Теорія чисел презентация

Черниш Оля

арифметика — галузь математики, яка розпочалась з вивчення деяких властивостей натуральних чисел, пов'язаних з питаннями подільності і розв'язання алгебраїчних рівнянь у натуральних (а згодом також цілих) числах.

далекого минулого, вже піфагорійці, Евклід і Діофант Олександрійський зробили вагомий внесок до її становлення, але вона дістала величезного розвитку починаючи з кінця 18 ст. Одну із провідних тем в теорії чисел, від часів Евкліда і по цей день, складають питання про прості числа. Надзвичайно плідними для розвитку теорії чисел виявилися спроби довести велику теорему Ферма, які призвели до виникнення алгебраїчної теорії чисел і, певною мірою, абстрактної алгебри. Роботи Ейлера, Рімана та багатьох інших ясно продемонстрували продуктивність аналітичного напрямку в розв'язанні теоретико-числових питань.

чисел залишаються відкритими протягом століть (наприклад, велика теорема Ферма), та навіть і тисячоліть (проблема конгруентних чисел). Це особливо стосується питань про прості числа. До того ж, будь-яка вже розв'язана проблема теорії чисел за невеликою зміною умов веде до нових, які можуть опинитися як набагато легшими, так і набагато важчими за початкове питання.

простих питань, які у той самий час належать до найглибших у математиці.

рівною мірою захоплювали, і досі захоплюють, і аматорів, і величезних мислителів від глибокої античності і по цей час…

+ b, де a,b — дані взаємно прості числа? Чи існує арифметична прогресія, яка складається виключно з простих чисел і довжина якої перевищує довільно велике натуральне число?
За теоремою Діріхле про прості в арифметичних прогресіях, доведенною у 19 ст., відповідь на перше питання — так. Друге питання розв'язано у 2004 р. Беном Гріном і Теренсом Тао, і відповідь — так.

рівняння x2 − dy2 = 1
у цілих числах.
Розв'язано індійськими математиками, і незалежно і пізніше — європейськими. Якщо замінити праву частину на − 1, ще й досі невідомо, для яких d існуватиме розв'язок.

квадратів.

Визначити умови, за яких дане натуральне число n є сумою k квадратів і надати формулу для кількості представлень.
Критерій представлення сумою двох квадратів було сформульовано Ферма і доведено Ейлером, для трьох квадратів маємо результат Гауса. За теоремою Лагранжа (18 ст.), будь-яке натуральне число є сумою чотирьох квадратів. Питання кількості представлень вивчалося багатьма видатними математиками (Гаус, Якобі, Мінковський, Рамануджан), але повна відповідь відома лише для спеціальних значень k = 2,4,8,24 та декількох інших. У 2005 р. Конен і Імамоглу досягли часткової відповіді для парних k.