Расчеты на прочность при прямом плоском изгибе презентация

В строительных конструкциях часто встречаются балки, попе-речое сечение которых имеет хотя бы одну ось симметрии.

Ось сим-
метрии

Ниже будем рассматривать только случай вертикального плоского изгиба, то есть будем считать, что поперечные сечения балок симметричны относительно вертикальной оси, а нагрузки лежат в вертикальной плоскости. Линия пересечения силовой
плоскости и плоскости поперечного се-
чения называется силовой линией.

Силовая
плоскость

Силовая
линия

m

m

Mx=m

Qy=0

Mx

Mx=F*z

Qy=-F

F

F

Z

Mx

Qy

m

m

Приложим к его концам моменты m, действующие в плоскости симметрии бруса. Брус испытывает чистый изгиб.

О

dΘ

e’

d’

dz

Из чертежа видно, что ΔOLK подобен ΔKnn’, откуда следует:

(5.1)

dz

(5.2)

Из этой формулы следует, что нормальные напряжения при чистом изгибе распределяются по сечению не равномерно, как при осевом растяжении-сжатии, а по линейному закону, причем они обращают-ся в ноль на нейтральном слое.

y

Нейтральный слой

Нейтральная линия

Линия пересечения
нейтрального слоя и
поперечного сечения
называется
нейтральной линией.

N =

Mx =

My =

(*)

(**)

(***)

Подставим формулу (5.2) в формулу (**):

Mx =

Jx

Отсюда получаем

(5.3)

(5.5)

Нейтральная линия

y

σmax

N =

Sx

N =

так как при изгибе продольная сила N не возникает. Из последнего выражения следует, что для этого должен быть равен нулю стати-ческий момент Sx . Статический же момент обращается в нуль отно-
сительно центральной оси. Отсюда следует, что ось X, то есть ней-
тральная линия сечения обязательно проходит через центр тяжести.

нейтральной линии. Для этого возьмем формулу (*) и подставим в нее выражение (5.2):

X

C

Jxy

так как при вертикальном плоском изгибе изгибающий момент My не возникает. Из последнего выражения следует, что для этого должен быть равен нулю центробежный момент инерции Jxy. Центробеж-ный же момент обращается в нуль относительно главных осей. Из-вестно, что если сечение имеет ось симметрии и одна из кординат-ных осей с ней совпадает, то эти оси будут главными. Отсюда следу-ет, что вертикальная ось Y должна совпадать с осью симметрии сечения.

X

C

My =

Mx

Qy

σ

Исследуем сначала, меняется ли картина распределения нор-мальных напряжений при попе-речном изгибе по сравнению с изгибом чистым.

Y

Z

Первые обозначим через

так как они параллельны оси Y,

а вторые через

так как они параллельны оси Z.

Чистый изгиб

Поперечный изгиб

Поперечный изгиб

Qy

Mx

dz

Будем при этом предполагать, что эти касательные на-

пряжения по всей ширине сечения, то есть вдоль оси X, распределе-
ны равномерно, а направление совпадают с направлением по-
перечной силы Qy, возникающей в сечении.
Часть поперечного сечения, лежащую выше проведенного сечения
mn, назовем отсеченной, а ее площадь обозначим через Аотс.

-- статический момент относительно нейтральной линии (оси X) отсеченной части сечения, лежащей выше (или ниже) уровня рассматриваемого волокна.

Формула (5.6) дает только величину касательных напряжений. На-
правления их совпадают с направлением поперечной силы Qy.

Распределение касательных напряжений по высоте сечения су-
щественно зависит от формы сечения.

1. Сечение прямоугольной формы.

y

b

h

C

Cотс

yСотс

h/2-y

M

Aотс

Рассмотрим прямоугольное сече-
ние размерами h*b, проведем глав-
ную центральную систему коорди-
нат CXY.
Найдем величину касательных
напряжений в произвольной т.М с
координатами (x,y).
Сначала проведем через эту точку
линию, параллельную оси X. Назо-
вем отсеченной часть сечения, лежа-
щую, например, выше этой линии.
Обозначим через Сотс центр тя-
жести отсеченной части и найдем
его координату.

Y

X

h

C

1

2

3

В т.1 y=h/2;

В т.3 y=-h/2;

В т.2 y=0;

, так как все сечение лежит

ниже этого волокна и

X

Y

h

b

C

Можно показать, что между точка-ми 1 и 2 касательное напряжение будет меняться по закону квадрат-ной параболы.

yотс

Тогда

C

Отсеченной частью в данном случае будет тот же прямоугольник, что и в предыдущем случае, то есть стати-ческий момент меняться не будет. Изменится только ширина сечения на уровне отсеченной части .Тогда

Так как стенка швеллера тоже явля-ется прямоугольником, то и вдоль

3

нее касательное напряжение тоже будет меняться по закону квад-ратной параболы. Поскольку b>>d, то и

Эпюра касательных напряжений на уровне сопряжения полки и
стенки делает резкий скачок.

1

h

b

t

d

2

Y

X

C

на полках швеллера не определяются.

( получить
самостоятельно).

4

3

1

2

Строим эпюру

dz

p

m

n

s

σz

σz+dσz

Z

Y

X

(5.7)

Согласно закону парности касательных напряжений, в поперечном
сечении балки будут возникать напряжения

которые

можно вычислить по той же формуле (5.7).

Аотс

X

Посмотрим, как меняются эти напря-жения вдоль полки швеллера. Для это-го определим их в произвольной точке К (x,y). Обозначим через r расстояние от т.К до стенки.
Проведем через точку К линию,пара-ллельную оси Y и назовем часть пол-ки, лежащую левее линии, отсеченной.
Найдем сначала статический момент отсеченной части.

