Основы теории подобия презентация

большой трудности вследствие стабильности свойств различных материалов и их состояния.

Определение коэффициентов теплоотдачи αк и массоотдачи β является трудной задачей.

Эти коэффициенты зависят от множества трудно учитываемых факторов: от режима движения жидкости; от свойств жидкости; от состояния поверхности; от геометрической формы поверхности и т. п.

экспериментам на типичных моделях при определенных условиях.

Система понятий и законов, обосновывающих возможность переноса результатов экспериментов с одного объекта (модели) на другой (реальный), называется теорией подобия.

В основе теории подобия лежат следующие понятия и положения.

же физическим законам и все величины , характеризующие один процесс, могут быть получены путем умножения однородных с ним величин , характеризующих другой процесс, на постоянные числа Ci, которые называются константами подобия и одинаковы для всех однородных величин:


Константами подобия – отношение однородных физических величин в сходственных точках модели и натурного объекта.

их стороны пропорциональны:




Величина Cl называется константой геометрического подобия.

геометрического подобия численное значение геометрической константы подобия Cl может быть любым.

Для сложных физических процессов, характеризуемых многими величинами, взаимно влияющими друг на друга, значения констант подобия произвольно выбрать нельзя.

Установим условие, ограничивающие выбор констант подобия С.
Рассмотрим движение жидкости со скоростью ω на пути l за время τ:

есть условие, ограничивающее выбор констант подобия при рассмотрении сложных физических процессов.

и

или

и применяется для того, чтобы подчеркнуть, что критерии для подобных явлений должны быть одинаковыми.

Записанное соотношение безразмерно и в общем случае отлично от единицы. Данное соотношение называется критерием подобия.

с помощью масштабных преобразований и т.д.

В качестве примера рассмотрим подобие двух случаев конвективного теплообмена между жидкостью и плоской стенкой длиной l' и l''.

δ'' (закон Фурье)



и конвекции в движущейся массе жидкости (закон Ньютона)


где λ и α – средние значения коэффициентов теплопроводности и теплоотдачи.
При стационарном режиме

l, получим:



Полученный безразмерный комплекс называется числом Нуссельта

– дифференциальное уравнение одномерной, стационарной конвективной теплоотдачи между жидкостью и стенкой

откуда

толщину пограничного слоя (длина пластины, толщина пограничного слоя и т.п.).

Величины λ и α берутся однозначно, т.е. или в обоих случаях средние, или отнесенные к каким-то сходственным точкам.

Основные критерии подобия, применяющиеся при решении задач теплообмена, и их физический смысл.

Аналогичные критерии с соответствующей заменой коэффициентов и потенциалов применяются при решении задач массоотдачи.

канала; ν – коэффициент кинематической вязкости (м2/с).

Критерий Рейнольдса характеризует гидродинамический режим движения, являясь мерой отношения сил инерции и вязкости. При малых силах инерции и больших силах вязкости движение ламинарное, в противоположном случае - турбулентное.

– коэффициент объемного расширения (К-1);

– для идеального газа; Δt – разность температур в двух точках системы потока и стенки (К). Если ρж и ρс – плотности жидкости в двух точках системы, то


Критерий Грасгофа характеризует гидродинамическое подобие при свободном движении жидкости. Отражает соотношение между подъемной силой, заставляющей всплывать нагретые частицы теплоносителя (архимедова сила), и силой вязкостного трения, препятствующей подъему этих частиц. Чем Gr выше, тем свободное движение интенсивнее.

между интенсивностью теплоотдачи и температурным полем в пограничном слое потока.

Чем Nu выше, тем интенсивнее процесс конвективного теплообмена.

коэффициент теплопроводности жидкости;
a – коэффициент температуропроводности (м2/с).

Критерий Прандтля характеризует физические свойства жидкости и способность распространения тепла в жидкости.

Для газов Pr = 0,67÷1,0 и зависит только от атомности;
для жидкостей Pr = 1,0÷2500.

