8 лекция. Простейшие электронные цепи и методы их анализа презентация

– совокупность электронных компонентов, соединенных определенным образом, предназначенная для реализации заданной передаточной функции (ПФ) над входными сигналами.
Анализ ЭЦ предполагает вывод ПФ и расчет ее параметров.
Передаточной функцией К(р) будем называть отношение
K(p) = Y(p)/X(p) изображений по Лапласу выходной величины Y(p) анализируемой цепи к входной X(p).
Законы Ома и Кирхгофа, а также все классические методы расчета справедливы и действуют для цепей, представленных в операторной форме.
Основные режимы работы цепей анализируются из одного уравнения для ПФ и следуют просто как разные формы решения этого уравнения.
Легкость перехода к спектральному представлению и анализу цепей, основанная на том, что преобразование Фурье является частным случаем преобразования Лапласа.

метод заключается в том, что из области функций действительного переменного решение переносится в область функций комплексного переменного p = с + jω, где операции принимают более простой вид, а именно: вместо исходных дифференциальных или интегро-дифференциальных уравнений получаются алгебраические уравнения; затем полученный решением алгебраических уравнений результат переводится обратно в область функций действительного переменного. Этот переход осуществляется с помощью формул или таблиц.

сходится абсолютно и является аналитической функцией комплексного переменного р = с + jω. Интегральное уравнение вида (2.1) представляет собой прямое преобразование Лапласа. Функция f(t) называется оригиналом, а функция F(p) - изображением по Лапласу.

Пусть f(t) - функция действительного переменного t,
заданная в области t > 0 и равная нулю при t < 0.
Известно, что если f(t) имеет ограниченный рост, то интеграл:

(2.1)

и комплексного переменного р, связанных преобразованием Лапласа. Из определения изображения следует, что каждый оригинал имеет единственное изображение. В свою очередь, оригинал вполне определяется своим изображением с точностью до значений в точках разрыва оригинала. Сокращенно переход от оригинала к изображению может быть записан в виде f(t) ⇒ F(p) и, соответственно обратный переход F(p) ⇒ f(t).

Математическим операциям над оригиналами соответствуют определенные операции над изображениями и наоборот. Знание этих операций, или, как их называют, свойств преобразования Лапласа, облегчает нахождение изображений. Оно позволяет переходить от дифференциальных (или интегро-дифференциальных) уравнений, записанных для функций-оригиналов, к "операторным" уравнениям, записываемым для изображений, и облегчает последующее нахождение искомого оригинала по вычисленному изображению. Основные свойства преобразования Лапласа доказываются в курсе математического анализа. Ниже приводятся лишь формулировки этих свойств.

pF(p) - f(0_).
Теорема интегрирования интегрированию оригинала соответствует операция деления на p
∫ f(t)dt ⇒ F(p)/p.
Теорема запаздывания запаздыванию во временной области соответствует умножение изображения на экспоненциальную функцию p
f(t - τ) ⇒ e-pτ F(p).

Теорема смещения показывает, как изменяется изображение при умножении оригинала на экспоненциальную функцию времени
eλt f(t) ⇒ F(p - λ).
Теорема умножения изображений (теорема свертывания) устанавливает, что умножению изображений соответствует операция свертки оригиналов с пределами интегрирования от 0 до t
F1(p) F2(p) ⇒ ∫ f1(t) f2(t - τ) dτ.
Теорема подобия показывает, как изменяется изображение при изменении масштаба независимой переменной t оригинала
f(at) ⇒ (1/a) F(p/a).

или, в самом простом случае, что умножение оригинала на постоянный коэффициент соответствует умножению изображения на этот же коэффициент
af(t) ⇒ aF(p).
Предельные соотношения. Первое предельное соотношение дает возможность найти начальное значение функции f(t) при t = 0 непосредственно по изображению: lim f(t) = lim pF(p), при p → ∞.
Второе предельное соотношение дает возможность найти предел функции f(t) при t → ∞ по значению функции F(p) в начале координат:
lim f(t) = lim pF(p), при p → 0. Предельные соотношения полезны для проверки вычислений с помощью преобразования Лапласа.

