Схема Бернулли презентация

оттуда Таскают двое дураков. Сия работа им приятна, Они таскают t минут, И, вынув шар, его обратно Тотчас немедленно кладут. Ввиду занятия такого, Сколь вероятность велика, Что первый был глупей второго, Когда шаров он вынул k?
В. П. Скитович

повторять. Главный вопрос каждого повторения – произойдет или не произойдет это событие? А во всей серии повторений важно знать, сколько именно раз оно может произойти или не произойти. Например, какова вероятность, что при пяти бросаниях монеты «орел» выпадет ровно 4 раза? Швейцарский математик начала XVIII века Якоб Бернулли объединил подобные вопросы в единую вероятностную схему, которую принято называть схемой Бернулли.

математик, старший брат Иоганна Бернулли; профессор математики Базельского университета (с 1687 года).

двумя возможными исходами: «успехом» и «неудачей». Вероятность «успеха» равна p, а вероятность неудачи равна q. Известна формула – p+q=1. Требуется найти вероятность Pn(k) того, что в этих повторениях произойдет ровно k «успехов».

возможными исходами более кратко говорят как об n испытаниях Бернулли

одного и того же испытания вычисляется по формуле
Pn (k)=Ckpkqn-k,

где p – вероятность «успеха», а q=1-p – вероятность неудачи в отдельном испытании.

n

из 20 заданных к зачету. На зачете они отвечали в разных аудиториях и получали вопросы независимо друг от друга. Найти вероятность того, что:
а) каждому достался тот вопрос, который он выучил;
б) никому не достался вопрос, который он выучил;
в) только одному достался вопрос, который он не выучил;
г) хотя бы одному достался вопрос, который он выучил.

у каждого из приятелей одинакова: она равна 5/20=0,25. Поэтому можно считать, что мы имеем дело с n = 4 испытаниями Бернулли с вероятностью «успеха» в отдельном испытании p=0,25.
а) В этом случае k=n=4 и поэтому P4(4)=C4p4q4-4=0,254≈0,004.
б) В этом случае k=0 и поэтому P4(0)=C0p0q4-0=0,754 ≈0,316.
в) Здесь k=3 и поэтому P4(3)=C3p3q4-3=4*0,253*0,75 ≈0,047.
г) Событие, противоположное заданному, состоит в том, что никому из приятелей не достался известный ему вопрос, т.е. что произошло k=0 «успехов». Вероятность такой общей неудачи уже посчитана в пункте б). Значит, нужная нам вероятность равна 1-P4(0)=1-0,754 ≈0,684

4

4

4

игрального кубика «четверка» выпадет ровно три раза

В данном примере n=10, k=3, а «успех» состоит в выпадении «четверки» при одном бросании, поэтому p=1/6, q=5/6. Обозначим А123 событие, состоящее в том, что «четверка» выпадет только при первом, втором и третьем бросаниях. Вероятность этого события: P(A123)=N(A123)/N. По правилу умножения при 10 независимых бросаниях кубика имеется N=610 равновозможных исходов. Найдем N(A123), т.е. количество тех исходов, в которых наступает событие A123. Для первых трех бросаний имеется по одному возможному исходу, а для всех остальных бросаний имеется ровно по 5 исходов: может выпасть 1, 2, 3, 5 или 6. По правилу умножения получаем, что N(A123)=1*1*1*5*5*…*5=57. Значит, P(A123)=N(A123)/N=57/610=(13*57)/(63*67)=(1/6)3*(5/6)7=p3q7.

втором, седьмом и девятом бросаниях кубика. Вероятность P(A279) находится точно так же, как и вероятность P(A123). Такой же ответ получается и для событий A134, A458, A567, …, и для любого события Axyz, состоящего в том, что «четверка» выпала именно при бросаниях с номерами x, y, z. Все события Axyz между собой попарно несовместны. Вероятность P(Axyz) каждого из событий Axyz равна p3q7. Количество этих событий равно количеству выборов трех номеров из 10 данных без учета порядка, т.е. равно С3. По теореме суммы для нахождения вероятности несовместных событий получаем:
P(A)=p3q7 + p3q7 + … + p3q7=C3p3q7.

C3 раз

10

10

10

… …

n

n

1:
1=C0qn+C1pqn-1+…+Ckpkqn-k+…+Cn-1pn-1q+Cnpn.
Можно отметить, что данное равенство есть частный случай формулы бинома Ньютона:
(q+p)n= C0qn+C1pqn-1+…+Ckpkqn-k+…+Cn-1pn-1q+Cnpn
По этой причине распределение числа «успехов» в испытаниях Бернулли по вероятности их наступления, как правило, называют биномиальным распределением.

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

выстреле, равна 0,4. Стрелок производит независимо 5 выстрелов. Составить таблицу распределения вероятностей числа попаданий. Найти вероятность того, что стрелок ни разу не промахнется.

мишень все 5 раз, т.е. k=5. Из таблицы следует, что Вероятность примерно равна 0,01.

а затем, приняв наибольшее значение, убывает. Только в некоторых специальных случаях наибольшее значение достигается не для одного, а для двух соседних значений k. Можно доказать, что вероятность Pn(k) принимает наибольшее значение при значении k, равном ближайшему к np-q справа целому числу. Если же само число np-q целое, то наибольшее значение вероятность принимает для двух значений k: для k=np-q и для k=np+p.

монеты; б) 1001 бросании монеты.

целое. Ближайшее к нему справа целое число равно 50. Оно равно половине числа всех бросаний и является наивероятнейшим числом выпадений решки.
б) в данном случае n=1001, p=q=0,5. Тогда число np-q=1001*0,5-0<5=500 – целое. Значит, вероятность Pn(k) числа «успехов» принимает свое наибольшее значение при k=500 и при k=501.

где p – вероятность «успеха» в отдельном испытании.
Например, если вероятность успеха в одном испытании равна 0,1, а вы провели 143 повторения этого испытания, то наивероятнейшее число «успехов» равно 143*0,1≈14. При таком грубом подсчете ошибка возможна, но она невелика.

в n испытаниях Бернулли с вероятностью «успеха» равной p, следует:
1) вычислить число np;
2) от числа np на координатной прямой отложить q влево и p вправо;
3) целое число, лежащее на отрезке [np-q;np+p] единичной длины, и будет равно kнаивер.; если таких целых чисел 2, то kнаивер. может равняться любому из них.