нормальными к оси бруса и заменим действие отброшенных частей
нормальными напряжениями и касательными напряжениями. Под их действием элемент находится в
равновесии.

Поскольку закон изменения касательных напряжений по сечению неизвестен,
то из этого уравнения найти касательные напряжения для известной поперечной силы нельзя.

■ Касательные напряжения при поперечном изгибе - В общем случае при поперечном изгибе балок произвольного профиля могут
возникать две компоненты полного касательного напряжения в сечении. Компонента τzx для такого сечения не может быть найдена методами
сопротивления материалов. Касательные напряжения τzy, возникающие в поперечном сечении, связаны с поперечной силой, действующей
в этом сечении бруса, интегральной зависимостью:

z

σz

τzy

При действии поперечной силы изгибающий момент в сечении, отстоящем на расстоянии dz от другого
сечения, имеет приращение dMx.

Mx

Qy

Согласно зависимости нормальные напряжения также получают приращения:

σz+dσz

σz

τzy

Отсечем от рассматриваемого элемента некоторую ее часть горизонтальной плоскостью и заменим
ее действие касательными напряжениями (нормальные напряжения в соответствии с гипотезой об
отсутствии сдавливания продольных волокон не рассматриваются).

τyz

τzy

Оставшийся элемент по-прежнему находится в равновесии. Уравнение равновесия в проекции на ось z:

или

Здесь Aотс – площадь отсеченной части поперечного сечения, A1 – площадь горизонтального сечения элемента, равная bdz.

Aотс

A1

Перенесем первый интеграл в правую часть и подставим в него выражение для нормальных напряжений:

Приращение изгибающего момента и осевой момент инерции сечения не зависят от площади
отсеченной части и их можно вынести за знак интеграла. Оставшееся подинтегральное выражение совпадает с выражением для статического момента площади отсеченной части поперечного сечения:

Полагая касательные напряжения постоянными по площади A1, что соответствует предположению постоянства деформаций сдвига по ширине поперечного сечения, учитывая закон парности касательных перемещений и дифференциальную
зависимость поперечной силы, получаем:

или

Формула Журавского

сечения – Из формулы Журавского следует,
что касательные напряжения в волокнах поперечного сечении, расположенных на некотором расстоянии от оси,
зависят от величины статического момента площади отсеченной части и ширины сечения на высоте секущей плоскости:
Построим эпюры касательных напряжений для некоторых простых сечений:
Прямоугольное сечение

x

y

Проведем горизонтальное сечение на высоте y
и вычислим статический момент
отсеченной части:

y

h

Aотс

yo

Подставим в формулу Журавского
выражения для статического момента
и момента инерции:

Полученная зависимость является
квадратичной от координаты рассматриваемого слоя.
Таким образом, касательные напряжения по высоте
сечения изменяются по квадратной параболе: y = ± h/2, τzy = 0; y = 0, τzy = τzymax =3Qy/(2bh) =1,5 τzyср

■ Толстостенный двутавр

Сечение имеет ступенчатое изменение ширины и поэтому следует рассматривать отдельно два участка
изменения координаты: 0 < y1< h/2 – стенка и h/2 < y2< H/2 – полка.

Для стенки:

y1

Можно убедиться, что объем эпюры напряжений τzy(y)⋅b/Qy равен 1, что означает выполнение равенства .

Для полки:

y2

На обоих участках соблюдается квадратичная зависимость от
координаты волокна. В местах резкого изменения ширины сечения
в соответствии с формулой Журавского эпюра имеет скачки:

максимальные касательные напряжения возникают
на уровне нейтрального слоя, где нормальные напряжения от изгибающего
момента равны нулю. Тогда прочность балки проверяется по срез.

Первый интеграл равен площади эпюры касательных
напряжений τzx, умноженной на толщину полки:

Таким образом,
крутящий момент равен:

Приведение системы касательных
напряжений к равнодействующей дает:

Полученный центр приведения определяет положение равнодействующей касательных напряжений и называется центром изгиба. Для рассмотренного сечения он находится вне контура сечения. При прохождении поперечной силы через центр изгиба кручение сечения не возникает.

