Тригонометрические уравнения. презентация

Калинина Елена Петровна

тригонометрических уравнений
Тождественные преобразования
Частные случаи

число |a| не превосходит 1. arcsin числа а называется угол х, лежащий в пределах [-π/2;π/2], sin которого равен а
x=arcsin a, где x⍷[π/2;π/2] и sinx=a, |a|<1

Пусть число |a| не превосходит 1. arccos числа а называется угол х, лежащий в пределах [0;π],cos которого равен а
x=arccos a, где x⍷[0;π] и cosx=a, |a|<1

arcctg

arctg числа а называется угол х, лежащий в пределах (-π/2;π/2),tg которого равен а
x=arctg a, где x⍷(π/2;π/2) и tgx=a.

arcctg числа а называется угол х,лежащий в пределах (0;π),ctg которого равен а
x=arcctg a, где x⍷(0;π) и ctgx=a,

Частные случаи

Sin x=1,x=π/2+2πn
Sin x=-1,
x=-π/2+2πn
Sin x=0,x=πn
cos x=1,x=2πn
cos x=-1,
x=2πn+ π
cos x=0,x=π/2+πn

Во всех случаях

Уравнения решаемые приведением к виду
3).Однородное уравнение.
4). Понижение степени. Уравнения с использованием

формул формул и .
5). Уравнения содержащие различные функции
6).Уравнения с условиями

решаются заменой на при ,далее решение сводится к решению квадратного уравнения относительно ,затем происходит отбор полученных корней с учетом

Пример:
заменим на при

не удовлетворяет условию



Ответ:

виду

однородное уравнение первого порядка
однородное уравнение
второго порядка.
Данные уравнения решаются делением каждого члена
уравнения на или на , так как и
.Если бы , то это противоречило основ-
ному тригонометрическому тождеству
Пример:
делим на , получим
заменим на

вернемся к замене или

3).Однородное уравнение

далее группируем и по формулам





применяем получим

4).Понижение степени. Уравнения с использованием формул и .

или


не удовлетворяет

Значит решением уравнения является

заменим на где



вернемся к замене или
Получим 4 серии корней

Объединим 4 серии корней в 2 серии
Отберем корни принадлежащие интервалу

уравнений.
в) Использование свойств синуса и косинуса. г) Использование числовых неравенств. д) Решение тригонометрических систем с
параметром. е) упражнения и ответы.

Поскольку то,
тогда

Для любых x имеем ,
а поэтому уравнение равносильно системе уравнений
множество решений которой
совпадает с множеством решений
совокупности систем уравнений
Ответ:
и

полезно доказать возрастание (убывание) на некотором промежутке функций, в него входящих.При этом часто пользуются производной.
Пример №1. Решить уравнение

Рассмотрим функцию
Поскольку эта функция на интервале , имеет производную которая положительна на этом интервале, то функция f (х) возрастает на интервале Х. Так как функция f непрерывна на Х, то каждое своё значение она принимает только в одной точке. Значит f (х)=0 имеет не более одного корня. Число х1=0 является корнем f (х)=0. Поскольку функция f непрерывна и возрастает, то f (х)=0 при х=0. Ответ:0.

0 - решение уравнения, то либо ,
либо . Действительно, если бы было
справедливо неравенство , то из уравнения
следовало бы, что , что естественно, невоз-
можно. Но если , то ; если же ,
то . Следовательно, любое решение уравнения
является решением совокупности двух систем уравнений
Первое уравнение первой
и системы имеет решения

Все они удовлетворяют второму уравнению. То есть являются решениями системы. Первое уравнение второй системы имеет решения . Ни одно из
этих чисел не удовлетворяет второму уравнению второй системы. Поэтому система не имеет решений.
Ответ: .

,
решением второй системы является .
Все эти решения являются решениями совокупности систем.
Ответ: ; .

Пусть множество М есть общая часть (пересечения) областей существования функций f(x) и g(x) и пусть для любого справедливы неравенства f(x) А и g(x) А, где А - некоторое число. Тогда неравенство f(x) g(x) равносильно системе уравнений

решение уравнения, то , так как в противном случае было бы справедливо неравенство
, что невозможно. Но если , то из уравнения следует, что . Поэтому любое решение уравнения является решением системы уравнений Первое уравнение системы

имеет решения . Все они удовлетворяют второму уравнению системы, т.е. являются всеми решениями системы и равносильного ей уравнения.
Ответ: .

неравенства к одной из частей уравнения позволяет заменить его равносильной системой уравнений.
Часто применяется неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим :


(причём равенство здесь возможно лишь при a=b),
и его следствие:

Решение. Область определения:x-любое.
Применив неравенство (1),получим, что справедливо неравенство .
Для любого x справедливо неравенство
Из справедливости неравенств (3) и (4) следует, что уравнение (2) превращается в верное равенство лишь для тех х для которых обе части уравнения (2)равны 2, т.е. для х удовлетворяющих системе:




Ответ:х=0.

средним арифметическим и средним геометрическим 2 раза получим что для любого х справедливы неравенства:




Значит уравнение (6)превращается в верное равенство лишь для тех х, для которых применённое неравенство выполняется оба раза со знаком равенства, т.е. при условии

Уравнение (6) равносильно уравнению (7)значит все
решения уравнения (7) являются решениями уравнения (6).
Ответ:

Пример №3.
Решить уравнение
Пусть число x0 есть любое решение уравнения (8). Тогда
справедливо

Применяя неравенство (1), получим что справедливо неравенство

. В то же время справедливо

неравенство .Следовательно, любое решение уравнения (8)
является решением системы



Решая систему получим .
Уравнение (8) равносильно системе (9) и имеет те же решения.
Ответ:

а система уравнений имеет решение.
Найти все решения.

Так как левые части уравнений не превышают 1, то можно иметь решение только при а,
удовлетворяющих системе неравенств.

Этой системе удовлетворяет только а= .
Итак, система принимает вид:
Складывая и вычитая почленно уравнения системы получаем:


Решением системы является: ;

Ответ: ;

2) Ответ:

3) Ответ:
4) Ответ:

5) Ответ:

Решите неравенство:
Ответ:

вариант.
Ответы к тестам.

;б) ;в) ;г)

2.

а) ;б) ; в) ;

г) .

3.
в) ;
а) ;б) ; г) .

4.

а) ;б) ;в) ;г)

5. Число корней уравнения на интервале равно: а) 5; б) 4; в) 3; г) 7;
6. Найдите наименьший положительный корень уравнения

а) ;б) ;в) ;г).

;в) ;г)

2.

а) ;б) ;в) ;

г) .
3.

а) ;б) ;в) ;

г) .

4.
а) ;б) ;в) ;г)


5.Число корней уравнения
на интервале равно:
а). 1 б). 0 в). 2 г). 3
6. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения
а). б). в). г).

б). в).
г).

2.

а). б). в).

г).
3.

а). б). в). г).

4.

а). б). в).



г).
5.Число корней уравнения
на интервале равно:
а). 9 б). 4 в). 6 г). 3
6. Найдите наименьший положительный корень уравнения
а). б). в). г).

в).

г).

2.
а). б). в).
г).

3.
а). б). в).
г).

4.

а). б). в). г).


5. Число корней уравнения
на интервале равно:
а). 5 б). 2 в). 6 г). 3
6. Вычислите сумму корней уравнения,

лежащих на отрезке

а). б). в). г).