Дифракция. (Тема 31) презентация

Дифракция приводит к огибанию волнами
препятствий и проникновению света в
область геометрической тени.

Для наблюдения дифракции световых волн
необходимо создание специальных условий.
Это обусловлено малостью длины световой
волны.

Оба явления заключаются в перераспределении

Однако, этот принцип не дает сведений
об амплитуде и об интенсивности
вторичных волн,
в различных направлениях.

Учет амплитуд и фаз вторичных волн
позволяет найти амплитуду суммарной
волны в любой точке пространства.
Развитый таким способом
принцип Гюйгенса получил название
принципа Гюйгенса-Френеля.

каждая точка,

распространяющихся

Множитель
и направлением от
Результирующее колебание определим
по принципу суперпозиции полей:

до точки наблюдения

к площадке

между нормалью

зависит от угла

к точке наблюдения

Для нахождения амплитуды колебаний
в точке наблюдения
кольцевые зоны волновую поверхность
так,
зоны до точки наблюдения отличаются
на
Френеля.
симметричны относительно линии LP.

разобьем на

что расстояния от краев каждой

Эти зоны называются зонами

Очевидно, что зоны Френеля

Это означает, что и результирующие колебания, создаваемые каждой из
зон в целом, будут для соседних зон различаться на
колебания в точке наблюдения от соседних зон ослабляют друг друга.

Следовательно,

Обозначим площадь этого
сегмента через
площадь k-ой зоны Френеля
можно представить в виде

где
выделяемого внешней
границей (k-1)-зоны.

Из рисунка видно, что
Здесь:
k-ой зоны.

Тогда

– площадь сегмента,

– радиус внешней границы

– радиус волновой поверхности;

Возведя скобки в квадрат, получим

можно ввиду

пренебречь слагаемым,

В этом приближении

Полученное нами выражение не зависит от k,
т.е. площади зон примерно одинаковы.

– радиус сферы, а

где

поэтому можно считать, что

Если предположить, что

то для радиуса первой (центральной)
зоны получается значение
Радиусы последующих зон пропорциональна

Все это приводит к тому, что амплитуда
k-ой зоной в точке наблюдения, монотонно убывает с ростом
Даже при очень больших
с
рост
Таким образом, амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке наблюдения
зонами Френеля, образуют монотонно убывающую последовательность

от зоны до

между нормалью

колебания, возбуждаемого

когда площадь зоны начинает заметно расти

в интеграле Френеля превышает

убывание множителя

продолжает убывать.

так что амплитуда колебаний

Четные и нечетные амплитуды
противоположны по знаку.

Представим выражение для результирующей амплитуды в виде

Вследствие монотонности убывания амплитуды с ростом номера зоны
можно приближенно считать, что

Полученный результат означает,
что амплитуда, создаваемая в точке наблюдения всей сферической
волновой поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой лишь
одной центральной зоной Френеля.

Колебание, создаваемое каждой из зон в точке
наблюдения, изобразим в виде вектора, длина
которого равна амплитуде колебания.
Угол, образуемый вектором с направлением,
принятым за начало отсчета (линия горизонта), дает
начальную фазу колебаний для данной зоны.

Амплитуда колебаний, создаваемых такими зонами
медленно убывает при переходе от зоны к зоне.
Каждое следующее колебание отстает по фазе от
предыдущего на одну и ту же величину.
Векторная диаграмма, получающаяся при сложении
колебаний имеет вид, показанный на рисунках.

Если поставить на пути световой волны
пластинку, которая перекрывала бы все
нечетные (а) или четные (b) зоны, то
интенсивность света резко вырастет.
Такая пластинка, называемая зонной,
действует как собирающая линза.

Еще большего эффекта можно достичь, если
не перекрывать четные (или нечетные) зоны,
а изменить фазу их колебаний на

Это можно осуществить с помощью прозрачной
пластинки, толщина которой в местах четных (с)
или нечетных (1) зон изменена надлежащим
образом.

Такая пластинка называется фазовой зонной
пластинкой или линзой Френеля.

Жан Огюстен Френель
1788 – 1827
французский физик

Йозеф Фраунгофер
1787 – 1826
немецкий физик

Это означает, что отверстие (диафрагма) оставит на преграде открытыми
ровно
Френеля.

