Проект.Окружность в декартовой системе координат презентация

Алеся Александровна Ученица 9класса СОШ №11
Города Искитима Новосибирской области ,Россия
Руководитель: Кудоспаева Надежда Николаевна.

делать проекты по математике и другим предметам. Люблю слушать музыку .

мне захотелось поучаствовать в нем, проявить себя, посоревноваться с другими .
И ещё я хочу получить хорошую оценку за годовой зачет.

решение некоторых задач

заданной прямоугольной системе координат.

расстояние
от произвольной точки М (x;y)
до точки С вычисляется по
формуле МС=

Если точка М лежит на данной окружности, то МС=r ,т.е. координаты точки М удовлетворяют уравнению

МС=r, и, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению. Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке С(x0;y0) имеет вид:(x-x0) +(y-y0)=r В частности, уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:x – y =r

2

2

2

2

2

2

2

2

начало координат.

известно, что центр окружности лежит на оси ординат.

точек:
А)внутри круга, ограниченного данной окружностью;
Б)на окружности;
В)вне круга, ограниченного данной окружностью.

2

2

на заданном расстоянии от данной точки.
Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности (рис. 1). Из определения окружности следует, что все радиусы имеют одну и ту же длину. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

СD — диаметр окружности. Очевидно, диаметр окружности в два раза больше ее радиуса.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. На рисунке 3 АLВ и АMВ — дуги, ограниченные точками А и В.

окружность на местности, можно воспользоваться веревкой (рис. 5). Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом (рис. 6 ).

с решением              

1. Проанализировать взаимное расположение прямых a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0.
Решение
Ввиду замечания к доказательству теоремы 11.5 эти уравнения определяют прямые, если a12 + b12 > 0, a22 + b22 > 0.

Пусть для определенности         выразим y

из первого уравнения и подставим во

второе:                   и                             

  


или                                                 

далее                                                    

Таким образом, при условии, что a2b1 – a1b2 ≠ 0, существует единственная точка A(x0; y0), координаты которой удовлетворяют обоим уравнениям, и, следовательно, эти прямые пересекаются в точке А. Пусть теперь               

Это значит,                если                 т. е.               

то никакое число x не является решением уравнения (*), и, следовательно, исходные уравнения не имеют общих решений.

мы получили следующий признак параллельности двух прямых, заданных исходными уравнениями. Если коэффициенты при переменных пропорциональны, т. е.                а отношение свободных коэффициентов не равно

отношению соответствующих коэффициентов, то уравнения определяют

параллельные прямые. Пусть теперь                     Тогда любая точка

x – является решением уравнения (*) и в силу произвольности x связь между x и y определяется одним из исходных уравнений, потому что другое уравнение пропорционально первому. В этом случае каждое уравнение совокупности исходных уравнений задает одну и ту же прямую.

Задача с решением              
В окружность радиуса R вписан равносторонний треугольник. Доказать, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин треугольника постоянна, и найти эту сумму.
Решение Шаг 1

Установим координаты вершин треугольника ABC:

B(0; R),                                   Окружность имеет уравнение: x2 + y2 = R2.

Шаг 2
Пусть T – произвольная точка на окружности.

Шаг 3
Согласно формуле расстояния между двумя точками                                TB2 = x2 + (y-          Поэтому                                     Учитывая, что точка T лежит на окружности, имеем: x2 + y2 = R2. Значит, TA2 + TB2 + TC2 = 3R2 + 3R2 = 6R2.

Ответ: 6R2.

2

R)

вид: (х – а) + ( у – в) =R

2

2

2

диаметра. Это довольно точное приближение с ошибкой 0,6 %. Наряду с этим приводилось значительно более грубое приближение для длины окружности, которую предлагалось считать равной утроенному диаметру (ошибка около 5 %).

— это сегменты I и II). Если хорда совпадает с диаметром, то эти сегменты превращаются в полукруги. Часть круга, ограниченная двумя его радиусами ОА и ОВ и дугой окружности, соединяющей концы этих радиусов, называется сектором (на рис. 8 — это секторы I и II).

дуги стягиваются равными хордами. 3. Хорды, одинаково удаленные от центра, равны. 4. Равные хорды одинаково удалены от центра. 5. Всякий диаметр является осью симметрии окружности и делит ее на две равные полуокружности.

и (O2, r2). Эти окружности не имеют общих точек, т. е. не пересекаются. Сравнив расстояние h между центрами О1 и О2 с радиусами окружностей, заметим, что h > r1 + r2.

центрами О1 и О2 уменьшается. Когда расстояние между центрами станет равным сумме радиусов (h = r1 + r2), окружности будут иметь только одну общую точку. О таких окружностях говорят, что они касаются внешним образом, а их общую точку называют точкой касания (рис. 9, б).

каждая из которых симметрична себе относительно некоторой оси. О таких фигурах говорят, что они имеют ось симметрии.

Пусть прямая p проходит через центр окружности (О, r) (рис. 11). Осевая симметрия сохраняет расстояния (предложение 23). Но при любом отображении, cохраняющем расстояния, окружность отображается на окружность того же радиуса. А так как при симметрии Sp центр окружности (О,r) отображается на себя (О р), то и окружность (О, r) - отображается на себя, т. е. она симметрична относительно прямой р.

(обычно с взаимно перпендикулярными осями и одинаковыми масштабами по осям). Названа по имени Р. Декарта.
Декарт впервые ввел координатную систему, которая существенно отличалась от общепринятой в наши дни. Он использовал косоугольную систему координат на плоскости, рассматривая кривую относительно некоторой прямой с фиксированной системой отсчета. Положение точек кривой задавалось с помощью системы параллельных отрезков, наклонных или перпендикулярных к исходной прямой. Декарт не вводил второй координатной оси, не фиксировал направления отсчета от начала координат. Только в 18 в. сформировалось современное понимание координатной системы, получившее имя Декарта

осями. Точка пересечения осей O называется началом координат. На каждой оси задается положительное направление и выбирается единица масштаба. Координаты точки P считаются положительными или отрицательными в зависимости от того, на какую полуось попадает проекция точки P.