Лекция 12 (стр.63)

63

при отсутствии продольной силы (N =0) и одновременном действии изгибающих моментов Mx и My сочетание двух прямых (плоских) изгибов вызывает косой изгиб.
Нормальные напряжения в произвольной точке сечения теперь определяется выражением:

Полный изгибающий момент есть векторная сумма этих векторов, модуль которого равен:

Изгибающие моменты и полный момент связаны известными соотношениями:

x

y

H

B

Плоскость действия
полного момента M

α

Напряжения в произвольной точке сечения можно
выразить через полный изгибающий момент:

Определим положение нейтральной линии, задавая напряжения равными нулю:

Плоскость
действия
момента Mx

Плоскость
действия
момента My

Уравнение нейтральной линии представляет собой уравнение прямой, проходящей через начало координат.
Тангенс угла наклона (угловой коэффициент) равен:

Mx

Изобразим изгибающие моменты в виде векторов моментов пар сил, как это делалось
в теоретической механике, совпадающими по направлению с положительными направлениями осей:

Mу

M

β

Здесь учтено, что напряжения в первой четверти (x > 0 и y > 0) от изгибающего момента My отрицательны, поскольку
поворот плоскости поперечного сечения от этого момента происходит против часовой стрелки при взгляде навстречу вектору
момента и вызывает сжатие волокон в этой четверти.

α

В случае Ix > Iy, что обычно и бывает при проектировании балки, несущей преимущественно вертикальную
нагрузку, угол наклона нулевой линии β больше угла наклона полного изгибающего момента α. Это означает,
что полный прогиб не совпадает с плоскостью действия полного момента. Отсюда и происходит название косого изгиба.

β

n

n

Неприятность в том, что при малом отклонении, например, от вертикали расчетной нагрузки или отклонении от вертикали расчетного
положения сечения, происходит значительное увеличение напряжений в поперечном сечении и деформаций (прогибов) такой балки.
Пусть такое отклонение от вертикали поперечного двутаврового сечения балки №20 с моментами сопротивления Wx = 184 см3, Wy=23.1 см3,
с моментами инерции Ix = 1840 см4, Iy=115 см4 составляет всего 2о.
Максимальное напряжение при отклонении оказывается выше на 27.7% от расчетного значения (без отклонения по вертикали),
а максимальный прогиб – на 14.5%. Это можно посмотреть в документе MathCAD, в котором задаются единичные значения полного момента
и коэффициента пропорциональности прогиба. Полный прогиб вычисляется как геометрическая сумма прогибов в каждой из плоскостей:

моментов – Такая комбинация внутренних усилий характерна тем, что в поперечном сечении возникают нормальные напряжения, которые могут вычисляться по отдельности и складываться в соответствии с принципом независимости действия сил:

Во многих учебниках, например [1], можно увидеть знаки + перед слагаемыми, которые
записываются ценою изменения направления осей x, у на противоположные или изменения
правил для знаков изгибающих моментов (моменты считаются положительными, если они
вызывают растяжение волокон, находящихся в первом квадранте, т.е. при x > 0 и y > 0).
Иногда формулу напряжений при совместном действии продольной силы и моментов
записывают в виде:

x

y

Далее, сохраняя обычную ориентацию координатных осей, будем использовать новое правило для знаков изгибающих моментов (моменты считаются положительными, если они вызывают растяжение волокон, находящихся в первом квадранте).
Тогда формула для напряжений принимает вид:

+

-

-

+

Выражение показывает, что напряжения в точке линейно зависят
от координат x, y. Для определения максимальных напряжений,
необходимо найти точку, максимально удаленную от нулевой
(нейтральной оси).

Здесь x, y – координаты точки, в которой отыскивается напряжение;
правила знаков изгибающих моментов соответствуют ранее принятым
правилам для плоского изгиба.

+

+

Здесь x, y – расстояния точки от координатных осей, в которой
отыскивается напряжение; изгибающие моменты берутся по модулю;
знаки слагаемых присваиваются по характеру деформаций
(растяжение или сжатие) от каждого из моментов.