(от источника до

Пусть расстояние

(от преграды до экрана) таковы,

первых зон

Причем,

Для четного числа зон амплитуда
результирующего колебания будет

Объединяя оба выражения получим:

– нечетное, и минус – если четное.

берется знак плюс, если

– нечетное то в центре будет наблюдаться

Полученный результат означает, что в центре геометрической тени будет
светлое пятно, получившее название пятна Пуассона.
наблюдению впервые выполнил Доминик Франсуа Араго в 1818 году.

Если диск закроет

Опыт по его

Расположим эту полуплоскость так, чтобы она совпала с одной из

За полуплоскостью параллельно ей расположим

Ширину зон выберем так, чтобы
расстояния от точки наблюдения
до краев любой зоны отличались
(в плоскости рисунка) на одну и
ту же величину
Тогда колебания, создаваемые
в точке наблюдения соседними
зонами, будут отличаться по
фазе на одну и туже величину.

Чтобы установить зависимость амплитуды от номера зоны
площади зон.

Положив в этой формуле

Ширины и площади зон находятся между собой в соотношении:

зон

Из рисунка ясно, что суммарная ширина первых

оценим

Следовательно

получим, что

Поэтому ломанная линия,
получающаяся при
графическом сложении
амплитуд колебаний, возбуждаемых зонами Шустера,
идет сначала более полого, чем в случае кольцевых
зон,
при аналогичном
построении примерно
равны.

1-ый квадрант – правые зоны;
3-ий квадрант – левые зоны.

вначале (для первых зон) убывает

площади которых

Уравнение спирали Корню в
параметрической форме имеет вид

Эти интегралы называются
интегралами Френеля.
берутся в элементарных функциях.

Смысл параметра
даёт длину дуги кривой Корню, отсчитанной от начала координат.

Точки
называются фокусами или полюсами спирали Корню.

Они не

заключается в том, что

к которым асимптотически приближается спираль при

и

Следовательно

Если
к спирали Корню в данной точке,
смысла производной можем составить уравнение

Это означает, что в точке, отвечающей длине
кривой, например к оси Если

в точке

на

и

– угол наклона касательной

то на основании геометрического

касательная к спирали Корню перпендикулярна

и так далее.

то

если

то

Для спирали Корню

Угол наклона касательной к спирали
Корню
колебаний волн,
волновой поверхности, лежащими
против точки наблюдения
равна )

Поэтому угол
лучей

отвечающим краю

совпадает со сдвигом фаз

испущенных точками

(координата

и на границе тени

можно выразить через оптическую разность хода этих

Для точки
начало и конец результирующего вектора
находятся в симметричных относительно
начала координат точках спирали Корню.

Если сместиться в точку
края щели, начало результирующего вектора
переместится в нулевую точку спирали.
вектора переместится по спирали к ее полюсу.

При углублении в область геометрической
тени начало и конец результирующего вектора
будут скользить по спирали и в конце концов
окажутся на наименьшем расстоянии друг от
друга
начало и конец вектора отойдут друг от друга – интенсивность растет.

лежащей против середины щели,

лежащую против

Конец

В дальнейшем

– наблюдается минимум интенсивности.

(точка )

будет пульсировать, проходя через

по обе стороны от

Поэтому интенсивность света в точках вблизи
середины щели будет практически постоянной.
Только на границах геометрической тени образуется система четких
светлых и темных полос, как при дифракции на крае полуплоскости.

Поместим за щелью собирающую линзу, а в ее
фокальной плоскости экран. Плоскости щели,
линзы и экрана параллельны друг другу.