2.2.2. Обратное преобразование Лапласа
Обратное преобразование Лапласа позволяет перейти от изображений к оригиналам. Из теории функции комплексного переменного известно, что если функция F(p) аналитична и интегрируема в пределах от c - jω до c + jω, то существует интеграл

(2.1)

уравнения (2.1) относительно функции f(t). Переход F(p) ⇒ f(t) непосредственно по формуле (2.2) не всегда удобен из-за сложности, поэтому на практике используют различные приближенные методы оценки вида функции f(t). При анализе сложных электрических цепей чаще всего применяют теорему о вычетах (теорему разложения), которая позволяет представить подинтегральное выражение в (2.2) в виде суммы ряда простых слагаемых и заменить операцию интегрирования операцией суммирования этих слагаемых. Другой путь реализации обратного преобразования Лапласа заключается в использовании специальных таблиц, связывающих оригиналы и изображения. Эти таблицы составлены для множества функций F(p) и f(t) и приводятся в справочной математической литературе, в учебниках по теоретическим основам электротехники, теории сигналов и цепей. В табл. 2.1 приведена выписка некоторых преобразований.

Методика составления уравнения для ПФ содержит несколько этапов.Исходно должна быть задана топология анализируемой цепи и определено, что является входной величиной, а что - выходной. Порядок действий:
1) преобразование цепи в операторную форму;
2) составление системы алгебраических уравнений цепи по законам Ома и Кирхгофа в соответствии с выбранным методом расчета;
3) решение полученной системы относительно выходной величины;
4) запись решения в форме уравнения преобразования, когда неизвестная выходная величина Y(p) записывается в левой, а заданная входная величина X(p) - в правой части уравнения вместе с совокупностью компонент определяющих операторный коэффициент передачи:
Y(p) = K(p) X(p);
5) запись уравнения для ПФ в виде K(p) = Y(p)/X(p);
6) качественный анализ ПФ как функции от оператора р с использованием предельных соотношений p → 0 и p → ∞;
7) переход от изображений к оригиналам либо в комплексной форме K(jω), либо в показательной K(t);
8) численная оценка коэффициента передачи K(ω) на заданной частоте или K(t) в заданный момент времени и построение соответствующих зависимостей K(ω) или K(t).

по топологии и назначению электрических цепей, электронных устройств, приборов и систем, специалисты договорились в качестве основных использовать следующие характеристики: 1) амплитудную (АХ);
2) амплитудно-фазочастотную (АФЧХ);
3) переходную (ПХ).
Для каждой характеристики определен перечень основных параметров, с помощью которых производится сравнительная оценка качества различных устройств по диапазону преобразуемых величин, быстродействию, точности и др. Ряд этих параметров законодательно оговорен и используется как перечень обязательных паспортных параметров электронных устройств.
Амплитудная характеристика (АХ) представляет собой зависимость амплитудного (или действующего) значения выходной величины цепи от амплитудного (или действующего) значения входной величины. В информационно-измерительной технике понятию АХ соответствует понятие уравнения преобразования (УП). Если АХ является линейной, то и такая электрическая цепь называется линейной.

сигнала. Для цепей с линейной АХ реакция цепи на входное воздействие в форме синусоидального сигнала будет иметь синусоидальную форму. Формально АЧХ можно определить как зависимость коэффициента передачи цепи от частоты входного сигнала K(ω ). В свою очередь K(ω ) равен модулю ПФ при замене p = jω, т.е.
K(ω) = √ Re2[K(p = jω )] + Im2[K(p = jω )], (2.3)
где символами Re2[K(p = jω)] и Im2[K(p = jω)] обозначены соответственно квадраты действительной и мнимой частей комплексной ПФ K(jω).

Амплитудно-фазочастотная характеристика (АФЧХ) состоит из двух характеристик: амплитудно-частотной (АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ).