N

My

Mx

+

+

Уравнение нулевой линии – Для получения уравнения нулевой линии
достаточно приравнять напряжения нулю:
Нулевую линию можно построить с помощью отрезков,
отсекаемых этой прямой на координатных осях, которые
определяются поочередным заданием нулевых значений
каждой из координат:

Таким образом, максимальное напряжение возникает в точке в правом верхнем углу
рассматриваемого прямоугольного поперечного сечения, которая наиболее удалена
от нулевой линии:

σmax

Этот же результат для данного простого сечения можно получить
без нахождения положения нулевой линии, рассматривая знаки
слагаемых напряжений в угловых точках :

+

+

-

-

+

-

65

+

+

+

+

возникать при действии растягивающей или сжимающей силы F, не совпадающей с осью стержня и имеющей некоторые смещения относительно центральных осей (эксцентриситеты) xF и yF. При переносе силы параллельно самой себе в новый центр возникают моменты Mx и My присоединенных пар (метод Пуансо):

F

x

y

z

C

xF

yF

My

Mx

Таким образом, в произвольном сечении стержня имеем внутренние усилия: N = - F; Mx = - F∙yF; My = - F∙xF.
и уравнение нулевой линии
принимает вид: или с использованием
радиусов инерции сечения:

При проектировании массивных сжатых стоек из материалов, имеющих предел
прочности на растяжение значительно меньше чем на сжатие (бетон, кирпичная или бутовая кладка, чугун)
необходимо обеспечить в поперечном сечении отсутствие растягивающих напряжений, т.е. нулевая линия не
должна пересекать контур поперечного сечения. Таким образом, встает вопрос о допустимых смещениях сжимающей
силы относительно центральных осей поперечного сечения. Область допустимых положений продольной силы,
при которых во всем сечении возникают напряжения одного знака, называется ядром сечения.

■ Построение ядра сечения – Рассмотрим для простоты прямоугольное сечение размером bxh:
Радиусы инерции сечения:

Зададим положение нулевой линии по верхнему краю сечения и определим координаты точки
приложения продольной силы, соответствующие этой нулевой линии:
Уравнение
нулевой линии:

n1

n1

Из уравнения нулевой линии можно определить координаты силы:

1

Зададим положение нулевой линии по правому краю сечения и определим координаты точки приложения продольной силы, соответствующие этой нулевой линии:
Уравнение нулевой линии:

n2

n2

2

Далее, повторяя это для двух остальных сторон сечения, получаем положения продольной силы. Полученные точки являются вершинами ядра сечения.

3

4

n3

n3

n4

n4

Можно доказать, что при изменении положения точки приложения продольной силы нулевой линии по прямой, соединяющей две вершины ядра сечения, нулевая линия, оставаясь касательной к контуру, лишь поворачивается, или наоборот, при повороте нулевой линии вокруг угла сечения (n1-n1 переходит в n2-n2 ) точка приложения продольной силы перемещается по прямой, соединяющей вершины 1 и 2:

α

α

(1)

с

с

yF

xF

Лекция 14 (стр.66)

точки, в которой напряжения обращаются в нуль, обладают “взаимностью”, выражающейся в том, что если силу поместить в любую точку найденной нулевой линии, то новая нулевая линия пройдет обязательно через точку, в которой была ранее сила.

Следовательно при движении точки приложения силы по прямой, совпадающей с первоначальной нулевой линией, например, по верхнему краю сечения, новая нулевая линия будет продолжать проходить через ту же точку, вращаясь вокруг нее, поскольку уравнение (1) остается в силе.

Можно показать, что при повороте нулевой линии вокруг неподвижной точки, например, правого верхнего угла прямоугольного сечения, точка приложения силы перемещается по прямой из положения 1 в положение 2 (α - угол наклона нулевой линии, с – произвольный отрезок нулевой линии).

Лекция 14 (стр.67)

67

и условий нагружения весьма многообразна; отметим наиболее существенные, характерные для типичных условий эксплуатации конструкций.
    Влияние содержания углерода. Введение различных легирующих добавок в металлы позволяет значительно повысить прочностные характеристики сплавов. На рис. 1 показано влияние процентного содержания углерода на механические свойства конструкционной стали. Как видно, с увеличением содержания углевода, временное сопротивление повышается в несколько раз; однако при этом значительно ухудшаются пластические свойства; относительное удлинение и относительное сужение при разрыве уменьшаются.

