Тема 14. Непараметрические критерии. Проверка однородности презентация

Манна-Уитни
14.4. Критерий Вилкоксона

называются параметрическими. Параметрические критерии предназначены для проверки гипотез о параметрах генеральной совокупности - среднем, дисперсии, доли; либо гипотез о типе распределения.
Кроме этого, статистики разработали направление, которое развивает непараметрические критерии. В этом случае вид и параметры распределения не рассматриваются. Эти критерии используют, в частности, для исследования генеральных совокупностей, которые не распределены нормально.

генеральной совокупности, когда переменная не распределена нормально.
Они могут использоваться для номинальных и порядковых данных.
Они могут использоваться для проверки гипотез, которые не связаны с параметрами генеральной совокупности.
В большинстве случаев для непараметрических методов подсчеты проще, чем для параметрических. Они более понятны.

требуются более значительные отклонения, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу.
Они менее информативны, чем параметрические критерии. Например, критерий знаков позволяет исследователю определить, превосходит значение данных медиану или нет, но не отвечает – на сколько именно.
Они менее эффективны, чем соответствующие параметрические критерии. Например, непараметрический критерий знаков дает лишь 60% эффективности от того, что можно получить, используя его параметрическое соответствие – z-критерий. Требуется больший объем выборки, чтобы компенсировать утрату информации: нужна выборка из 100 человек для критерия знаков, в то время, как для аналогичных результатов при использовании z-критерия достаточно было бы выборки из 60 человек.

распределенной генеральной совокупности.

кадровая служба сети отдает большее предпочтение на должность менеджера девушкам, нежели, чем юношам.
Среди менеджеров оказалось 30 юношей и 70 девушек. Усомнившись в разумности сложившихся пропорций, руководство запросило объяснений. Кадровая служба объяснила сложившуюся пропорцию результатом случайности, а не итогом определенных предпочтений.
Проверить на уровне значимости α=0,05, может ли такая пропорция оказаться результатом случайности.

башню. Эксперимент повторили с этими же детьми через месяц, результаты времени (в секундах) представлены в таблице ниже.





На уровне значимости α=0,05 проверить предположение о том, что нет существенной разницы между результатами.

том, что медианное количество продаваемых им за день леденцов равно 40. Случайная выборка за 20 дней дает следующие данные по количеству леденцов, продаваемых каждый день.





При α = 0,05 проверить гипотезу владельца магазина.

парных выборок

Гипотеза
о значении медианы

Гипотеза
о доли признака

величин - результатов независимых испытаний с двумя возможными исходами: “плюс” или “минус”. Если распределения совпадают, то в каждом испытании выполнено:



Количество плюсов и количество минусов есть случайные величины, которые распределены по биноминальному закону.
Малое количество одинаковых знаков (плюсов или минусов) или, наоборот, очень большое будет означать, что наша гипотеза неверна, поскольку, исходя их ситуации, количество плюсов и количество минусов должно быть в среднем одинаково.

никаких требований относительно закона распределения генеральных совокупностей, из которых эти данные получены.

(количество минусов, количество плюсов).

Критические значения находятся по таблице. Если x окажется меньше или равен критическому значению из таблицы, то гипотеза отвергается.

2. Объем выборки n>25. Тогда в качестве критерия выберем:




Критические значения находятся по таблице нормального закона.

2 минуса и 1 совпадение. Совпадение отбрасываем.
n=14
α=0,05
х = min(2,12) = 2

По таблице находим критическое значение 2.

Вывод. Результаты улучшились.

доля юношей значимо отличается от 0,5

Выборка составила 100 человек: n=100. Статистика: x = min (30, 70) = 30
Поскольку n>25, вычислим значение критерия по формуле:



Для α=0,05 находим z = -1,96. (Двустороння область)

0

-3,9

-1,96

мы отвергаем основную гипотезу и считаем, что кадровые предпочтения имеются.

Дополнительный вопрос. Имеется возможность ответить на вопрос – какое соотношение юношей и девушек не приведет к отклонению нулевой гипотезы? Элементарный подсчет приведет к тому, что граничной окажется ситуация с пропорцией, близкой к 40÷60 или 60÷40. В этих границах отклонение может рассматриваться как результат случайности.

отливается от 40

Совпадения отбрасываем.
n=18, α=0,05, х = min (3,15) = 3

По таблице находим критическое значение 4.

Вывод. У нас достаточно оснований, чтобы отказаться от заявления, о том, что медиана продаваемых в день леденцов равна 40.

3 плюса, 15 минусов,
2 совпадения

Требуется проверить, совпадают ли законы распределения генеральных совокупностей, из которых взяты эти выборки. Часто проверяют наличие эффекта обработки: совпадение распределений «до» и «после» обработки.

Гипотезы формулируются следующим образом:
H0: выборки имеют одинаковый закон распределения
H1: законы распределения различаются

эксперименты «до» и «после».

2. Данные должны быть получены случайным образом.

3. Генеральная совокупность разностей имеет симметричное распределение, в том смысле, что правая часть графика является зеркальным отражением левой. При этом не требуется, чтобы данные имели нормальное распределение.

= x – y. Устраняются пары, в которых разность равна нулю.
Шаг 2. Ранжируем полученные разности по абсолютной величине (игнорируя знаки).
Шаг 3. Находим сумму отрицательных рангов и сумму положительных рангов. Если выборки однородны, то эти суммы не могут сильно отличаться. Обозначим T – наименьшую из полученных сумм, n – число пар, в которых разности не равны нулю.
Шаг 4. Определим статистику:
если n≤30, статистика есть T,
если n>30, статистика есть:

находятся по таблице А-8,
если n>30, критические z-точки находятся по таблице А-2.

