Механические колебания и волны презентация

зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические, электромагнитные, электромеханические и т. д.

В зависимости от характера воздействия, оказываемого на колеблющуюся систему, различают свободные (или собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Свободными или собственными называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок, либо она была выведена из положения равновесия.

Простейшими являются гармонические колебания, т. е. такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса.

Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени.

повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебание.

Частота колебаний ν определяется, как число полных колебаний в 1 секунду.

ω – циклическая (круговая) частота – число полных колебаний за 2π секунд.

состоянии равновесия сила mg уравновешивается упругой силой kΔl0:

Если сместить шарик от положения равновесия на расстояние, равное х, то удлинение пружины станет равным Δl0 + х

Проекция результирующей силы на ось х :

Учитывая условие равновесия (1), получим, что

(1)

имеют противоположные направления.

Таким образом, сила f обладает следующими свойствами: 1) она пропорциональна смещению шарика из положения равновесия, 2) она всегда направлена к положению равновесия.

Силы такого вида, независимо от их природы, принято называть квазиупругими.

Для того, чтобы сообщить системе смещение х, нужно совершить против квазиупругой силы работу :

Эта работа идет на создание запаса потенциальной энергии системы. Следовательно, система, в которой действует квазиупругая сила, при смещении из положения равновесия на расстояние х обладает потенциальной энергией:

Под действием силы f = -kx шарик будет двигаться к положению равновесия со все возрастающей скоростью

При этом потенциальная энергия системы будет убывать , но зато появится все возрастающая кинетическая энергия (массой пружины пренебрегаем).

Придя в положение равновесия, шарик продолжает двигаться по инерции. Это движение будет замедленным и прекратится тогда, когда кинетическая энергия полностью превратится в потенциальную, т. е. когда смещение шарика станет равным - d. Затем такой же процесс будет протекать при движении шарика в обратном направлении.

Если трение в системе отсутствует, энергия системы должна сохраняться и шарик будет двигаться в пределах от х = d до х = - d.

второй закон Ньютона для шарика:

обозначим

уравнение колебаний шарика на пружине

Решение уравнения колебаний имеет вид:

или

Смещение х изменяется со временем по закону косинуса. Следовательно, движение системы, находящейся под действием силы вида f = —kx, представляет собой гармоническое колебание.

положения равновесия называется амплитудой колебания А.

Величина (ωo t + α), стоящая под знаком косинуса, называется фазой колебания.

Постоянная α представляет собой значение фазы в момент времени t = 0 и называется начальной фазой колебания.

Продифференцировав по времени выражение x(t), получим выражение для скорости

где

– амплитуда скорости;

Продифференцировав по времени выражение υ(t), получим выражение для ускорения

где

– амплитуда ускорения.

в тот момент, когда смещение достигает наибольшего положительного значения, ускорение достигает наибольшего по величине отрицательного значения, и наоборот.

подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая движение в вертикальной плоскости под действием силы тяжести.

При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент М.

Запишем для маятника уравнение динамики вращательного движения.

Учтем, что

Получим:

или

математического маятника

- период колебаний математического маятника

неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции.

При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент:

где m – масса маятника; l – расстояние между точкой подвеса и центром инерции маятника.

Запишем для маятника уравнение динамики вращательного движения.

В случае малых колебаний

или

с длиной

будет иметь такой период колебаний, как и данный физический маятник.

- приведенная длина физического маятника.

колебания должна оставаться постоянной.

свободные затухающие колебания.

Ограничимся рассмотрением малых колебаний.

r – коэффициент сопротивления

Напишем для колеблющегося тела 2-ой закон Ньютона:

или

где

Будем искать решение уравнения в виде:

где А(t) – некоторая функция времени.

(*)

уравнение II, получим:

(разделим на А)

ω - частота затухающих колебаний

При условии, что

величина ω будет вещественной

Т.о. при небольшом затухании решение уравнения:

, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Период затухающих колебаний:

затухающие колебания;
D< 1 – колебания с возрастающей амплитудой;
D→∞ - апериодическое движение

Логарифм отношения двух последующих амплитуд называется логарифмическим декрементом затухания:

- добротность колебательной системы

внешней периодически изменяющейся силы (вынуждающей силы).

Пусть вынуждающая сила изменяется со временем по гармоническому закону:

Предполагая колебания достаточно малыми, будем считать силу сопротивления пропорциональной скорости.

Тогда уравнение движения:

Неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

(*)

в уравнение

однородного уравнения:

Т.о., функция (1) описывает установившиеся вынужденные колебания.

тому, что при некоторой определенной для данной системы частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения

Это явление называется резонансом, а соответст-вующая частота – называется резонансной частотой.

Для определения резонансной частоты найдем max для амплитуды:

Или min

определяющее ωрез:

Это уравнение имеет три решения:

II и III

I

I решение (ω=0) соответствует максимуму знаменателя.

Для резонансной частоты получается одно значение:

Подставим в выражение для амплитуды и получим выражение для амплитуды при резонансе:

кривая

А

Если восполнять эту убыль энергии, колебания станут незатухающими. Пополнение энергии системы может осуществляться за счет толчков извне, однако эти толчки должны сообщаться системе в такт с ее колебаниями, в противном случае они могут ослабить колебания и даже, прекратить их совсем. Можно сделать так, чтобы колеблющаяся система сама управляла внешним воздействием, обеспечивая согласованность сообщаемых ей толчков со своим движением. Такая система называется автоколебательной, а совершаемые ею незатухающие колебания — автоколебаниями.

Обратная связь

Колебательная система

Клапан

Источник энергии

Любая автоколебательная система состоит из 4-х частей.

направления и одинаковой частоты. 3. Биения. 4. Сложение взаимноперпендикулярных колебаний.