(926) 2766560
Система уравнений газовой динамики и разностные схемы для ее решения
Семинар № 5
- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Система уравнений ГД и разностные схемы для ее решения презентация
Содержание
- 1. Система уравнений ГД и разностные схемы для ее решения
- 2. Краткое содержание предыдущих семинаров Уткин П.С. Нелинейные
- 3. Система уравнений газовой динамики Дивергентная форма записи
- 4. Анализ системы уравнений газовой динамики Характеристическая форма
- 5. Гиперболическая система уравнений Наличие конечной скорости распространения
- 6. Метод конечных объемов (1) Vm (q1m
- 7. Метод конечных объемов (2)
- 8. Постановка задачи о распаде произвольного разрыва
- 9. Возможные конфигурации решения Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
- 10. Соотношения на разрыве Соотношения Ренкина – Гюгонио:
- 11. Элементарная теория ударных волн Адиабата Гюгонио p
- 12. Соотношения для ударных волн и волн разрежения
- 13. Метод Ньютона для нахождения давления на контактном
- 14. Система тестов Toro E.F. Riemann Solvers and
- 15. Тест 1. Задача Сода. Анализ (p-v)-диаграммы. pL
- 16. Тест 1. Задача Сода. Точное решение. Распределение
- 17. Начальная скорость слева от разрыва Начальная скорость
- 18. Начальное давление слева от разрыва Начальное давление
- 19. Начальная энергия слева от разрыва Начальная энергия
- 20. Алгоритм построения точного решения 1. Определяем по
- 21. Тестирование схемы С.К. Годунова решения уравнений газовой
- 22. pL = 1.0 UL = 0.0 ρL
- 23. pL = 1.0 UL = 0.0 ρL
- 24. pL = 1.0 UL = 0.0 ρL
- 25. pL = 1.0 UL = 0.0 ρL
- 26. Тест 1. Задача Сода. Сравнение методов Годунова
- 27. Тест 1. Задача Сода. Сравнение методов Годунова
- 28. Тест 2. Метод Роу (Roe). Toro E.F.
- 29. Тест 2. Метод Роу с энтропийной коррекцией.
- 30. Тест 1. Метод Лакса-Вендроффа. Sod G.A. A
- 31. Тест 1. Метод Русанова. Sod G.A. A
- 32. Монотонные схемы повышенного порядка аппроксимации метод
Краткое содержание предыдущих семинаров Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5. Семинар № 1 (07.02.14). Некоторые разностные схемы для решения линейного уравнения переноса. Семинар № 2 (14.02.14). Построение схем для
Слайд 1Нелинейные вычислительные процессы
7 марта 2014 г., МФТИ, Долгопрудный
к.ф.-м.н. Уткин Павел Сергеевич
e-mail:
utkin@icad.org.ru, pavel_utk@mail.ru
(926) 2766560
(926) 2766560
Слайд 2Краткое содержание предыдущих семинаров
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Семинар
№ 1 (07.02.14). Некоторые разностные схемы для решения линейного уравнения переноса.
Семинар № 2 (14.02.14). Построение схем для решения линейного уравнения переноса в пространстве неопределенных коэффициентов.
Семинар № 3 (21.02.14). Понятие монотонности разностных схем. Теорема Годунова.
Семинар № 4 (28.02.14). Обобщение на случай системы уравнений гиперболического типа.
Слайд 3Система уравнений газовой динамики
Дивергентная форма записи (в форме законов сохранения)
Вектор консервативных
переменных
Вектор потоков
Полная энергия
Внутренняя энергия (уравнение состояния)
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Слайд 4Анализ системы уравнений газовой динамики
Характеристическая форма
Скорость звука
Матрица Якоби
Куликовский А.Г., Погорелов Н.В.,
Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. – М.: Физматлит, 2001.
