Уравнения математической физикикурс лекций презентация

Дизайн:

Бабаев С.К. (VBproffi)

Куйбышев, 2005

Завершить показ

К плану

Справка

Составитель:

ст. преподаватель
Бабаева Ф.А.

Цель:

при проектировании этого пособия было решено уделить равное внимание как самому дизайну, так и навигации по пособию. Именно с этой целью были созданы – “ссылки”, при использовании которых вы можете переместиться в тот или иной раздел. В самом начале вы можете закончить работу, нажав одноимённую кнопку в левом углу. Если вы желаете продолжить изучение, то следует нажать на кнопку “К плану” , которая немедленно отобразит план изучения, минуя справочный материал. План представляет из себя меню, в котором вы можете выбрать ту или иную интересующую Вас тему, или же провести обучение по порядку установленному авторами.

Назад

Инструкции:

Вперёд

уравнения математической физики

, который

проектируется на плоскость

в некоторую область

, где

. Пусть область

- прямоугольник

, где

( рис. 2).

мембраны, тогда

. Учитывая, что в рассматриваемом случае

перемещение вдоль осей координат отсутствует, получим, что проекции силы

натяжения

на эти оси равны нулю:

имеем:

т.е. натяжение не меняется при изменении

и

, оно может зависеть только от

Площадь

некоторого элемента

мембраны

, проектирующегося на плоскость

в область

с границей

и площадью

, в рассматриваемом нами случае в момент времени

можно записать в виде поверхностного интеграла

А это значит, что при колебании мембраны не происходит ее растяжение,
откуда по закону Гука следует независимость натяжений от времени

т. е.

Изменение количества движения приравняем импульсу вертикальных составляющих сил натяжения и внешних действующих сил с плотностью

, в результате получим интегральное уравнение колебаний мембраны

или, учитывая, что

, получим

(13)

Предположим, что функция

имеет непрерывные частные производные второго порядка по своим

аргументам, тогда по формуле Гаусса - Остроградского криволинейный интеграл

запишется в виде

(14)

Учитывая соотношение (14), интегральное уравнение (13) можно записать
следующим образом:

интеграла, получим

откуда имеем

а это значит, что

или

(15)

Если мембрана однородная, т. е.

, то уравнение колебаний мембраны (14)

плотность силы, отнесенной к единице массы

мембраны,

Если внешняя возмущающая сила отсутствует или мала настолько,

что ею можно пренебречь, то получим уравнение свободных колебаний мембраны

(17)

Далее

Назад

8

При изучении колебаний очень длинной струны говорят, что рассматриваются колебания неограниченной струны, возникающие где-то в ее середине. В этом случае концы струны уже не оказывают влияние на колебания струны, поэтому граничные условия можно исключить при решении задачи о свободных колебаниях неограниченной струны.
Рассмотрим метод Даламбера построения решения краевых задач для уравнений гиперболического типа.
Пусть дано уравнение колебания неограниченной струны

(18)

при начальных условиях

(19)

где

Далее

Назад

9

и

- заданные достаточно гладкие функции.

Данная задача называется задачей Коши или задачей с начальными условиями.

Уравнение (18) запишем в виде

(20)

и приведем его к каноническому виду.

Учитывая, что

найдем

следовательно, уравнение (18) является уравнением гиперболического типа. Составим уравнение характеристик

(21)

Далее

Назад

10

Из уравнения (21) по формуле

, имеем

или два уравнения:

т. е. получим дифференциальные уравнения с разделенными переменными

(22)

Интегрируя уравнения (22), получим два семейства характеристик уравнения (18)

(23)

Введем новые переменные

(24)

Далее

Назад

11

Частные производные второго порядка, входящие в данное уравнение (18), вычислим по полученным выше формулам:

куда подставим частные производные первого и второго порядков по переменным

Тогда получим

которые подставим в уравнение (18)

и получим каноническое уравнение

или

(25)

Далее

Назад

12

Проинтегрируем уравнение (25), записав его в виде

, тогда

или

(26)

где

произвольная непрерывная функция от

Проинтегрируем уравнение (26) по

, где

произвольная непрерывная

функция от

, тогда получим

(27)

где

Подставим в уравнение (27) значения

и

соотношений (24) и получим

общее решение данного уравнения (18)

(28)

Далее

Назад

13

Найдем функции

так, чтобы функция

удовлетворяла начальным условиям (19), т. е.

с учетом (28) имеем

или

(29)

(30)

где при нахождении производной по переменной

от функции

имеем

Далее

Назад

14

откуда

Рассмотрим уравнение (30), которое можно переписать следующим образом

Разделив на

обе части последнего уравнения,

получим соотношение

(31)

которое справедливо при любом значении

Проинтегрируем уравнение (31) по переменной

в границах от нуля до

, тогда

или

Далее

Назад

15

, если ввести обозначение:

то получим

где С - постоянная.

(32)

Решим совместно уравнения (29) и (32), т. е.

складывая и вычитая эти уравнения, получим

, откуда найдем

Далее

Назад

16

(33)

(34)

Заметим, что соотношения (33) и (34) имеют место при любом вещественном

значении

, тогда они справедливы и при вещественных значениях

и

, которые можно подставить в уравнения (33) и (34) вместо x и получить

(35)

(36)

Далее

Назад

17

Найденные значения

и

из (35) и (36) подставим в общее

решение (28) и получим решение задачи Коши для уравнения (18) при начальных
условиях (19), т. е.

(37)

Полученное соотношение (37) называют формулой Даламбера.
Пример 1. Найдите решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Приведем данное уравнение к каноническому виду.

Учитывая, что

найдем

следовательно, данное уравнение является уравнением гиперболического типа.
Составим уравнение характеристик

Далее

Назад

18

или

откуда получим

Проинтегрируем полученные уравнения

и получим два семейства характеристик:

и

Сделаем замену переменных, положив

, тогда

,

Далее

Назад

19

Подставим полученные значения частных производных искомой функции в новых

переменных в заданное уравнение

После приведения подобных членов, получим

или

, которое проинтегрируем по

или

где

произвольная непрерывная функция от

, тогда получим

Далее

Назад

20

где

Подставим в полученную искомую функцию

значения

и

из соотношений:

получим общее решение данного уравнения

Найдем функции

так, чтобы функция

удовлетворяла начальным условиям:

По формуле Даламбера для данных начальных условий имеем

, где

т. к. из данного уравнения с учетом канонического уравнения имеем

Далее

Назад

21

или

Тогда