Задания государственного экзамена по математике 15.05.2009 презентация

Известно что от общего числа отсутствующих были девушки, что составляло 20% от общего количества девушек класса. Сколько юношей присутствовало на уроке математики?

Всего 30 уч.

- от отсут. дев. – 20% общ. кол-ва дев.

30 ∙ 0,2 = 6(ч) - отсутствуют

6 ∙ = 2 (ч) - отсутствующие девушки
6 – 2 = 4 (ч) – отсутствующие юноши

30 – 10 = 20 (ч) - всего в классе юношей
20 – 4 = 16 (ч) – присутствующих юношей

того, что
а) один случайно вызванный учащийся окажется девушкой

всего присутствуют -24 чел.

24 – 16 = 8(ч) - девушек

16(ч) - юношей

А – вызов девушки к доске

n = 24 – всего вариантов

k = 8 – благоприятных исходов

и юношей

I вариант

II вариант

всего вариантов выбора двух учеников из 24 присутствующих

всего вариантов выбора одного юноши и одной девушки

В – вызов к доске юноши и девушки

Возможные варианты: ЮиД или ДиЮ

С – вызов к доске юноши

D – вызов к доске девушки

не менее 3 юношей

всего вариантов выбора четырёх учеников из 24 присутствующих

возможные варианты: 3ю и 1д или 4ю

Е – из четверых вызванных учащихся будет не менее 3 юношей

функции

x∈ (-∞; -2) х = -3 ⇒ (2∙(-3)+1)(9 -4)= − ∙ + = −

−

+

−

+

IV x∈ (2 ;+∞) х = 3 ⇒ (2∙ 3+1)(9 -4)= + ∙ + = +

вариант

II вариант

(u∙v)′=u′v + uv′

минимума функции

Найдём критические точки

D=4 – 4 ∙ 6 ∙ (-8)= 4+192=196

Определим вид этих точек

min (1;-9)

местам происшествий и движутся по шоссе в противоположных направлениях. В первую минуту каждая машина проезжает путь длиной 1 км. В каждую следующую минуту первая машина проезжает путь на 1/12 км, а вторая машина на 1/6 км длиннее, чем за предыдущую минуту. Определите через сколько минут машины будут находиться на расстоянии 23 км друг от друга и какова скорость (км/ч) машин в этот момент?

1 км

1 км

23 км

II машина

I машина

п = t – время движения

п = t – время движения

км друг от друга и каково скорость (км/ч) машин в этот момент?

D=225+4∙184=225+736=961

Через 8 мин рассто-яние между маши-нами будет 23 км

км друг от друга и каково скорость (км/ч) машин в этот момент?

Скорость – это расстояние, проходящее телом за единицу времени

⇒ Расстояние проходящее за 8-мую минуту движения

II машина

I машина

От каждого хутора прямая дорога ведёт к магазину N. В целях экономии средств местное самоуправление решило закрыть дороги КМ и NМ для движения и сохранить только обслуживание дорог КN и LМ. Известно, что на плане с масштабом 1:30 000 длина отрезка КN составляет 62 мм, расстояние КL и LN равны, а также ∠МNК = 53° и ∠NКМ = 25°. Определите, на сколько километров увеличится путь до магазина М для жителей хуторов К и N в связи с закрытием дорог. Ответ дайте с точностью до 0,01 км.

31мм

31мм

Дано: ΔKLM
KN=62мм
КL=LN
∠MNK=53°
∠NKM=25°
M=1:30 000

Найти: KLM-KM или (KL+LM)-KM
KLM- NM (NL+LM)-NM

Решение: KL=LN(по условию)⇒62:2=31(mm)

∠KMN=180°-53°-25°=102°(как сумма углов треугольника)

(по теореме синусов)

(по теореме косинусов)

KLM=NLM=31+26,059=57,059(mm)

KLM-KM=57,059-50,622=6,437(mm)

NLM-KM=57,059-26,788=30,271(mm)

⇒6,437∙30 000=193110(mm)=0,19011≈0,19(км)

⇒30,271∙30 000=908130(mm)=0,90813≈0,91(км)

.
1) Докажите справедливость равенства g(x)= - cos x

g(x)= - cos x

.
2) Найдите решение уравнения f(x) = - cosx на промежутке [0;2π]

f(x) = - cos x

sin 2x = - cos x

sin 2x + cos x = 0

2sin x cos x + cos x = 0

cos x (2sin x + 1) = 0

cos x = 0

2sin x + 1= 0

на промежутке [0;2π]

если п = 0

∈ [0;2π]

если п = 1

∈ [0;2π]

если п = 2

∉ [0;2π]

Ответ:

2sin x = - 1

если п = 0

∉ [0;2π]

если п = 1

∈ [0;2π]

если п = 2

∈ [0;2π]

если п = 3

∉ [0;2π]

.
3) В одной системе координат постройте графики функций у =
f(x) и у = g(x). Используя данный чертёж, решите неравенство
f(x) < g(x) на промежутке [0; 2π].

у= sin 2x

х

у

0

1

-1

π

2π

∙

∙

∙

∙

∙

у= sin 2x

g(x)= - cos x

∙

∙

∙

∙

∙

g(x)= - cos x

на промежутке [0; 2π].

решите неравенство f(x) < g(x)

sin 2x <- cos x

вершина В расположена на оси Оу, а прямая СD параллельная стороне АВ, лежит на прямой , заданной уравнением х-у+1 =0
1) Вычислите координаты вершины В, С и D прямоугольника АВСD и постройте прямоугольник АВСD в координатной плоскости.

