Площадь круга. презентация

круг

О – центр круга.

ОА – радиус круга.

.

.

А

ω(О, ОА) – граница круга.

О

Такие фигуры имеют площадь, если существуют содержащие её и содержащиеся в ней простые фигуры с площадями бесконечно мало отличающимися от площади данной фигуры.

Очевидно, что существует п-угольник, вписанный в окружность и п-угольник, описанный около окружности, площади которых бесконечно мало отличаются от площади окружности (при бесконечно большом значении п).

Sкруга = ½ lR

F

В

D

А

С

О

α

α

Построим вписанный и описанный правильные п-угольники Р1 и Р2 – простые фигуры .

Р2 содержит круг, а Р1 содержится в круге.

Проведем радиусы в вершины п-угольника Р1 .

Получаем п равных треугольников, один из которых АОD.

SР1 = п S∆АОD

S∆АОD = ½ АD·ОС

= АС·ОС

Из прямоугольного ∆АОС:

откуда S∆АОD = АС· АО·соsα,

тогда SР1 = п АС·АО соsα

= п ½ АD ·АО соsα

= ½ р R соsα,

где р – периметр Р1 .

Соединим центр окружности с вершинами описанного п-угольника.

Получаем п равных треугольников, один из которых ВОF.

SР2 = п S∆ВОF

S∆ВОF = ½ ВF·АО

= АВ·АО

Из прямоугольного ∆АВС:

тогда S∆ВОF =

соsα

АС

·АО

тогда SР2 =

соsα

пАС·АО

=

(пАС = ½ р)

=

2соsα

р R

ОС = АО·соsα,

АВ = АС:соsα,

р ≈ l ,

а угол α 0º,

значит соsα 1.

Получаем, что

SР1 ≈ ½ R l

и SР2 ≈ ½ R l,

Sкруга ≈ SР1 ≈ SР2

= ½ lR

тогда

Учитывая, что длина окружности l = 2πR,

Sкруга = ½ R· 2πR

=πR².

Sкруга = πR²

α

α

Площадь круга равна произведению π на квадрат радиуса.

О

сектор

сектор

Площадь кругового сектора вычисляется о формуле:

S =

πR²

360º

α

· α,

где R –радиус круга,

α – градусная мера соответствующего центрального угла.

Построим круг.

Проведем прямую, пересекающую плоскость.

а

сегмент

сегмент

Площадь сегмента, не равного полукругу, вычисляется о формуле:

- S∆

+ S∆

α

α

где α –градусная мера центрального угла, содержащего дугу сегмента,

S∆ площади треугольника с вершинами в центре круга и концах радиусов, ограничивающих сектор.