Подставим это в формулу (5.7)

это линейная функция.

К

r

b-r

CK

yCK

X

h

b

C

d

На нижней полке значения напряжений будут отличаться только знаком. По полученным значениям строим график

вдоль полок швеллера.

К

r

b-r

h

b

5

6

d

Распределение касательных напряжений в швеллере и дру-гих аналогичных тонкостенных профилях, имеет одну интерес-ную особенность.

Равнодействующую

найдем, вычислив площадь со-
ответствующей эпюры и умно-
жив ее на толщину полки:

Покажем эти силы на чертеже.

b

d

Точка О называется центром изгиба.

С

h/2

е

O

Тогда

( получить самостоятельно).

Выберем в этом сечении произволь-ную точку.

Проведем в этой балке произвольное сечение и отбросим часть балки, лежа-щую, например, справа от сечения.

нейтральный
слой

Y

X

Z

2). В силу закона парности касательных напряжений

3). Нормальные напряжения на верхней грани параллелепипеда
отсутствуют в силу гипотезы о ненадавливании продольных воло-
кон друг на друга, то есть

Главные напряжения найдем по формуле (3.4):

(5.8)

главные направления по формуле (3.5):

(5.9)

Рассмотрим т. К1 и т.К2, лежащие соответственно на верхнем и ниж-
нем продольных волокнах балки.

сательных напряжений

Аналогично в т. К2

Имеем линейное напряжен-

К2

К2

К2

М

М

М

касательных напряжений

Из (5.8) получим

Таким образом, на гра-

нях элемента в т.М возникают только касательные напряжения. Та-
кое напряженное состояние называется чистым сдвигом.

Из (5.9) получим

Так называются линии, в каждой точке которых касательная совпадает с направ-лением главного на-пряжения (σ1 или σ3).

Траектории

Траектории

Нейтральная
линия

Опасные
точки

Опасными точками такого сечения являются точки, наиболее удаленные от нейтральной линии, так как в этих точках возникают
наибольшие нормальные напряжения.

Если балка выполнена из хрупкого материала, то записываются
два условия прочности:

Тогда, используя, например, четвертую теорию прочности, получим

Отсюда

где Rср– это расчетное сопротивление на срез;

Условие прочности в точках, лежащих на нейтральной линии (ус-
ловие прочности по касательным напряжениям), проверяют, если
поперечная сила достигает наибольшего значения в опасном сече-нии балки.

Отметим, что точно также будет записываться условие прочности
во всех случаях состояния чистого сдвига.

X

Y

1)

b

h

Сначала при небольших значениях внешней нагрузки балка рабо-
тает в пределах упругой зоны.
В ней возникают напряжения, которые можно определить по фор-
муле (5.5) (рис.1):

При изучении дальнейшего поведения материала будем пользо-
ваться диаграммой Прандтля, согласно которой напряжения, дос-
тигнув предела текучести, уже не меняют своей величины, то есть
при увеличении нагрузки пластическая зона постепенно проникает
вглубь сечения; упругая часть сечения сокращается (рис.3).
Можно условно считать, что в пределе она пропадает совсем; во
всех точках сечения наступает текучесть (рис.4), то есть деформации
будут нарастать при постоянной нагрузке.

Найдем изгибающий момент Мxраз, соответствующей этому состоя-
нию бруса. Из формулы (1.1)

Mxраз =

Mxраз =

По формуле (5.5) найдем наибольший изгибающий момент по ме-
тоду предельных состояний:

А1

А1

При подборе сечения следует стремиться к тому, чтобы подо-бранное сечение было возможно более рациональным, то есть таким, для которого отношение

было возможно большим. Это означает, что при минимальной пло-
щади, то есть при минимальных затратах материала, надо стремить-
ся получить как можно больший момент сопротивления, то есть по-
лучить наибольшую прочность балки.

то есть Jx, в свою очередь, будет тем больше, чем дальше рас-
полагаются от нейтральной линии частицы площади сечения.
Поясним это на следующем примере. Рассмотрим два сечения,
составленных из одних и тех же элементов: два тавровых и восемь
прямоугольных.

а

а

2а

а

2а

Момент сопротивления будет равен

а

2,5а

2а

13а

Таким образом, мы получили, что значение β для двутаврого сече-
ния значительно больше, чем для прямоугольного, то есть двутав-
ровое сечение более рационально, чем прямоугольное.
Этот же вывод можно получить и из других соображений. Изобра-
зим прямоугольное сечение и покажем рядом с ним эпюру нормаль-
ных напряжений.

нейтральная
линия

В силу симметрии прямоугольного сечения наибольшие растяги-вающие и сжимающие напряжения в этом сечении будут одинаковы.

Попробуем сконструировать новое сечение, перенося материал из менее опасной зоны сжатия в более опасную зону растяжения.

железобетон

сталь

При хорошем соединении частей сечения можно считать, что оно
представляет собой монолитное сечение. Тогда при расчете такой
балки будут справедливы все основные формулы, но с поправкой
на неоднородность сечения.

где

-- коэффициент приведения i-го материала к основ-
ному (первому) материалу;

2) введем этот коэффициент во все основные формулы изгиба:

и т.д.

Двутавр №45

Пример.

сталежелезобетонная балка

Поперечное сечение балки состоит из железобетонной части (при
расчете арматуру учитывать не будем) – прямоугольник размером
120х12см и стальной– двутавр №45.

120см

12см

Решение.

yc=40,5см

1) В бетоне --

1

2

точках, учитывая, что, как следует из эпюры Mx, выше оси x лежит
зона сжатия, ниже – растяжения.

y1

y2

5

1,4

14

120

,МПа

y2

3

2) В стали --