Разобьем открытую часть волновой поверхности
на параллельные краям щели элементарные
прямоугольные зоны шириной

Вторичные волны, посылаемые зонами под углом
к оптической оси системы, соберутся на
экране в определенной точке

Каждая элементарная зона создает в точке
свой вклад в результирующее колебание

Тогда амплитуда колебания каждой
элементарной зоны в любой точке
экрана будет зависеть только от
площади зоны, пропорциональной
ширине зоны

Обозначим алгебраическую сумму амплитуд колебаний, возбуждаемых в
некоторой точке экрана всеми зонами через
проинтегрировав вклады

можно

то есть

Найдем эту амплитуду,

по всей ширине щели

Теперь определим фазовые соотношения
между колебаниями
для зон с различными координатами

Пусть будет нулевой начальная фаза колебания, возбуждаемого в точке
наблюдения на экране элементарной зоной, расположенной на щели в
точке с координатой
Тогда для элементарной зоны в точке с координатой
фазе будет формироваться на разности хода

Таким образом

отставание по

(имеется в виду вещественная часть этого выражения).

Результирующее колебание, возбуждаемое в точке наблюдения на экране
всей щелью, найдем в результате интегрирования по ширине щели:

Для упрощения вычисления
интеграла точка
помещена в середину щели.

Введем обозначение

в точке экрана,

тогда интеграл примет вид

В результате вычисления получим:

к оптической оси системы,

Выражение в фигурных скобках задает
комплексную амплитуду
cуммарного колебания.

Воспользуемся формулой Эйлера:

После преобразования по формуле Эйлера выражение для комплексной
амплитуды примет вид

Для точки, лежащей против центра линзы,
Подстановка этого значения в формулу
для амплитуды приводит к значению

Этот результат легко объяснить.
зон приходят в точку наблюдения
амплитуда результирующего колебания равна алгебраической сумме
амплитуд складываемых колебаний от всех элементарных зон.

При значениях угла

амплитуда

Его модуль

идущих от щели

колебания от элементарных

При

Следовательно

в одинаковой фазе.

удовлетворяющих условию

обращается в нуль.

Если разность хода от краев щели
то волновую поверхность, открываемую щелью,
можно разбить на
причем разность хода от краев каждой зоны
будет равна
соседних зон взаимно погашают друг друга,
так что результирующая амплитуда равна нулю.

Если разность
хода от краев
щели будет

число зон
будет
нечетным,

действие одной из них окажется
некомпенсированным и наблюдается максимум интенсивности.

равных по ширине зон,

Колебания от каждой пары

Дифракционная картина симметрична относительно центра линзы

Количество минимумов интенсивности определяется отношением ширины
щели к длине волны:

Если

– интенсивность света в середине

– интенсивность в точке,

то минимумы не возникают.

В случае, когда
минимумы не возникают – интенсивность убывает от середины к краям.

получающиеся из условия

то

Если

Расположим параллельно решетке линзу,
а в ее фокальной плоскости экран.

Пусть на решетку нормально падает
плоская световая волна.

Определим характер дифракционной
картины на экране.

Картины от всех щелей
придутся на одно и то же
место экрана – независимо от положения щели,
главный максимум лежит на оптической оси линзы.

Если колебания, приходящие в точку наблюдения от
различных щелей, будут
некогерентными, то
результирующая картина
от щелей будет той же,
как в случае одной щели,
но все интенсивности
возрастут в раз.

В случае когерентности изменяется характер картины.

В этих условиях результирующая амплитуда и интенсивность будут равны:

Из рисунка видно, что разность хода от соседних щелей
Следовательно, разность фаз для волн, идущих от соседних щелей будет

– интенсивность света, создаваемая одной щелью против центра линзы.

В этих точках интенсивность от
каждой из щелей в отдельности,
равна нулю (главные минимумы).

Второй множитель принимает значение

В этих направлениях колебания всех щелей совершаются в одной фазе,
амплитуда колебаний

В промежутках между соседними главными максимумами имеется
добавочных минимумов в направлениях, для которых колебания от щелей
взаимно погашают друг друга:

в точках, для которых

(главные максимумы).

Модуль синуса не может превысить единицы, поэтому
количество наблюдающихся главных максимумов

Угловая ширина центрального (нулевого) максимума будет зависеть от
положения ближайших к нему дополнительных минимумов, то есть

В центре лежит узкий нулевой максимум;
у него окрашены только края, так как ширина
центрального максимума

По обе стороны от центрального максимума
расположены два спектра 1-го порядка,
затем два спектра 2-го порядка и т. д.

Положение красного конца спектра порядка

Поэтому при

Фиолетовый фланг этого

зависит от

будет

и фиолетового порядка