Y/X, где X, Y - входная и выходная величина цепи, а АЧХ K(ω) есть просто модуль передаточной функции, то становится понятной связь между АХ, АЧХ и ПФ. АХ - частный случай АЧХ для фиксированной час-ты ω ;
АЧХ представляет частный случай ПФ для фиксированной синусоидальной формы входного воздействия.
Чтобы проанализировать вид АЧХ и оценить ее параметры необходимо:
1) вывести выражение для ПФ заданной цепи;
2) заменить оператор р на jω,
3) привести полученную комплексную ПФ к стандартному виду:
K(jω ) =Re [K(jω )] + j Im[K(jω )],
т.е. выделить отдельно действительную и мнимую части;
4) записать уравнение для АЧХ в форме (2.3), т.е. найти модуль ПФ;
5) исследовать функцию K(ω ) на предмет наличия характерных точек (экстремумов, разрывов, перегибов, асимптот, предельных значений и т.д.).

части.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ) или диаграмма Боде, представляет собой АЧХ, построенную в логарифмическом масштабе и аппроксимированную отрезками прямых линий. Чтобы построить ЛАЧХ, необходимо уравнение для АЧХ прологарифмировать (в десятичных логарифмах) с коэффициентом 20 (для получения единиц измерения децибел), а затем точные выражения, стоящие под знаком логарифма, заменить более простыми, приближенными.

Переходная характеристика представляет собой реакцию цепи на входное воздействие в виде единичного скачка. ПХ так же, как и АЧХ, является частным случаем ПФ. В отличие от АЧХ, ПХ есть решение уравнения для ПФ в экспоненциальной (показательной) форме, для чего используются либо непосредственно формула обратного преобразования Лапласа, либо теорема о вычетах, либо таблицы. На практике из-за простоты чаще всего используют последний вариант. При небольшом навыке, запомнив два-три вида преобразования, можно научиться достаточно быстро решать типовые задачи.

двух простых, но очень важных как для теории, так и практики RC - цепей: интегрирующей (рис. 2.1) и дифференцирующей (рис. 2.2). Входной величиной в обоих случаях является напряжение U1(t), а выходной - напряжение U2(t).

1) Для перехода к операторной форме цепи заменим оригиналы напряжений и токов на их изображения
U(t) ⇒ U(p), UR(t) ⇒ UR(p), UC(t) ⇒ UC(p), I(t) ⇒ I(p).
Заменим элементы R, C их операторными сопротивлениями по
правилу: R⇒ R, XС = 1/jωC ⇒ 1/pC.
2) Второй закон Кирхгофа в операторной форме
U(p) = UR(p) + UC(p) = I(p)Z(p) = I(p)(R + 1/pC) .
3) Так как входная величина U1(p), а выходная U2(p), сами цепи представляют собой делитель напряжения, для которого несложно вывести уравнение преобразования:
U2(p) = U1(p) Z2(p)/(Z1(p) + Z2(p)).
4) Учитывая, что для интегрирующей (рис. 2.1) цепи
Z1(p) = R, Z2(p) = 1/pC, а для дифференцирующей (рис. 2.2) -
наоборот Z1(p) =1/pC, Z2(p) = R, получаем ПФ
Kи(p) = 1/(1 + pRC);
Kд(p) = pRC/(1 + pRC).

т.е. зависимости коэффициентов передачи от частоты таков:
с увеличением частоты ω
от 0 до ∞ ,
для интегрирующей цепи –
Kи(ω) падает от 1 до 0;
для дифференцирующей цепи –
Kд(ω) возрастает от 0 до 1. Приравняв Kи(ω) и Kд(ω) в (2.2) к значению 1/√ 2, найдем значение частоты среза ωср = 1/τ.

