Тема 11. Критерий согласия и таблицы сопряженности презентация

нормальности
11.3. Таблицы сопряженности
11.4. Проверка независимости признаков
11.5. Проверка однородности
11.6. Коэффициенты связи

являются основой для современной генетики. Мендель использовал свободное время, выращивая горох в монастыре. В одном из своих экспериментов он скрестил разные виды гороха – с гладкими желтыми горошинками и со сморщенными зелеными горошинками. Он заметил, что результаты были систематическими, то есть некоторые из них имели гладкие желтые горошины, другие – гладкие зеленые горошины, третьи – сморщенные желтые горошины, а четвертые – сморщенные зеленые горошины. Более того, после нескольких экспериментов процентное соотношение каждого вида оставалось практически неизменным.
Мендель сформулировал свою теорию, основанную на предположении доминантных и рецессивных признаков, и попытался предсказать результат. Тогда он скрестил свой горох и исследовал 556 горошин следующего поколения. Наконец, он сравнил полученные им результаты с теоретическими результатами, что бы узнать, правдива ли теория. Для этого он использовал «простой» тест хи-квадрат, который мы сейчас рассмотрим.


Источник: J.Hodges, Jr.D.Krech и R.Crutchfield, Stat Lab, An Empirical Introduction to Statistics (New York: McGraw-Hill, 1975), pp.228-229.

отдают предпочтение покупатели. Ниже приведены данные, полученные из опроса 100 человек:



Если нет каких-либо особых вкусовых предпочтений, то каждый вид напитка покупают с одинаковой частотой. В таком случае каждая частота должна быть равна 100/5 = 20, то есть приблизительно по 20 человек выберут каждый вид сока.

Наблюдаем

Ожидаем

- частоты, полученные путем вычисления на основе теоретических представлений о предполагаемом распределении.

Наблюдаемые частоты

Ожидаемые частоты

наблюдаемые частоты и ожидаемые, иными словами, существенны или нет различия между ними.

Гипотезы для примера с предпочтениями запишутся так:
Н0: У покупателей нет предпочтений по поводу вкусов сока.
Н1: У покупателей есть предпочтения.

Необходимые условия
1. Выборка случайна.
2. Наблюдаемая частота должна быть не меньше 5.

= n – 1:




Н – наблюдаемая частота
О – ожидаемая частота

- набор из n независимых случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение.

Свойства:
1. Всегда неотрицательно.
2. Зависит от n – числа степеней свободы.
3. Среднее значение = n.
4. Стандартное отклонение = 2n.

изменяется. При увеличении n распределение приближается к нормальному.

n = 4

n = 6

n = 15

значениям статистики, для которых значение χ2 велико. Это означает, что данные плохо согласуются.

1 - α = 0,95

α = 0,05

другу, значение χ2-критерия будет небольшим. Гипотеза Н0 не будет отвергнута. Имеется хорошее соответствие наблюдаемых данных и исследовательской модели.

Хорошее соответствие

Плохое соответствие

по поводу вкусов сока.
Н1: У покупателей есть предпочтения.
Шаг 2. Уровень значимости α=0,05.
Шаг 3. Критическое значение равно 9,488 (по таблице χ2-распределения,
df = 5 – 1 = 4 и α = 0,05).
Шаг 4. По выборке находим значение статистики:


Шаг 5. Сравним полученное значение с критической областью: 18 > 9,488. Значение попало в критическую область.
Шаг 6. Формулируем ответ. Существуют значимые предпочтения покупателей по поводу вида напитка.

теоретического. Это было в примере с напитками.

2. Для проверки гипотезы о совпадении законов распределения двух генеральных совокупностей. Предположение о виде теоретического распределения (теоретическая модель данных) в этом случае не требуется. Критерий дает нам представление о «расстоянии между двумя наборами данных» и на основе значения этого расстояния позволяет делать вывод о «согласии» между двумя распределениями.

совокупности. По имеющейся случайной выборке можно проверить, имеет ли исследуемый признак нормальное распределение.

Гипотезы выглядят так:
Н0 : признак имеет нормальное распределение.
Н1 : признак не имеет нормального распределения.

= n – 1:




Н – наблюдаемая частота
О – ожидаемая частота

в виде частотной таблицы.










Принять α = 0,05.

и α = 0,05 равно 9,488.

Поскольку полученное значение статистики не попало в критическую область, нулевую гипотезу мы не отвергаем.

Ответ. Распределение можно считать нормальным.

частоты для каждого набора значений.

c столбцов. Будем называть ее R×C таблица. Каждая клетка таблицы определяется номером ее ряда (Row) и столбца (Column).

Данная таблица имеет два ряда и три столбца: r = 2, c = 3.

суммы по срокам и столбцам.

частоту:

частоту:

значений, принимаемых другим признаком.

Отношение к препарату не отличается

Отношение к препарату сильно отличается

Признаки независимы

Признаки зависимы

выглядят так:
Н0 : признаки независимы.
Н1 : признаки зависимы.

так, как показано в таблице ожидаемых частот. Критерий согласия позволяет оценить, насколько сильно различаются наблюдаемые частоты от ожидаемых. Если сильно, тогда мы признаем наличие зависимости признаков.

Наблюдаемые частоты

Ожидаемые частоты

Число степеней свободы определяется по формуле: df = (r – 1)(c – 1) = (2 – 1)(3 – 1) = 2. Зададим α = 0,05, критическое значение равно 5,991.

1 - α = 0,95

α = 0,05

5,991

26,67

> 5,991, мы отклоняем гипотезу о независимости признаков.

Вывод. Признаки зависимы. Отношение к новому лекарству существенно зависит от категории персонала.

