Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов. презентация

– вот черта, отличающая образованность от дикости”.
А.С. Пушкин

Учебная презентация урока
7класс

более простых многочленов.
Существует несколько способов разложения:

Вынесение общего множителя за скобки

Способ группировки в том числе с использованием предварительного преобразования

Применение формул сокращенного умножения

Выделение полного квадрата

общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим числовым множителем (разумеется, это относится только к случаю целочисленных коэффициентов).
Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.
Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, является общим множителем, который целесообразно вынести за скобки.

так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель.
2. Вынести в каждой группе общий множитель в виде одночлена за скобки.
3. Вынести в каждой новой группе общий множитель (в виде многочлена) за скобки

формул можно применять к выражению, представляющему собой разность квадратов (безразлично чего – чисел, одночленов, многочленов), вторую и третью – к выражению, представляющему собой разность (или сумму) кубов; последние две формулы применяются к трехчлену, представляющему собой полный квадрат, т.е. содержащему сумму квадратов двух выражений и удвоенное произведение тех же выражений.

Вспомните эти формулы:

– вот черта, отличающая образованность от дикости”.
А.С. Пушкин

Выполнение теста №1

– вот черта, отличающая образованность от дикости”.
А.С. Пушкин

Выполнение теста №2

множители.

Вынесение общего множителя за скобки

Формула сокращенного умножения

Не раскладывается на множители

Способ группировки

Вынесение общего множителя за скобки

Формула сокращенного умножения

Не раскладывается на множители

Способ группировки

ряд

А1. a2b3-a3b4.
А2. 2a+2b+a2+ab
А3. 6а-3
А4. аb-ac+7c-7b
А5. 12x2y-6xy-24xy2
А6. 25x2+10x+1
А7. 9с2-a2b2
А8. 16-24y+9y2

2-й ряд

А1. 4x2-4x+1
А2. x(y+4)+4+y
А3. m2+mn-m-mq-nq+q
А4. а2-3ab+a-aq+3bq-q
А5. 18x2+12x+2
А6. x4-9a2
А7. 1-8a2
А8. 2(3a2+bc)+a(4b+3c)

часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один прием, чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один прием, затем другой и т.д. Чтобы успешно решать такие примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь выработать план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт. Вот такие комбинированные примеры мы и рассмотрим.

скобки. Рассмотрим коэффициенты 36, 96, 64. Все они делятся на 4.
НОД(36,96,64)=4. Во все члены многочлена входит переменная a (соответственно a6, a4, a2), поэтому за скобки можно вынести a2. Во все члены многочлена входит переменная b (соответственно b3, b4, b5) – за скобки можно вынести b3.
Итак, за скобки вынесем 4a2b3.
36a6b3-96a4b4+64a2b5=4a2b3(9a4-24a2b+16b2).
2) Рассмотрим трехчлен в скобках: 9a4-24a2b+16b2. Выясним, не является ли он полным квадратом. Имеем:
9a4 - 24a2b + 16b2 = (3a2)2 - 2·3a2·4b + (4b)2.
Все условия полного квадрата соблюдены, следовательно,
9a4 - 24a2b + 16b2 = (3a2-4b)2.
3) Комбинируя два приема (вынесение общего множителя за скобки и использование формул сокращенного умножения), получаем окончательный результат:
36a6b3-96a4b4+64a2b5= 4a2b3(3a2-4b)2.

множителя за скобки;
- использование формул сокращенного умножения.

Решение (краткая запись):

два приема:
- группировку;
- использование формул сокращенного умножения.

Решение:

три приема:
- группировку;
- формулы сокращенного умножения;
- вынесение общего множителя за скобки.

Решение:
y3 – 3y2 + 6y – 8=(y3-8)-(3y2-6y)= =(y-2)(y2+2y+4)-3y(y-2)= =(y-2)(y2+2y+4-3y)=(y-2)(y2-y+4).