Рис.1. Влияние процентного содержания углерода

70

Влияние эксплуатационных и конструкционно-технологических факторов на механическое поведение конструкционных материалов

Рис.3. Влияние температуры на пластические свойства

Характеристики пластичности с повышением температуры увеличиваются, а с понижением температуры уменьшаются. При изменении температуры не остаются постоянными и физические характеристики материала: при повышении температуры модуль упругости существенно уменьшается, а коэффициент Пуассона незначительно увеличивается – с 0,28 до 0,33

Характеристики пластичности с повышением температуры увеличиваются, а с понижением температуры уменьшаются. При изменении температуры не остаются постоянными и физические характеристики материала: при повышении температуры модуль упругости существенно уменьшается, а коэффициент Пуассона незначительно увеличивается – с 0,28 до 0,33

Величина остаточных напряжений не может превышать величины предела текучести. Если в момент возникновения остаточных напряжений .У цветных металлов и их сплавов прочность при повышении температуры испытания резко падает и практически теряется приблизительно при 600 0С, пластичность же постепенно снижается. Для алюминия характерна иная картина: его пластичность и предел прочности возрастают.

72

Влияние эксплуатационных и конструкционно-технологических факторов на механическое поведение конструкционных материалов

чем металлы. Для них температурный и временной факторы, так же как и масштабный, являются весьма существенными. Реологические явления обнаруживаются у пластмасс даже при обычных температурах. Прочность при нагреве падает с увеличением пластичности, при охлаждении повышаются прочность и хрупкость.
При статическом нагружении, начиная с некоторых значений температур, фактор времени становится очень существенным. Для разных материалов это явление происходит при совершенно различных температурных режимах. Влияние фактора времени обнаруживается и при нормальных температурах. Для металлов его влияние, из-за незначительности, можно пренебречь. А для органических материалов даже при низких температурах время нагружения имеет существенное значения.
В настоящее время созданы и широко применяются специальные сплавы и металлокерамические материалы, которые могут надежно работать при повышенных температурах (до 1000 0С).
Влияние технологических факторов

Наиболее существенными технологическими факторами, влияющими на несущую способность деталей машиностроения, являются остаточные напряжения, анизотропия механических свойств, состояние поверхностного слоя, во многом зависящие от технологии изготовления.
Остаточные напряжения. Остаточными напряжениями принято называть те напряжения, которые присутствуют в детали, свободной от воздействия внешних, в том числе, и реактивных, сил или градиентов температуры. Эти напряжения существуют и уравновешиваются внутри тела после удаления причин, вызвавших их появление.
Причиной возникновения остаточных напряжений первого рода, макронапряжений, является, как правило, остаточная деформация части объема детали или неравномерность остаточной деформации всей детали вследствие необратимых объемных изменений в материале из-за неоднородной по сечению пластической деформации при холодном или горячем деформировании, неравномерного распределения температур по объему изделия при его нагреве и охлаждении и неравномерности по сечению конструктивного элемента процесса фазовых превращений при термообработке и т.п.

73

Влияние эксплуатационных и конструкционно-технологических факторов на механическое поведение конструкционных материалов

релаксации он снизится,

В зависимости от знака они могут как повышать прочность, так и снижать ее. Для снятия остаточных напряжений применяют отжиг, который обеспечивает снятие остаточных остаточных напряжений практически в любых сталях Снять остаточные напряжения можно также путем пластического деформирования металла по специальным режимам . Действие остаточных напряжений аналогично действию постоянных напряжений от статических нагрузок. Учет этих напряжений в расчетах сводится к сложению с напряжениями с напряжениями, возникающими в элементах конструкций под действием приложенных внешних нагрузок
Остаточные напряжения растяжения могут служить самостоятельной причиной образования трещин и разрушения конструктивных элементов, изготовленных из высокопрочных материалов с малой пластичностью, или материалов, склонных к хрупкому разрушению в реальных условиях эксплуатации. Часто встречаются случаи образования трещин, вызванных остаточными напряжениями в сварных соединениях, фасонных отливках, закаленных деталях. С другой стороны, конструкционная прочность может быть повышена за счет искусственного наведения в деталях остаточных напряжений, особенно работающих при переменных напряжениях.