А(-4; 3)

В(0; уВ)

АВ || СD

АВ ⊥ ВС

АВ || СD

⇒ kAB= kCD

СD : х – у + 1 = 0

СD : у = х+ 1

⇒ kCD =1

⇒ kАВ =1

АВ : kАВ =1 А(-4; 3)

если а||в, то kа= kв
если а⊥в, то kа∙ kв = -1

у – у1= k (х – х1)

у – 3 = 1(х + 4)

у – 3 = х + 4

х – у + 7 = 0

В ∈ АВ

⇒ 0 - уВ+ 7 =0

⇒ уВ= 7

В(0; 7)

АВ ⊥ ВС

⇒ kAB∙ kВС =-1

⇒ 1∙ kВС =-1

⇒ kВС =-1

и В(0; 7)

⇒ у – 7 = -1(х -0)

у – 7 = - х

ВС : х + у – 7 =0

С ∈ ВС

⇒ хC+ yC – 7= 0

С ∈ CD

⇒ хC – yC + 1= 0

хC = 3

⇒ yC + 3 – 7 = 0

yC = 4

С(3; 4)

АD || BC

⇒ kAD= kBC

⇒ kAD = -1

и А(-4; 3)

⇒ АD : у - 3 = -1(х + 4)

у - 3 = -х - 4

х + у + 1 = 0

D ∈ AD

⇒ хD+ yD +1= 0

D ∈ CD

⇒ хD – yD + 1= 0

2хD +2 = 0

хD = -1

2хC - 6 = 0

⇒ -1 + yD + 1 = 0

yD = 0

D(-1; 0)

x

y

0

2

4

6

8

2

4

6

8

-2

-4

-6

-8

-2

-4

-6

-8

A

∙

B

∙

C

∙

D

∙

вершина В расположена на оси Оу, а прямая СD параллельная стороне АВ, лежит на прямой , заданной уравнением х-у+1 =0
2) Cоставьте уравнение прямой, на которой лежит диагональ АС прямоугольника.

АС - диагональ

А(-4; 3)

С(3; 4)

х+4=7(у - 3)

х+4=7у - 21

7у – х – 25 = 0

АС : 7у – х – 25 = 0

или

– х + 7у – 25 = 0

или

вершина В расположена на оси Оу, а прямая СD параллельная стороне АВ, лежит на прямой , заданной уравнением х-у+1 =0
3) Вычислите точное значение периметра прямоугольника АВСD.

Р = 2 (АВ + ВС)

Р = 2 (а + в)

А(-4; 3)

С(3; 4)

В(0; 7)

(ед.)

вершина В расположена на оси Оу, а прямая СD параллельная стороне АВ, лежит на прямой , заданной уравнением х-у+1 =0
4) Составьте уравнение окружности, описанного около прямоугольника АВСD.

(x-x0)2 +(y – y0)2 = r2

В(0; 7)

D(-1; 0)

V м2 . Крыша здания является прямоугольником, одна сторона которого в 2 раза короче другой. Стоимость одного квадратного метра крыши стоит 1250 кроны. Стоимость одного квадратного метра одной из двух больших боковых стен здания равна 1000 крон, а стоимость одного квадратного метра остальных трёх боковых стен равна 2000 кроны.
1) Определите при каких значениях длины, ширины и высота, выраженных через объём здания V, стоимость данных строительных работ будет минимальной?

Дано: АВСD D1 А1 B1 C1
AB V м2 - объём
стоимость 1 м2 крыши = 1250 еек
стоимость 1 м2 большей бок. стор. = 1000 еек
стоимость 1 м2 ост. бок. стор. = 2000 еек
V = 1728 м3

Найти: 1) минимальную стоимость
2) стоимость строительства

ВС = 2х

Sкрыши = х ∙ 2х = 2 х2 (м2) Стоим. = 2 х2 ∙ 1250 = 2500х2(еек)

Стоимость строительства всего здания:

Найдём минимальную стоимость строительства всего здания:

Найдём критические точки:

5000 х3 – 5000V = 0

5000 х3 = 5000V

х3 = V

360000

+ 720000

= 1 080 000 (еек)

∠АВС которого равен β и диагональ АС равна d . Диагональ прямого параллелепипеда DВ1 составляет с основанием угол α.
1) Выразите площади диагональных сечений через углы α и β и диагональ d

Дано: АВСD D1 А1 B1 C1 - прямой параллелепипед
∠АВС = β - тупой
АС = d
∠ B1 DB = α

Найти: SBBDD и SAACC

Решение: ABCD – ромб ⇒∠АВС = ∠АDC = β - как
противолежащие углы ромба

- как углы ромба

АС – биссектриса ∠BCD – как диагональ ромба ⇒

Рассм. ΔАВС

- по теореме синусов

АВ = ВС – как стороны ромба

Рассм. ΔВОС – прямоугольный, т.к. диагонали ромба перпендикулярны

- по теореме Пифагора

СО = АС : 2 (точкой пересечения диагонали делятся пополам)

поверхность ⊥
основанию)

= Н

L которой являются соответственно серединами рёбер А1D1 и D1C1 прямого параллелепипеда, а точка О является точкой пересечения диагоналей ромба АВСD. Найдите отношение объёмов пирамиды OB1KL и прямого параллелепипеда

Рассмотрим ромб А1D1С1В1

А1В1=В1С1-как стороны ромба
А1K1=C1L- по условию
∠А1=∠С1- как противоположные углы ромба

то она перпендикулярна и самой наклонной. И обратно, если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной

3) Докажите, что C1О перпендикулярна ВD.

C1С⊥СО , т.к. боковая поверхность ⊥ основанию

∙

∙

∙

CО⊥BD , т.к. диагонали ромба ⊥

⇒ CО⊥ BD по теореме о 3-х перпендикулярах