Попробуйте его решить

множители по формулам сокращенного умножения.
«Увидеть» и попробовать выделить полный квадрат.
Попытаться применить способ группировки (если предыдущие способы не привели к цели).

Комбинирование
различных приемов

Порядок применения различных методов при разложении многочлена на множители

(где a=0)
Многочлен вида: ax2+bx+с – квадратный трёхчлен.
Коэффициенты: a, b, с (где с – свободный член)
_________Задание 1________________ Разложить на множители x2+5x-6, используя метод предварительного преобразования. Внимание! Делители свободного члена.
_________Задание 2________________ Разложить на множители x3+2x2-5x-6, используя метод предварительного преобразования. Внимание! Делители свободного члена.

4 Разложить на множители многочлен

Попробуйте его решить

решение

срез знаний

к трехчлену n2+3n+2 применим способ группировки, предварительно представив 3n в виде 2n+n. Получим:
n2+3n+2=n2+2n+n+2=(n2+2n)+(n+2)=
=n(n+2)+(n+2)=(n+2)(n+1).
Окончательно получаем:
n2+3n+2=n(n+1)(n+2).
Задание: самостоятельно попробуйте сделать краткую запись примера

Пример 4 Разложить на множители n3+3n2+2n

Решение:

– вот черта, отличающая образованность от дикости”.
А.С. Пушкин

Срез знаний по теме

удвоенное произведение 6х=2·х·3.
Значит полный квадрат будет справедлив для двух выражений х и 3.
x2-6x+5=(x2-2·x·3+32)-32+5=
=(x2-6x+9)-9+5= (x2-6x+9)-4=
=(x-3)2-22=(x-3-2)(x-3+2)=
=(x-5)(x-1).

Пример разложить на множители квадратный трехчлен х2-6x+5

Метод выделения полного квадрата

Первый способ.
Используем предварительное преобразование, обращая внимание на свободный член +5. Делители 5: +1,-1,+5,-5.
Представим –6x=–x+(-5x), а затем применим способ группировки:
x2-6x+5=x2-5x+5= =(x2-x)+(-5x+5)= =x(x-1)-5(x-1)=(x-1)(x-5).

– вот черта, отличающая образованность от дикости”.
А.С. Пушкин

Решение методом выделения полного квадрата №658

пример

результаты

остатка на 6.

Попробуйте его решить

p(1)=1+3+2=6. Значит, p(1) делится на 6 без остатка.
Если n=2, то p(2)=23+3·22+2·2=8+12+4=24. Следовательно, и p(2) делится на 6 без остатка.
Если n=3, то p(3)=33+3·32+2·3=27+27+6=60. Поэтому и p(3) делится на 6 без остатка.
Но вы же понимаете, что перебрать так все натуральные числа нам не удастся. Как быть? На помощь приходят алгебраические методы.
Имеем: n3+3n2+2n=n(n+1)(n+2).
В самом деле n(n+1)= n2+ n, а (n2+n)(n+2)=n3+2n2+n2+2n=n3+3n2+2n.
Итак, p(n) = n(n+1)(n+2), т.е. p(n) есть произведение трех идущих подряд натуральных чисел n, n+1, n+2. Но из трех таких чисел одно обязательно делится на 3, значит и их произведение делится на 3. Кроме того, по крайней мере одно из этих чисел – четное, т.е. делится на 2. Итак, p(n) делится и на 2, и на 3, т.е. делится на 6.
Все прекрасно, скажите вы, но как догадаться, что n3+3n2+2n= n(n+1)(n+2)? Ответ очевиден: надо учиться разложению многочленов на множители.

множители. Попытались выработать план применения на практике.
При разложении многочлена на множители мы использовали следующие способы:
вынесение общего множителя за скобки;
группировка, в том числе с использованием предварительного преобразования;
использование формул сокращенного умножения;
выделение полного квадрата;
комбинирование различных приемов.

уровень

Дополнительное задание:
Составить 8 примеров для математической эстафеты по теме урока.

II уровень