Векторы презентация

Векторы рассматриваются на плоскости
(II перенос плоскости) и в пространстве (II перенос пространства).
И в том, и другом случае вектор определяется упорядоченной парой точек, т.е. заданием точки и ее образа.
Вектор – это направленный отрезок АВ=а.
Направление луча АВ, называется направлением вектора а=АВ.
Расстояние IАВI – называется длиной или модулем а=АВ, обозначается IАВI или IаI.

IаI на косинус угла между вектором а и осью и


приIaI=IaIcosα

проекция вектора а на ось ОХ, Уа – проекция вектора а на ось ОУ, Zа –проекция на OZ.

Вектор можно задать разложением по векторам базиса i; j; k.
,где

i; j; k – единичные , т.е.
и взаимно перпендикулярные векторы.

ломаной, построенной следующим образом:
в конце вектора а помещается начало вектора , b, в конце b – начало с.
Дано:
a = (xa; ya; za) и b = (xb; yb; zb), тогда a + b= (xa+ xb; ya+ yb; za+ zb)

= (xa; ya; za) и b = (xb; yb; zb) заданны своими координатами, тогда
a - b= (xa- xb; ya- yb; za- zb)

a = (xa; ya; za), заданного координатами, на число λ производится по правилу:
λa=( λxa; λya; λza)

есть вектор с, длина которого равна IλI • IaI;
вектор с сонаправлен вектору а, если λ>0 и противоположно направлен, если λ<0.

и b связаны равенством
a = λb
Если известны координаты векторов, то условие коллинеарности векторов можно определить:

IaI=


Если А (Х1;У1;Z1) начало и В (Х2;У2;Z2) конец
вектора АВ, то координаты АВ определяются формулой:
АВ=(Х2-Х1;У2-У1;Z2-Z1)

произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:


a•b=(a,b)= IaI•IbI•cosφ


Формула для вычисления скалярного произведения векторов a = (xa; ya; za)
и b = (xb; yb; zb), заданных координатами:
a•b= xa• xb+ ya• yb+ za• zb

(xa; ya; za) и b = (xb; yb; zb) заданы координатами, то угол между векторами находится по формуле:

(xa; ya; za) и b = (xb; yb; zb) заданы координатами, то проекция вектора a на b определяется формулой:

условиям:
1) IcI=IaI IbI sinφ
2) c┴a и ×c┴b
3) Направление с определяется по правилу правой руки, т.е. с конца вектора с кратчайший поворот от вектора а к вектору b виден против хода часовой стрелки (правило Буравчика).

а (xa; ya; za) и b(xb; yb; zb).





т.е. векторное произведение а и b – это вектор с координатами:

произведения а х b т.е.
S= I a×b I= IaI×IbI sinφ
(φ – угол между а и b)
Площадь #, построенного на векторах, заданных координатами находится:

векторов а × b на вектор с.



Формула для смешанного произведения векторов, заданных координатами:

смешанного произведения этих векторов


V пирамиды, построенной на векторах
объема параллелепипеда, построенного на этих векторах:

они II.
Признак компланарности трех векторов:
Три не нулевых вектора а, b, с компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение =0.

точка М пространства, имеющая координаты Х(абсцисса) У(ордината) Z(аппликата), обозначается
М (х; у; z).
Расстояние между А (х1; у1; z1) и В (х2; у2; z2) определяется:

0 определяется по формуле:





Если отрезок, концами которого служат точки А (х1; у1; z1) и В (х2; у2; z2) разделен точкой С(х; у; z) в отношение λ, то координаты точки С определенности по по формуле:



В частности координаты середины отрезка определяются по формуле(т.к. λ=1)

Примечание:
Пусть на прямой заданой отрезка АВ (А начало ,В конец отрезка) Тогда всякая третья точка С этой прямой делит АВ в некотором отношении λ, где ,если АС и ВС направлены в одну строку, то λ имеет знак «+» ,если АС и ВС направлены в противоположные стороны, то λ имеет знак «-».

м =1 М(-1;4;1)

№1
Дано:
М1(2;4;-2)
М2(-2;4;2)
На прямой М1М2
Найти М, делящую отрезок М1М2 в отношение λ=3

)

С(4;5;4) и D(5;5;6)

Решение :
Найти векторы АВ ; АС и АD совпадают с ребрами пирамиды, сходящимися в вершине А. АВ= 2i+j+k ; АС= 2i+3j+2k ; АD= 3i+3j+4k .

между векторами А1А2 и А1А4, это есть угол между ребрами А1А2 и А1А4

предъявлял Алексей Демченко