Остаточные напряжения особенно заметно могут сказываться на механических свойствах пластичных материалов

Анизотропия механических свойств.
Одним из основных допущений при расчетах элементов конструкций на прочность в большинстве случаев является предположение однородности и изотропии материала. Между тем в действительности большинство реальных материалов и изделий из них обладают анизотропией механических свойств. Когда анизотропия незначительна, ею можно пренебречь. Во многих других случаях неучет анизотропии может привести к существенным ошибкам как при конструировании, так и при эксплуатации изделий. Используя характеристики механических свойств материалов, приводимые в справочной литературе, при прочностных расчетах следует иметь ввиду, что эти характеристики, как правило, получены в процессе испытаний образцов, вырезанных из заготовок с изотропными свойствами.
Существует несколько видов анизотропии: гомогенная, которая обусловлена неравновероятным распределением ориентировок анизотропных кристаллов при кристаллизации поликристаллических материалов; гетерогенная, связанная с определенной текстурой, полученной вследствие технологической операции и анизотропия, вызванная ориентированными остаточными напряжениями.

74

Влияние эксплуатационных и конструкционно-технологических факторов на механическое поведение конструкционных материалов

материал может быть, например, изотропным по характеристикам упругости, мало изотропен по характеристикам прочности и сильно анизотропен по характеристикам пластичности, усталости и т.п.
Учет анизотропии при разработке изделий способствует повышению их надежности и долговечности, а также позволяет наиболее полно использовать все возможности конструкционного материала.
При расчетах на прочность наиболее часто учитывают анизотропию упругих свойств таких сильно анизотропных материалов, как армированные стеклопластики, слоистые и волокнистые композиционные металлические материалы, древесина и др. Для этих материалов на основе накопленных экспериментальных данных создан соответствующий расчетный аппарат, базирующийся на основах теории упругости, который позволяет решать практические задачи.
Применительно к широко используемым в современной технике конструкционным материалам – металлам и их сплавам при расчетах учитывают, в основном, только анизотропию сопротивления деформированию и разрушения, пренебрегая влиянием анизотропии упругих свойств на изменение напряженного состояния. Сложность учета анизотропии механических свойств при прочностных расчетах заключается в использовании в определяющих уравнениях большого количества требующих экспериментального определения характеристик материала, что чрезвычайно громоздко. Отметим, что лишь для ортотропного тела в общем виде требуется 12 констант материала. Даже в этом случае определение 12 характеристик слишком сложно. Поэтому с практической целью для оценки влияния анизотропии на несущую способность изделия чаще всего пользуются приближенными коэффициентами.
К сожалению, общей теории прочности анизотропных материалов к настоящему времени не существует. Сложность решения данного вопроса заключается в неоднозначности ориентировки полей напряжений и полей параметров, характеризующих сопротивление деформированию или разрушению. Если поле напряжений в теле известно или оно может быть определено, то анизотропию свойств используют с целью повышения несущей способности детали. Примером удачного использования анизотропии могут служить трубы и емкости, работающие под давлением, когда их максимальная прочность обеспечивается в окружном направлении, поскольку в этом случае применения специального легирования поверхностного слоя деталей, работающих в агрессивных средах.
Механические характеристики стали, даже одного состава, зависят от способа ее получения и обработки.
При литье возможность образования различных дефектов в виде пустот, раковин и включений увеличивается. Это приводит к снижению механических характеристик прочности стали.
Прокатка меняет структуру стали – делает ее анизотропной. При этом значительно изменяются механические свойства в направлении прокатки – сталь становится более прочной; в других направлениях механические свойства существенно отличаются от свойств в направлении прокатки.

75

Влияние эксплуатационных и конструкционно-технологических факторов на механическое поведение конструкционных материалов

стальная проволока и стальные листы – обладают высокими прочностными свойствами.
В качестве термической обработки стали используют ее закалку. Закалка стали приводит к значительному повышению предела текучести и временного сопротивления, но при этом снижаются ее пластические свойства; модуль упругости практически не изменяется. Например, для придания указанных свойств низкоуглеродистой стали проводят ее цементацию – увеличение содержания углерода в поверхностном слое, с последующей закалкой этого слоя. Для улучшения структуры и механических свойств стали также применяют нормализацию – нагрев стали до температуры 750...950 0С, выдержка ее и последующее охлаждение на воздухе. Часто нормализация предшествует закалке.

Влияние масштабного фактора
На прочность материала влияют размеры нагружаемого объекта. Зависимость сопротивления деформированию и разрушению конструкционных материалов в одинаковых условиях нагружения от размеров испытываемого объекта при сохранении их геометрического подобия называют масштабным эффектом или масштабным фактором.