Шаг 6. Получим вывод: если значение статистики попадает в критическую область, мы отклоняем нулевую гипотезу.

Исп.2. Устранена первая пара, в которой разность равна нулю.
Шаг 2. Следующий столбец заполняем рангами разностей по абсолютной величине (игнорируя знаки).
Шаг 3. Далее: сумма отрицательных рангов = 5,5
сумма положительных рангов = 99,5
число пар, в которых разности не равны нулю, n =14
Шаг 4. Определим статистику. Поскольку n≤30, статистика есть T=5,5
Шаг 5. Определим критическое значение. Поскольку n≤30, критическое значение 21.
Шаг 6. Вывод: значение статистики попало в критическую область. Отклоняем нулевую гипотезу.

независимых выборок: совпадают ли законы распределения генеральных совокупностей, из которых взяты эти выборки.

Гипотезы формулируются следующим образом:
H0: выборки взяты из одной генеральной совокупности
H1: выборки взяты из разных генеральных совокупностей

со всеми элементами второй. Всего есть mn пар сравнений. Не рассматриваются пары, в которых разность равна нулю.
Шаг 2. Количества положительных разностей, полученных в результате таких сравнений для каждой выборки, сравниваются между собой и минимальное есть U - статистика Манна-Уитни.
Шаг 3. Зададим уровень значимости α (как правило 0,1; 0.05; 0.01).
Шаг 4. По таблицам найдем границу правосторонней критической области, которая зависит от объемов выборок и заданного нами уровня значимости.
Шаг 5. Сравним полученное по выборкам значение статистики с границей критической области и сделаем вывод.

двух соседних участках земли. Имеются следующие данные:

по всем парам чисел. Заполняем столбец 2. Если пара совпадает, принимаем при подсчете за 0,5.

Выбираем минимальное из чисел 58 и 41.

41 есть значение U критерия, полученное по выборкам.

двух независимых выборок: совпадают ли законы распределения генеральных совокупностей, из которых взяты эти выборки.

Гипотезы формулируются следующим образом:
H0: выборки взяты из одной генеральной совокупности
H1: выборки взяты из разных генеральных совокупностей

2. Найдем сумму рангов первой и сумму рангов второй выборки. Если выборки однородны, то суммы не должны сильно отличаться. На этом основано действие критерия Вилкоксона.

Шаг 3. Определим критерий:
если n≤10, статистика W есть сумма рангов первой выборки.
если n>10, статистика есть:

выборки.

есть среднее значение R, при условии, что две генеральные совокупности имеют одинаковый закон распределения

есть стандартное отклонение R, при условии, что две генеральные совокупности имеют одинаковый закон распределения

0.05; 0.01).

Шаг 5. Определим критическую область:
если n≤10, критические точки W находятся по специальной таблице, которую мы не приводим.
если n>10, критические z-точки находятся по таблице А-2 (поскольку статистика основывается на нормальном распределении)

Шаг 6. Сравним полученное по выборкам значение статистики с границей критической области и сделаем вывод.

ли считать, что простота чтения одинакова для произведений двух исследуемых писателей?

первой выборки равна 236,5.

и z=-1,96. Полученное нами значение попадает в критическую область.

Вывод. Выборки не однородны, получены из разных генеральных совокупностей.

распределенной генеральной совокупности.

с чем взаимодействует? Поясните на любом примере, где можно наблюдать эффект взаимодействия.

что собирается идти голосовать на выборах президента. Можно ли полагать, что большинство населения придет на выборы?

14-2. Аренда квартиры. Агент по продаже недвижимости предполагает, что средняя арендная плата за однокомнатную квартиру в городе составляет $325 в месяц. Выборка 12 однокомнатных квартир показала следующие месячные расценки. При α=0,05 достаточно ли у нас оснований, чтобы опровергнуть заявление агента по продаже недвижимости?

в общежитиях в одноместной комнате. При α=0,02 проверьте гипотезу о том, что более 50% студентов предпочитают жить в общежитиях в одиночку. Применить критерий знаков.

14-4. Повлияло ли лечение? Было проведено исследование, чтобы выяснить, повлияют ли новые диетические медикаменты на женщин, желающих сбросить вес. Вес 8 пациенток был измерен до лечения и через 6 недель ежедневного применения лечения. Данные приведены ниже. При α = 0,05 можно ли сделать вывод, что лечение повлияло (увеличило или уменьшило) на вес этих женщин? Применить критерий знаков.

супружескую совместимость. После прохождения парами семинара, им дали вторую анкету, чтобы выяснить, произошли ли какие-либо изменения в их поведении по отношению друг к другу. Данные приведены ниже. При α = 0,10 есть ли различия в результатах пар?

(в соответствии со стажем) работники-мужчины и работники-женщины. В таблице ниже приведены получившиеся данные (в тысячах рублей). При α = 0,10 есть ли различие в зарплатах мужчин и женщин?

проверить, есть ли разница в том, сколько книг те и другие прочитали в течение прошлого года. Данные приведены ниже. При α=0,10 проверьте заявление о том, что обе группы прочли одинаковое количество книг.

чтобы установить степень их удовлетворенности работой. Задавалась шкала диапазоном от 0 до 100. Группы делились по стажу: те, кто работал более 5 лет, и те, кто работал менее 5 лет. Данные приведены ниже. При α=0,10, проверьте заявление о том, что между удовлетворенностью работой двух групп нет разницы.

Исследователь хочет узнать, у кого она выше: у людей, живущих в браке, или у одиноких? Диапазон шкалы оценки продуктивности составляет от 1 до 50. Данные приведены ниже. При α=0,01 достаточно ли у нас оснований, чтобы подтвердить это заявление?