5,991

26,67

В данной ситуации выборки делаются из разных совокупностей, и исследователю интересно узнать, одинаковы ли доли признака для каждой совокупности. Размеры выборки устанавливаются заранее, до того, как становится известной сама выборка.

Например, исследователь может опросить 50 первокурсников, 50 второкурсников, 50 третьекурсников и 50 выпускников, а потом найти соотношение курящих в каждой группе. Потом исследователь сравнивает доли курящих в каждой группе, чтобы посмотреть, одинаковы ли они.

крайней мере, одна доля отличается от других

Если принимаем нулевую гипотезу, то тем самым мы допускаем, что доли равны, и различия случайны. Это будет означать, что доли курящих студентов одинаковы в каждой группе.

Если нулевая гипотеза не принимается, это означает, что доли не равны друг другу.

Процесс проверки гипотезы тот же, что и для критерия независимости.

признаков имеет недостатки. Главный - величина χ2 зависит от объема выборки для таблиц с одинаковыми пропорциями.

Поскольку таблицы имеют одинаковые пропорции, то сила связи между признаками постоянна для всех трех таблиц, а значения χ2 при этом различны. Рассмотрим других «кандидатов» на роль коэффициента связи между признаками.

-1 для полностью зависимых переменных:

всех трех таблиц, рассмотренных выше, одинаковый:

фи
Равен нулю для независимых переменных
Равен 1 для полностью зависимых переменных

где r – количество строк,
c – количество столбцов

коэффициента меньше 1

Чтобы изменялся от 0 до 1 используется корректировка:

к курению. Таблица сопряженности и коэффициенты представлены по отчету SPSS.

За каждым из них стоит своя модель изучаемого явления. Их не следует интерпретировать в отрыве от этой модели.

Так, хотя коэффициент лямбда и может быть равен нулю, несмотря на то, что переменные зависимы, но в рамках модели прогноза, значение ноль совершенно справедливо указывает на то, что знание значения переменной X не позволяет улучшить прогноз значения переменной Y.

В большинстве случаев, если при сравнении степени связи в 2х2 таблицах один из коэффициентов связи для одной из таблиц больше, тогда то же самое будет верно и для всех остальных коэффициентов.

74% респондентов считает, что автомобилисты ездят агрессивнее, чем 5 лет назад, 23% считает, что они ездят точно так же, 3% считает, что автомобилисты ездят менее агрессивно, чем 5 лет назад. Опрос 180 опытных водителей показал, что 125 из них считают, что автомобилисты ездят агрессивнее, чем 5 лет назад, 36 – примерно одинаково, 19 человек считают, что автомобилист ездят менее агрессивно, чем 5 лет назад. При α = 0,10 проверьте утверждение, что мнение опытных водителей совпадает с мнением опрошенных USA Today, CNN, Gallup.
Источник: Основано на информации из USA Today, August 29, 1997.

11.2. USA Today Snapshot утверждает, что 53% покупателей предпочитает расплачиваться за покупки наличными, 30% использует – чек, 16% – кредитки, а у 1% нет особых предпочтений. Владелец большого супермаркета опросил 800 покупателей относительно того, каким образом они предпочитают оплачивать покупки. Результаты показали, что 400 покупателей платили наличными, 210 – чеком, 170 – кредиткой, и 20 – не отдает определенного предпочтения. При α = 0,01 проверьте утверждение, что у покупателей данного супермаркета и у опрошенных одинаковые предпочтения.
Источник: USA Today, July 19, 1995.

количество несчастных случаев в течение недели. Была выбрана наугад неделя, и получены следующие данные. Достаточно ли оснований, чтобы отвергнуть гипотезу, доказывающую, что количество несчастных случаев распределено равномерно в течение недели, при α = 0,05?
День Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
Частота 28 32 15 14 38 43 19

11.4. Владелец спортивного инвентаря желает узнать, отдается ли предпочтение какому-то конкретному месяцу при покупке охотничьего ружья. Результаты продаж приведены ниже. При α = 0,05 проверьте утверждение, что покупка оружия не зависит от конкретного месяца.

Месяц Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь
Частота 18 23 28 15

имеют кровь типа О, 44% – типа А, 10% – типа В и 4% – типа АВ. Районный медицинский исследователь говорит о том, что распределение типов крови в его регионе соответствует общим показателям в стране. Делается наугад выборка из 200 человек. Данные приведены ниже. При α = 0,10, проверьте гипотезу исследователя.
Тип крови А О В АВ
Частота 58 65 55 22

Источник: Robert D.Shook and Michael L.Shook, The Book of Odds (New York: Penguin Putnam, Inc., 1961), p.161.

количеством потребляемого кофе. Было опрошено 152 человека, данные приведены ниже в таблице. При α = 0,01 определите, есть ли связь между возрастом и количеством потребляемого человеком кофе.

и ценой купленной машины. Было опрошено 222 водителя. Данные приведены ниже в таблице. При α = 0,05 определите, есть ли зависимость между ценой машины и возрастом водителя?

информации от образования людей. Опрос 400 студентов ВУЗов и школ показал результаты, приведенные в таблице. При α = 0,05 проверьте утверждение, что способ получения информации не зависит от их образования.

и тем, как студенты оценивают получаемые от него знания. Опрошенным студентам было предложено оценить разных преподавателей. Данные опроса приведены ниже. При α = 0,10 выясните, может ли служащий заключить, что есть связь между ученой степенью преподавателя и мнением студентов о способностях преподавателя.

водителей в нетрезвом состоянии. Компания опросила 86 водителей четырех возрастных категорий, чтобы узнать, водят ли они машину в нетрезвом состоянии. При α = 0,05 проверьте утверждение о том, что доля водителей, ответивших утвердительно, одинакова в каждой возрастной группе.