Рис. 2.2. Дифференцирующая RC - цепь и ее АЧХ

Kи(ω) = 1/(√ 1 + (ωτ)2),
Kд(ω) = ωτ/(√ 1 + (ωτ)2. (2.4)

Обозначим через τ = RC постоянную времени цепи и перейдем к модулям ПФ Kи(ω)и Kд(ω)

частоты среза ω<ωср = 1/τ, то вторым слагаемым, стоящим под знаком Lg, можно, по сравнению с 1, пренебречь и принять Kи[дБ] ≈ 0 дБ.
Когда ω > ωср, можно пренебречь 1 под знаком Lg, и тогда Kи[дБ] ≈ - 20Lg (ωτ).
Следовательно, ЛАЧХ интегрирующей цепи состоит из двух прямых, одна из которых совпадает с осью абсцисс (Kи[дБ] ≈ 0 или, что то же самое,
Kи(ω) ≈ 1) в диапазоне от 0 до ωср. Другая прямая наклонена к оси абсцисс с угловым коэффициентом -20 децибел на декаду (-20 дБ/дек). Последнее означает, что на участке ω > ωср, изменению частоты в 10 раз (т.е. на декаду) соответствует уменьшение коэффициента передачи тоже в 10 раз (или в логарифмических единицах на 20 дБ). В относительной форме данная зависимость имеет вид K(ω) ≈ (ωср/ω) или K(f) ≈ (fср/f).

Рис. 2.3. ЛАЧХ интегрирующей (а)и дифференцирующей (б) цепей

двух прямых. Первая прямая
Kд[дБ] ≈ 20Lg (ωτ) соответствует диапазону изменения частоты ω
от 0 до ωср. В этом диапазоне наблюдается увеличение коэффициента передачи со скоростью 20 децибел на декаду. В относительной форме данная зависимость имеет вид K(ω) ≈ (ω/ωср) или K(f) ≈ (f /fср ). Вторая прямая Kд[дБ] ≈ 0 дБ, совпадающая с осью абсцисс, лежит в диапазоне изменения частоты ω от ωср до ∞ .
ЛАЧХ интегрирующей и дифференцирующей цепей представлены на рис. 2.3. Обратите внимание на то, что при построении ЛАЧХ координаты точек по оси абсцисс могут указываться не в логарифмических единицах, а непосредственно в Гц или рад/с, а по оси ординат - в единицах измерения коэффициента передачи (как правило, в относительных единицах).

1/(1 + pRC);
Kд(p) = pRC/(1 + pRC).
Учитывая, что изображение функции, которая называется единичным скачком 1(t) есть 1/p (табл. 2.1), преобразуем общие ПФ Kи(p) и Kд(p) к частному виду Wи(p) и Wд(p), используя замену U1(p) = E/p. Здесь E - некоторое произвольное значение скачка входного напряжения.
Wи(p) = U2(p)/E = Kи(p)/p = 1/p(1 + pRC);
Wд(p) = U2(p)/E = Kд(p)/p = RC/(1 + pRC ). (2.5)

Произведем замену τ = RC и вынесем эту постоянную времени в знаменателях (2.2) за скобки. В результате получим формулы, соответствующие формулам п. 5 и п. 4 табл. 2.1, где a = 1/τ:
Wи(p) = a/p(p + a);
Wд(p) = 1/(p + a). (2.6)
Переходя по таблице 2.1 от изображений к оригиналам, получаем ПХ для интегрирующей и дифференцирующей цепей (рис. 2.6) в виде
Wи(t) = U2(t)/E = (1 - exp( - t/τ));
Wд(t) = U2(t)/E = exp( - t/τ). (2.7)

Временем установления называется интервал времени между моментом подачи входного единичного скачка и моментом достижения функцией Wи(t) значения, равного 0,9 от max (Wи(t)) или моментом достижения функцией Wд(t) значения, равного 0,1 от max (Wд(t)). Подставив в (2.7) вместо Wи(t) 0,9, а вместо Wд(t) 0,1, получим
tу = τ . Ln 10 ≈ 2,3 . τ. Примерно через такое время переходный процесс в цепи заканчивается. Постоянная времени τ, как параметр ПХ, связана с частотой среза - параметром АЧХ, соотношением ωср = 1/τ.

Рис. 2.4. Переходные характеристики RC –цепей

Связь ПХ и АЧХ позволяет, например, зная реакцию цепи на единичный скачок, предсказывать поведение цепи при синусоидальном входном сигнале, не проводя дополнительных экспериментов.