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Слайд 5Гиперболическая система уравнений
Наличие конечной скорости распространения бесконечно слабых возмущений
Возможность существования разрывных
решений даже для гладких начальных данных
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Слайд 6Метод конечных объемов (1)
Vm
(q1m , q2m , … )
0
x
y
z
Для произвольной компоненты
вектора консервативных переменных:
или
Проинтегрируем по объему ячейки расчетной сетки и по времени:
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Слайд 7Метод конечных объемов (2)
Vm
(q1m , q2m , … )
σ
nσ
0
x
y
z
Возьмем интеграл в
первом выражении и применим теорему Остроградского-Гаусса к расчету интеграла во втором:
Sm
(q1k , q2k , … )
Аппроксимируем поверхностный интеграл через сумму интегралов по граням ячейки:
Основной вопрос – как определять численный поток?
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Слайд 8Постановка задачи о распаде произвольного разрыва
Задача Коши для системы уравнений газовой
динамики с разрывом первого рода в начальных данных
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Слайд 10Соотношения на разрыве
Соотношения Ренкина – Гюгонио:
Разрывы
Контактные – нет потока массы вещества
через разрыв
Ударные волны
Обтекание тела сверхзвуковым потоком
Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. – М.: Мир, 1986.
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Слайд 11Элементарная теория ударных волн
Адиабата Гюгонио
p
p0
адиабата Гюгонио
адиабата Пуассона
В ударной волне газ нельзя
сжать больше, чем в ( γ + 1 ) / ( γ – 1 ) раз.
Ударная волна бесконечно малой интенсивности распространяется относительно газа со скоростью звука.
Фронт ударной волны распространяется относительно фона со сверхзвуковой скоростью.
Теорема Цемплена: не существует ударных волн разрежения.
Ударная волна бесконечно малой интенсивности распространяется относительно газа со скоростью звука.
Фронт ударной волны распространяется относительно фона со сверхзвуковой скоростью.
Теорема Цемплена: не существует ударных волн разрежения.
ΔS = 0
Самарский А.А., Попов Ю.И. Разностные методы решения задач газовой динамики. – М.: Наука, 1992.
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Слайд 12Соотношения для ударных волн и волн разрежения
«левая» УВ
«правая» УВ
«левая» ВР
«правая» ВР
Уткин
П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Слайд 13Метод Ньютона для нахождения давления на контактном разрыве
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные
процессы. Семинар № 5.
Слайд 14Система тестов
Toro E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics.
– Springer, 1999.
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Слайд 15Тест 1. Задача Сода. Анализ (p-v)-диаграммы.
pL = 1.0
UL = 0.0
ρL =
1.0
γL = 1.4
γL = 1.4
pR = 0.1
UR = 0.0
ρR = 0.125
γR = 1.4
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Слайд 16Тест 1. Задача Сода. Точное решение. Распределение плотности.
Начальная плотность слева от
разрыва
Начальная плотность справа от разрыва
Ударная волна (УВ)
Контактный разрыв (КР)
Волна разрежения (ВР)
«Голова» ВР
«Хвост» ВР
pL = 1.0
UL = 0.0
ρL = 1.0
γL = 1.4
pR = 0.1
UR = 0.0
ρR = 0.125
γR = 1.4
x0 = 0.5
t = 0.2
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Слайд 17Начальная скорость слева от разрыва
Начальная скорость справа от разрыва
Ударная волна
Скорость на
контактном разрыве непрерывна
Волна разрежения
«Голова» ВР
«Хвост» ВР
pL = 1.0
UL = 0.0
ρL = 1.0
γL = 1.4
pR = 0.1
UR = 0.0
ρR = 0.125
γR = 1.4
x0 = 0.5
t = 0.2
Тест 1. Задача Сода. Точное решение. Распределение скорости.
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Слайд 18Начальное давление слева от разрыва
Начальное давление справа от разрыва
Ударная волна
Давление на
контактном разрыве непрерывно
Волна разрежения
«Голова» ВР
«Хвост» ВР
pL = 1.0
UL = 0.0
ρL = 1.0
γL = 1.4
pR = 0.1
UR = 0.0
ρR = 0.125
γR = 1.4
x0 = 0.5
t = 0.2
Тест 1. Задача Сода. Точное решение. Распределение давления.
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Слайд 19Начальная энергия слева от разрыва
Начальная энергия справа от разрыва
Ударная волна
Волна разрежения
«Голова»
ВР
«Хвост» ВР
Контактный разрыв
pL = 1.0
UL = 0.0
ρL = 1.0
γL = 1.4
pR = 0.1
UR = 0.0
ρR = 0.125
γR = 1.4
x0 = 0.5
t = 0.2
Тест 1. Задача Сода. Точное решение. Распределение внутренней энергии.
