Тепломассообмен. Дифференциальное уравнение теплопроводности. (Лекция 2) презентация

положен феноменологический метод, в соответствии с которым вещество рассматривается как сплошная среда, а его молекулярное строение игнорируется.
Данный метод позволяет теоретически установить общие связи (законы, закономерности) между параметрами, характеризующими данное явление в целом. Для этого используются общие физические законы (з-ны сохранения энергии, массы, количества движения)
Роль конкретной физической среды при этом учитывается эмпирическими законами Фурье, Ньютона, Фика, включающими коэффициенты, которые определяются экспериментально (к-ты теплопроводности λ, диффузии D,
вязкости μ) для каждой среды. (Как достоинство, так и недостаток метода)

природы вообще и тепломассообмена в частности используется статистический метод, в котором общие законы выводятся на основании анализа известных свойств микроскопической структуры среды без проведения дополнительных экспериментов (достоинство).
Недостатки:
сложность, возможность получения конечных расчётных соотношений лишь для упрощённых физических моделей вещества;
свойства микроструктуры среды – предмет исследований в специальных разделах физики, т.е. в любом случае не обойтись без дорогостоящих экспериментов.

на основе их математического описания в рамках модели сплошной среды.
Согласно этой модели в бесконечно малом (элементарном) объёме среды ΔV , размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с характерным геометрическим масштабом рассматриваемой системы (например, с диаметром трубы), содержится очень большое количество структурных микрочастиц.
Тогда допустимо предположение о локальном (в пределах ΔV ) термодинамическом равновесии в любой точке среды в любой момент времени. При этом параметры состояния среды (Т, р, w, ρ, Сi) можно рассматривать как непрерывные функции координат и времени.

известны значения этих параметров (Т, р, w, ρ, Сi) в любой точке в любой момент.
Значит целью теоретического исследования процесса тепломассообмена является нахождение из математического описания (модели) полей температуры, давления, скорости, плотности и концентраций.
При известных полях данных параметров нетрудно рассчитать потоки теплоты, массы и гидравлические сопротивления в рассматриваемой системе, представляющие практический интерес.

тела/системы тел во времени и пространстве.
Совокупность значений температуры во всех точках исследуемой системы для каждого момента времени – температурное поле. Математически температурное поле описывается уравнением
t = f (x, y, z, τ).
Данное уравнение описывает общий случай – нестационарное трехмерное температурное поле, изменяющееся во времени и по всем 3-м координатам в прямоугольной (декартовой) системе.
Цель исследования теплопроводности – нахождение температурного поля, и, следовательно, потоков теплоты (по закону Фурье).

координат.

– орты (единичные векторы)

произведение вектора на скаляр = вектор)

Плотность теплового потока в декартовых координатах (вектор)

ТП Лекция 2

Безградиентное нестационарное температурное поле (температура одинакова по объёму тела, например, при λ → ∞)

каждой точке пространства температура неизменна во времени

– одномерное стационарное поле – простейший случай
(1D)

– трёхмерное стационарное поле (3D)

– двумерное стационарное поле
(2D)

ТМО Лекция 2

dV, за время dτ равно сумме количеств теплоты:
dQ1 – поступившего извне в dV теплопроводностью и
dQ2 – выделившегося в dV за счёт внутренних источников.

Температурное поле аналитически находится путём решения дифференциального уравнения теплопроводности – уравнения сохранения энергии в бесконечно малом (элементарном) объёме dV, выделенном в рассматриваемом теле (среде), за бесконечно малое (элементарное) время dτ.

в эл. объёме

или изменению энтальпии

Допущения, принятые в модели:
тело (среда) однородно и изотропно (свойства не зависят от координат)
физические свойства тела постоянны
деформация dV из-за изменения температуры пренебрежимо мала
внутренние источники теплоты распределены в теле равномерно и имеют неизменную во времени удельную мощность qv, Вт/м3.

Количество теплоты, подведённое теплопроводностью вдоль 0х

Здесь использовано разложение функции qx+dx в ряд Тэйлора

Суммарное количество теплоты, подведённое к dV извне

Количество теплоты, выделившееся за счёт внутренних источников

сокращая на dx·dy·dz·dτ , получаем

[u] = Дж/м3

или

Дифференциальное уравнение теплопроводности
(v = const)

или

теплоты);
первый член справа – подвод теплоты теплопроводностью;
второй справа – внутреннее выделение теплоты.

ТП Лекция 2

Дифференциальное уравнение теплопроводности
(p = const)

[h] = Дж/м3

времени.

Тепломассообмен Лекция 2

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
(общий вид)

Опуская индекс при удельной теплоёмкости, указывающий на характер процесса, получаем дифференциальное уравнение теплопроводности в общем виде, связывающее временные и пространственные изменения температуры в любой точке тела, в котором осуществляется процесс теплопроводности

При постоянных физических свойствах вещества (с, λ, ρ)

координат

Коэффициент температуропроводности (диффузии теплоты)




физический параметр вещества. Важная характеристика скорости изменения температуры в нестационарных тепловых процессах.
Если коэффициент теплопроводности λ – характеристика способности тела проводить теплоту, то а – мера тепловой инерции тела/вещества (скорость изменения температуры тем выше, чем выше а, т.е. чем выше λ и ниже ср и ρ).

Лапласа – стационарная задача, внутренние источники отсутствуют, qv = 0

Уравнение Фурье – отсутствуют внутренние источники теплоты, qv = 0

Fourier; 21 марта 1768 — 16 мая 1830), французский математик и физик.

Родился в семье портного. В 9 лет потерял обоих родителей. Сироту устроили в Военную школу при бенедиктинском монастыре.
В 1808 г. получает от Наполеона титул барона и награждается орденом Почётного легиона. В 1812 г. Фурье получает Большую премию Академии за аналитическую теорию теплопроводности, несмотря на нестрогие доказательства. Впрочем, полная строгость была достигнута только в эпоху Гильберта.
Свои методы (ряды и интегралы Фурье) он использовал в теории распространения тепла. Но вскоре они стали исключительно мощным инструментом математического исследования самых разных задач — особенно там, где есть волны и колебания. А этот круг чрезвычайно широк — астрономия, акустика, теория приливов, радиотехника и др.

июня 1781–25 апреля 1840) — знаменитый французский физик и математик.
Отец его, солдат ганноверских войск, дезертировавший вследствие притеснений офицера, занимал незначительную административную должность.
При Наполеоне он возведён в бароны, а при Луи-Филиппе был сделан пэром Франции.
Число учёных трудов Пуассона превосходит 300. Они относятся к разным областям чистой математики, математической физики, теоретической и небесной механики.

1749 — 5 марта 1827) — выдающийся французский математик, физик и астроном. Родился в местечке Бомон-ан-Ож (Нормандия) в семье небогатого крестьянина; впоследствии граф и маркиз, Лаплас стыдился своего незнатного происхождения. Известен работами в области небесной механики, дифференциальных уравнений, один из создателей теории вероятностей. Заслуги Лапласа в области чистой и прикладной математики и особенно в астрономии громадны: он усовершенствовал почти все отделы этих наук.

цилиндрических ТВЭЛов, труб в теплообменниках и т.п.
В ДУТ изменяется только 1-й член в правой части (оператор Лапласа от температуры), отписывающий перенос теплоты теплопроводностью

r – радиус-вектор;
φ – долгота;
z – аппликата.

ТВЭЛов и реагирующих частиц, например, горящих частиц топлива, частиц льда в процессе замерзания и т.п.
В ДУТ изменяется только 1-й член в правой части (оператор Лапласа от температуры), отписывающий перенос теплоты теплопроводностью