§ 17. Исследование поведения функции презентация

< x2 < x3

f(x1)= f(x2) > f(x3)

§ 17. Исследование поведения функции

Аналитические признаки монотонности функции

а) возрастающей на (a,b), если ∀x1, x2∈(a,b) при x1< x2 f(x1)

b) убывающей на (a,b), если ∀x1, x2∈(a,b) при x1< x2 f(x1)>f(x2);

c) невозрастающей на (a,b), если ∀x1, x2∈(a,b) при x1< x2 f(x1)≥f(x2);

d) неубывающей на (a,b), если ∀x1, x2∈(a,b) при x1< x2 f(x1)≤f(x2).

дифференцируема на (a,b),
тогда если
а) f '(x) >0 на (a,b), то f(x) возрастает на (a,b);
b) f '(x) <0 на (a,b), то f(x) убывает на (a,b).

Замечание. Обратное утверждение (необходимость) не верно.
Контр пример: функция может быть возрастающей на (a,b) ,
а ее производная удовлетворяет нестрогому неравенству f '(x) ≥0 .

y=x3 y '=3x2 y‘(0)=0

Пример

x0 , если существует
окрестность точки x0: (x0 - δ, x0 + δ), в которой при x < x0 f '(x) сохраняет один знак, а при x > x0 – противоположный.

Опр. 16. Точки, в которых f '(x) =0 или не существует, называются
критическими точками.

Возможные варианты критических точек

нет экстр.

y = f(x) обращается в ноль не только первая производная но и все последующие до (n - 1) - ой включительно, т.е.
f '(x0)= f '' (x0)= f ''' (x0)=…= f (n-1)(x0)=0, а f (n)(x0)≠0,
тогда x0 будет точкой экстремума, если n – четное; x0 не будет точкой экстремума, если n – нечетное.

Характер экстремума определяется знаком f (n)(x0)≠0.
При f (n)(x0) < 0 - в x0 максимум, при f (n)(x0 ) > 0 - в x0 минимум.

Теорема 17.2. (1ый достаточный признак экстремума)
Пусть y = f (x) непрерывна и дифференцируема в (a,b), x0∈(a,b) x0 – критическая т., тогда
а) если при переходе слева направо через x0 f '(x) меняет знак с «+» на «-», то в т. x0 f (x) имеет максимум;
b) если знак производной меняется с «-» на «+», то в x0 f(x) имеет минимум.

x ∈ [a, b] выполняется неравенство f ( x ) ≤ f ( x0 ), то говорят, функция y = f ( x ) имеет в точке x0 глобальный максимум
Если ∀ x ∈ [a, b] f ( x ) ≥ f ( x0 ), то в точке x0 глобальный минимум

План
Найти критические точки xi ( f ' (xi)=0 )
Вычислить f ( xi ), f ( a ), f ( b )
Сравнить.

(x) непрерывна на [a,b], и имеет в (a, b) производную до второго порядка включительно, тогда
а) если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f (x) отрицательна f '' (x) < 0, то кривая на (a, b) выпукла;
b) если во всех точках интервала вторая производная положительна f '' (x) > 0, то кривая на (a, b) вогнута.

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Опр 17. Кривая обращена выпуклостью вверх на (a,b), если
все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на (a,b).
Кривая называется выпуклой.

Опр 18. Кривая обращена выпуклостью вниз на (a,b), если
все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.
Кривая называется вогнутой.

условия точки перегиба и пусть при переходе через эту точку f '' (x) меняет знак, тогда точка x0 является точкой перегиба.

Опр 19. Точка (x0;y0), лежащая на кривой f(x) называется точкой перегиба функции y=f(x), если существует окрестность точки x0 такая, что при x< x0 кривая лежит по одну сторону касательной, при x > x0 - по другую сторону касательной.

Без доказательства