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Слайд 20Алгоритм построения точного решения
1. Определяем по (p-v)-диаграмме конфигурацию, возникающую при распаде.
2.
В результате решения нелинейного алгебраического уравнения методом Ньютона ищем давление на контактном разрыве.
3. Определяем оставшиеся параметры – скорости ударных волн и наклоны крайних характеристик, описывающих веер волны разрежения.
Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. – М.: Наука, 1992.
Годунов С.К. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. – М.: Наука, 1976.
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Слайд 21Тестирование схемы С.К. Годунова решения уравнений газовой динамики
Сергей
Константинович Годунов
род. 1929 г.,
академик
РАН
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Слайд 22pL = 1.0
UL = 0.0
ρL = 1.0
γL = 1.4
pR = 0.1
UR
= 0.0
ρR = 0.125
γR = 1.4
ρR = 0.125
γR = 1.4
x0 = 0.5
t = 0.2
Тест 1. Задача Сода. Метод Годунова. Распределение плотности.
Δx = 0.01
Δ t = 0.001
УВ размазывается на ~ 9 ячеек
КР размазывается на ~ 15 ячеек
Погрешности в описании ВР
Схема С.К. Годунова:
1-ый порядок аппроксимации
Монотонность
Физичность результатов (есть исключения)
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Слайд 23pL = 1.0
UL = 0.0
ρL = 1.0
γL = 1.4
pR = 0.1
UR
= 0.0
ρR = 0.125
γR = 1.4
ρR = 0.125
γR = 1.4
x0 = 0.5
t = 0.2
Тест 1. Задача Сода. Метод Годунова. Распределение скорости.
Δx = 0.01
Δ t = 0.001
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Слайд 24pL = 1.0
UL = 0.0
ρL = 1.0
γL = 1.4
pR = 0.1
UR
= 0.0
ρR = 0.125
γR = 1.4
ρR = 0.125
γR = 1.4
x0 = 0.5
t = 0.2
Тест 1. Задача Сода. Метод Годунова. Распределение давления.
Δx = 0.01
Δ t = 0.001
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Слайд 25pL = 1.0
UL = 0.0
ρL = 1.0
γL = 1.4
pR = 0.1
UR
= 0.0
ρR = 0.125
γR = 1.4
ρR = 0.125
γR = 1.4
x0 = 0.5
t = 0.2
Тест 1. Задача Сода. Метод Годунова. Распределение внутренней энергии.
Δx = 0.01
Δ t = 0.001
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Слайд 26Тест 1. Задача Сода. Сравнение методов Годунова и КИР (1).
Распределение плотности
Распределение
скорости
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Слайд 27Тест 1. Задача Сода. Сравнение методов Годунова и КИР (2).
Распределение давления
Распределение
внутренней энергии
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Слайд 28Тест 2. Метод Роу (Roe).
Toro E.F. Riemann Solvers and Numerical Methods
for Fluid Dynamics. – Springer, 1999.
Проблемы с законом неубывания энтропии
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Слайд 29Тест 2. Метод Роу с энтропийной коррекцией.
Toro E.F. Riemann Solvers and
Numerical Methods for Fluid Dynamics. – Springer, 1999.
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Слайд 30Тест 1. Метод Лакса-Вендроффа.
Sod G.A. A Survey of Several Finite Difference
Methods for Systems of Nonlinear Hyperbolic Conservation Laws // J. Comp. Phys. – 1978. – V. 27. – P. 1 – 31.
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Слайд 31Тест 1. Метод Русанова.
Sod G.A. A Survey of Several Finite Difference
Methods for Systems of Nonlinear Hyperbolic Conservation Laws // J. Comp. Phys. – 1978. – V. 27. – P. 1 – 31.
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
Слайд 32Монотонные схемы повышенного порядка аппроксимации
метод Годунова 1-го порядка аппроксимации
метод Годунова повышенного
порядка аппроксимации
точное решение
Уткин П.С. Нелинейные вычислительные процессы. Семинар № 5.
