Урок конференцияО теореме Пифагора и способах её доказательств презентация

объяснять выполненное решение;
2) Создать условие для развития умения выстраивания логические цепочки, учить думать, высказывать своё мнение;
3) Познакомить с жизнедеятельностью Пифагора, воспитывать гордость за полученные знания, прививать интерес к исследованиям, истории математики.

известно утверждение: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах». Заслуга Пифагора является открытие доказательства этой теоремы.
Доказательство самого Пифагора до нас не дошло. В настоящее время имеется свыше 150 различных доказательств этой теоремы.
За восемь веков до нашей эры теорема Пифагора была хорошо известна индийцам под названием «Правило верёвки» и использовалось ими для построения алтарей, которые, согласно Священному писанью, должны иметь строгую геометрическую форму, ориентированную относительно четырёх сторон горизонта. Верёвочный треугольник со сторонами равными 3, 4 , 5 («египетский треугольник»), образовывался веревками, натянутыми на колышки, воткнутые в землю в вершинах треугольника. Отсюда и название древних землемеров. В практике при построении прямого угла треугольник со сторонами 3, 4 , 5 известен был уже в глубокой древности египтянам и другим народам
Востока, такие пропорции археологи
находят и в размерах тесаных плит
пирамиды Хефрена, и в царской комнате
пирамиды Хеопса.
Раньше теорема Пифагора
называлась «магистром математики»,
потому что вместо экзамена математике
студент должен был принести присягу,
что читал установленное число глав
«Начал» Евклида. Фактически никто не
прочитывал больше первой книги (главы)
«Начал». Поэтому последняя теорема
первой книги (теорема Пифагора) носила название «магистра математики».

площадей квадратов,
построенных на его катетах.

его катетов.

c2 = a2 + b2

a

b

c

на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе.

c. Докажем, что с2 = a2+ b2

на рисунке.
Площадь этого квадрата равна
(a + b)2 . С другой стороны,
этот квадрат составлен из
четырёх равных прямоугольных
треугольников , площадь каждого
из которых равна 1/2 аb , и квадрата со стороной с,
поэтому:
S=4 · 1/2 а b +с2=2аb+с2 .
Таким образом ,
(a + b)² = 2аb+с² , a²+2ab+b² =2ab+c²,
откуда с2 =а2 +b2 .

ABC – прямоугольный
треугольник
DK ⊥ BC
EL ⊥ DK
AM ⊥ EL
BC = DK = a
AC = b
AB = c

Доказать: c2 = a2 + b2

2-ум
углам, прилежащим к ней)
2) => AM = BC = DK = EL =
= a и AC = DL =EM = BK =
= b
3) из п.2 => KL = LM = CM =
= CK = a – b

SABDE = c2
7) из п.4, 5 и 6 =>
c2 = 4 × ½ ab + (a – b)2
c2 = 2ab + b2 – 2ab + a2
c2 = a2 + b2

Е лежала на луче АС,
СЕ=b, DE=a, а точки B и D расположены по одну сторону от прямой АС.
ΔCED= ΔBAC по 2-м катетам

DE
Т.к АB>DE, то стороны BD и AE не параллельны.

неравенство
<1+<2=900.
<1=<3, то <2+<3=900
Значит

равенств, получим:
½·(a+b)² = ba+½·c²;
a²+b²+2ab = 2ab+c²;
a²+b² = c².

BCKH – квадраты, построенные на его катетах и гипотенузе.
Требуется доказать, что сумма площадей двух первых квадратов равна площади третьего квадрата.

на 2 прямоугольника: BLMH и LCKM.
Докажем, что они равны квадратам BDEA и AFGC соответственно.

закрашенные на чертеже. △ DCB, имеющий основание BD, общее с квадратом BDЕА, а высоту CN, равную высоте АВ этого квадрата, равновелик половине квадрата.

и высоту AP, равную высоте BL этого прямоугольника, равновелик половине его.

что у них BD=ВА и BС= ВН (как стороны квадрата). Кроме того

точки G с B и A с K, точно так же доказывается, что прямоугольник LCKM равновелик квадрату AFGC. Таким образом квадрат ВСКН равновелик сумме квадратов BDEA и AFGC.
Значит сумма квадратов катетов равна гипотенузы, что и требовалось доказать.

его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его составлял.
Запомни теперь, что в том месте река
Лишь в четыре фута была широка.
Верхушка склонилась у края реки,
Осталось три фута всего от ствола.
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи,
У тополя как велика высота.

ствола является
гипотенузой прямоугольного
треугольника, катеты которого 3 и 4 фута
образованы высотой оставшейся части
ствола и шириной реки. Поэтому длинна
упавшей части ствола – 5 футов, а высота
всего дерева 8 футов.

одиноко,
И ветер порывом
Отнес его в сторону. Нет
Боле цветка над водой.
Нашел же рыбак его
Ранней весною
В двух футах от места, где рос.
Итак предложу я вопрос:
Как озеро вода здесь глубока?

Порыв ветра отклонил его стебель, и цветок оказался на уровне воды в двух футах от прежнего места. Задачу можно рассматривать как требование найти катет прямоугольного треугольника, длинна которого – подводный отрезок стебля, второй катет равен двум футам, а гипотенуза – отрезок, длинна которого равна всей длине стебля. Итак, глубину озера, равную длине подводной части стебля (отрезок АВ), обозначим через x, тогда гипотенуза АС будет х+1/2, отрезок ВС – 2 фута.
Составим уравнение:

 

против другой. Высота одной – 30 локтей, другой – 20 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Расстояние между основаниями пальм – 50 локтей. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывающую на поверхность воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

АВ2=302+х2, АС2=202+(50-х)2. Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одно и тоже время. Поэтому 302+х2=202+(50-х)2; х=20.
Ответ: рыба появилась в 20 локтях от той пальмы, высота которой 30 локтей.

2013