ϖ – объёмная плотность мощности тепловых источников.
Плотность потока тепла определяется законом Фурье:
λ – коэффициент теплопроводности.
- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Модели на основе ДУ в частных производных и метод конечных разностей презентация
Содержание
- 1. Модели на основе ДУ в частных производных и метод конечных разностей
- 2. 2 Физическая модель: тонкая проволока,
- 3. Метод конечных разностей 3
- 4. 4 – остаточный
- 5. 5 Таким образом
- 6. 6 Конечностно-разностный аналог уравнения
- 7. 7 Решение системы уравнений
- 8. 8 Прямой ход (вычисление
- 9. 9 Рассматриваемую задачу
2 Физическая модель: тонкая проволока, окружённая теплоизолирующей оболочкой. Концы проволоки прикреплены к массивным контактам, обеспечивающим хороший теплоотвод, и как следствие, поддержание их температуры постоянной; будем считать температуру проволоки
Слайд 1Модели на основе ДУ в частных производных
и метод конечных разностей
1
В стационарном
режиме поток тепла в данной точке пространства определяется теоремой Остроградского-Гаусса в дифференциальной форме:
Слайд 2
2
Физическая модель: тонкая проволока, окружённая теплоизолирующей оболочкой. Концы проволоки прикреплены к
массивным контактам, обеспечивающим хороший теплоотвод, и как следствие, поддержание их температуры постоянной; будем считать температуру проволоки не слишком высокой, что позволяет пренебречь зависимостью сопротивления от температуры.
Уравнение Пуассона:
Аналитическое решение:
– максимальное приращение температуры.
Перейдём к безразмерной координате
Слайд 3Метод конечных разностей
3
Для упрощения задачи будем считать, что функция y(x) задана
своими значениями на системе равноотстоящих узлов
Рассмотрим одномерный случай:
Разложим функцию y в ряд Тейлора в окрестности точки xi:
Для (i-1)-го и (i+1)-го узлов сетки:
- шаг сетки
Слайд 4
4
– остаточный член 2-го порядка точности.
Для вычисления 2-й производной ряд Тейлора
ограничим членом
Слайд 5
5
Таким образом
В двумерном случае используют разделенные конечные разности по x- и
y-координате:
Например, уравнение Лапласа
можно преобразовать как
или
Слайд 6
6
Конечностно-разностный аналог уравнения
имеет вид
Здесь шаг сетки
В виде трёхдиагональной матрицы:
Слайд 7
7
Решение системы уравнений методом прогонки
Этот метод применяется в общем случае
для систем вида:
при условии b1=0 и dn=0.
Введем коэффициенты δi и λi:
Уменьшим индекс i на 1:
Слайд 8
8
Прямой ход (вычисление δi и λi)
i=1
i=2,3,…, n-1
Обратный ход (вычисление xi)
i=n
i=(n-1), (n-2)…,
1
Слайд 9
9
Рассматриваемую задачу можно приблизить к реальности, учитывая теплоотдачу с поверхности проводника.
Если превышение температуры проводника много меньше температуры окружающей среды, то теплоотдачу с поверхности проводника можно считать пропорциональной разности температуры T проводника и температуры T0 окружающей среды:
α – коэффициент теплоотдачи поверхности
Тогда трёхдиагональная матрица примет вид