величин, называются определяющими, а критерии, включающие искомые величины – неопределяющие.

Определяющими называются величины, заданные в условиях однозначности физических процессов, являющиеся независимыми переменными.

Например, при расчете конвективного теплообмена критерий Нуссельта Nu является неопределяющим, поскольку в него входит искомая величина α (коэффициент теплоотдачи). Критерии Рейнольдса Re и Прандтля Pr в этих расчетах определяющие.

в твердом теле, условия взаимодействия которого с окружающей средой (теплоносителя) известны (коэффициент теплоотдачи α задается).

По условию задачи бывают известны также характерный размер l и коэффициент теплопроводности λ.

Поэтому критерий Био является также определяющим.

Температура, при которой определяются физические параметры λ, а, ν и др., входящие в критерии подобия называется определяющей температурой, а характерный размер теплоносителя или канала δ, l, d – определяющим размером.

ним краевых условий в том случае, если эта система является замкнутой, т.е. число уравнений равно числу неизвестных величин и соблюдено условие единственности решений.

В таком случае принципиально возможно получить решение относительно любого из этих неизвестных, т.е. выразить интеграл рассматриваемой системы уравнений в виде некоторой функции


где yi – искомая неизвестная (зависимая) переменная величина;
xi – независимые переменные, входящие в основную систему уравнений.

(4)

независимыми, необходимо определить краевые условия протекания изучаемого процесса – условия однозначности:
геометрические условия (форма и размер тела, координатная система);

физические условия (физические свойства среды и тела);

временные условия, характеризующие состояние системы в начальный момент времени;

граничные условия, которые определяют условия взаимодействия системы с окружающей средой.

основным уравнениям и являются независимыми переменными, совокупность которых однозначно определяет протекание данного физического процесса.

Все остальные переменные, входящие в основные уравнения, являются зависимыми переменными.

Величины xi в формуле (4) составлены из условий однозначности.

точках подобных процессов (например, a, b, c, d изображенные на рисунке) одноименные критерии должны иметь одинаковые значения.

уравнением подобия (критериальным уравнением), которое является безразмерным решением (интегралом) рассматриваемой задачи, справедливым для всех подобных процессов.

Обозначим через Kо определяющие критерии, а через Kн – неопределяющие, то критериальное уравнение в общей форме будет иметь вид:

(5)

достаточно, чтобы они были качественно одинаковы, т.е. их условия однозначности были подобны, а определяющие критерии в сходственных точках равны.

Поясним содержание 2-ой и 3-ей теорем.

Вторая теорема является для практических целей самой плодотворной.

Смысл второй теоремы сводится к тому, что можно, не интегрируя дифференциальные уравнения исследуемых подобных процессов, получать расчетные формулы, заменяя эти дифференциальные уравнения критериальными.

из этих уравнений аналитически определяют критерии подобия и рассматривают их как новые переменные (каждый из критериев состоит из нескольких переменных).

Количество переменных при этом сокращается, что облегчает исследование.

Затем между критериями экспериментально устанавливается функциональная зависимость – критериальное уравнение. Эти уравнения получаются для строго определенных условий, поэтому пользоваться ими можно лишь в том диапазоне изменения определяющих критериев, который имел место в опытах, т.е. в пределах, ограниченных условиями подобия.

к изотермическим, имеет вид


Это уравнение применимо при

и

Определяющим размером в числах Рейнольдса Re и Нуссельта Nu является внутренний диаметр трубы, определяющей температурой – температура потока t1 теплоносителя. В случае, если температура потока t1 и стенки tст заметно отличаются друг от друга, величину критерия Nu полученную из формулы (6), надо умножить на специальную поправку.

(6)

подобия в сходственных точках.

Если определяющие критерии одинаковы, то критерии, составленные из величин, не относящихся к условиям однозначности, т.е. неопределяющие, тоже будут равны.

Теория подобия широко используется при моделировании самых различных процессов и явлений, особенно при рассмотрении конвективного теплообмена и определения для разных его случаев коэффициента теплоотдачи.