По характеру проявления масштабного эффекта все материалы можно условно разделить на две группы. К первой группе относятся хрупкие и квазихрупкие материалы, ко второй – материалы со значительными остаточными пластическими деформациями.
Влияние размеров тела на его прочность более ярко выражено у материалов перовй группы, ко второй можно отнести различные марки чугунов, высокопрочные и закаленные стали, графиты, стекла, отдельные виды пластмасс и ряд других материалов с грубодисперсной структурой, содержащей различные включения и неоднородности. В таких материалах разрушение обычно происходит путем хрупкого отрыва и, как правило, сопровождается значительным рассеиванием значений прочности. Причины понижения сопротивления хрупкому разрушению этих материалов с увеличением площади сечения или объема по современным представлениям заключается в большей вероятности появления неоднородностей и «слабых мест» у образцов больших размеров.
Что касается пластичных материалов, к которым относятся большинство широко применяемых конструкционных материалов (стали, алюминиевые, титановые, медные и другие сплавы), вопрос о влиянии масштабного фактора на сопротивление деформированию и разрушению даже в экспериментальном плане изучен недостаточно.

76

Влияние эксплуатационных и конструкционно-технологических факторов на механическое поведение конструкционных материалов

Механические характеристики стали, даже одного состава, зависят от способа ее получения и обработки.
При литье возможность образования различных дефектов в виде пустот, раковин и включений увеличивается. Это приводит к снижению механических характеристик прочности стали.
Прокатка меняет структуру стали – делает ее анизотропной. При этом значительно изменяются механические свойства в направлении прокатки – сталь становится более прочной; в других направлениях механические свойства существенно отличаются от свойств в направлении прокатки.
Волочение представляет собой вытяжку с обжатием. Изделия, полученные таким способом, - стальная проволока и стальные листы – обладают высокими прочностными свойствами.
В качестве термической обработки стали используют ее закалку. Закалка стали приводит к значительному повышению предела текучести и временного сопротивления, но при этом снижаются ее пластические свойства; модуль упругости практически не изменяется. Например, для придания указанных свойств низкоуглеродистой стали проводят ее цементацию – увеличение содержания углерода в поверхностном слое, с последующей закалкой этого слоя. Для улучшения структуры и механических свойств стали также применяют нормализацию – нагрев стали до температуры 750...950 0С, выдержка ее и последующее охлаждение на воздухе. Часто нормализация предшествует закалке.

Влияние масштабного фактора
На прочность материала влияют размеры нагружаемого объекта. Зависимость сопротивления деформированию и разрушению конструкционных материалов в одинаковых условиях нагружения от размеров испытываемого объекта при сохранении их геометрического подобия называют масштабным эффектом или масштабным фактором.

По характеру проявления масштабного эффекта все материалы можно условно разделить на две группы. К первой группе относятся хрупкие и квазихрупкие материалы, ко второй – материалы со значительными остаточными пластическими деформациями.
Влияние размеров тела на его прочность более ярко выражено у материалов первой группы, ко второй можно отнести различные марки чугунов, высокопрочные и закаленные стали, графиты, стекла, отдельные виды пластмасс и ряд других материалов с грубодисперсной структурой, содержащей различные включения и неоднородности. В таких материалах разрушение обычно происходит путем хрупкого отрыва и, как правило, сопровождается значительным рассеиванием значений прочности. Причины понижения сопротивления хрупкому разрушению этих материалов с увеличением площади сечения или объема по современным представлениям заключается в большей вероятности появления неоднородностей и «слабых мест» у образцов больших размеров.
Что касается пластичных материалов, к которым относятся большинство широко применяемых конструкционных материалов (стали, алюминиевые, титановые, медные и другие сплавы), вопрос о влиянии масштабного фактора на сопротивление деформированию и разрушению даже в экспериментальном плане изучен недостаточно.

77

Влияние эксплуатационных и конструкционно-технологических факторов на механическое поведение конструкционных материалов

с технологическими, механическими, энергетическими и статистическими факторами, совместное действие которых чрезвычайно усложняет картину.
Технологический фактор определяется причинами металлургического характера, такими как вид термообработки, режим спекания, способ плавки и т.д. В больших слитках в большей степени развиваются процессы ликвации, определяющие однородность, анизотропность, газонасыщенность и т.п. Технологический фактор включает также особенности механических методов обработки изделий (ковка, штамповка, резание, прокатка), когда в тонких приповерхностных слоях металла возникают заметные градиенты свойств материала.
Под механическим понимается комплекс факторов, связанных с нарушением подобия сравниваемых элементов при их нагружении. Зачастую при нагружении разномасштабных объектов при соблюдении геометрического подобия не выполняется идентичность по режимам нагружения, которая проявляется в различных скоростях роста напряжений при нагружении или различных скоростях протекания процесса деформации, поскольку данные параметры зависят от геометрии объекта. Градиент напряжений существенно влияет на эффект масштаба, который усиливается с ростом концентрации напряжений и неоднородности поля напряжений.
Энергетическое объяснение масштабного фактора основано на предположении об уменьшении характеристик прочности в связи с различным запасом упругой энергии, накапливаемой в нагружаемой системе и испытываемом объеме.
Поскольку масштабный фактор наиболее ярко проявляется у малопластичных материалов, часто его проявление связывают со статической природой. Качественные выводы статистических теорий одинаковы. Это объясняется тем, что большинство теорий базируются на одинаковых допущениях. В частности, предполагается, что источником разрушения является микротрещина или какой-либо другой дефект, которые в процессе нагружения до начала разрушения не меняют своих параметров. Предполагается, что одной микротрещины критических размеров достаточно для того, чтобы вызвать разрушение всего образца независимо от его размера, а каждой микротрещине

78

Влияние эксплуатационных и конструкционно-технологических факторов на механическое поведение конструкционных материалов

подходов при решении вспомогательных задач теории вероятности, вида положенных в основу теории кривых распределения исходных параметров, характера принятых упрощений и пр. Физическая картина статистических теорий в данном случае довольна ясна: чем больше размеры объекта, тем больше вероятность наличия в нем опасного дефекта и тем ниже его прочность. Из двух видов нагрузки более опасным является тот, при котором объем материала находится в зоне максимальных напряжений. С этой точки зрения средняя прочность при растяжении должна быть не меньше, чем при чистом сдвиге, а при чистом сдвиге – меньше, нежели при изгибе сосредоточенной силой. По-видимому, начиная с некоторого размера образца, достигается полный набор всех возможных неоднородностей и слабых мест, и поэтому дальнейшее увеличение размеров уже не сопровождается понижением прочности.
Отметим, что следует критически подходить к методам оценки несущей способности элементов конструкций с учетом масштабного фактора, основанных на вероятностных подходах. Корректность этих методов не может быть высокой и зависит от того, насколько принятая модель отражает свойства конструкционного материала и учитывает особенности кинетики его разрушения.
Более реальным в настоящее время для учета в расчетной практике эффекта масштаба представляется подход, основанный на традиционных феноменологических теориях, когда масштабный фактор связывается с некоторыми параметрами, отражающими статистическую природу прочности материала.
При оценке несущей способности элементов конструкций из пластичных материалов, когда допускаемые напряжения для материала рассчитываются по условному пределу текучести, масштабный фактор практически можно не учитывать, поскольку, как показывают экспериментальные данные, состояние текучести этих материалов при разных соотношениях главных напряжений описывается уравнениями, не содержащими параметры, которые зависят от размеров испытываемых объектов. Однако следует иметь ввиду, что в зависимости от условий эксплуатации один и тот же материал может разрушаться пластично или хрупко. Поэтому при проектировании крупногабаритных изделий следует с большой ответственностью подходить к оценке влияния масштабного фактора и производить эту оценку с учетом особенностей условий эксплуатации.

79

чего образуется хрупкие гидриды. Механизм водородного охрупчивания до конца еще не выяснен. Водородному охрупчиванию подвержены в разной степени практически все металлы. Чувствительность к водородной хрупкости возрастает с увеличением прочности стали. Снижения водородного охрупчивания можно добиться удалением водорода с помощью «высушивания» при относительно низких температурах в течение нескольких часов.Охрупчивающее действие водорода при содержании его до 8-10 см3 в большинстве случаев является обратимым процессом, т.е. после низкотемпературного отжига пластичность образцов восстанавливается вследствие десорбции водорода из металла.

80