ОСНОВЫ ЛОГИКИ(Алгебра логики или алгебра высказываний презентация

стр.45

философ Лейбниц(1642 -1716), предпринял попытку логических вычислений.

Буль по праву считается отцом математической логики. Его именем назван раздел математической логики – булева алгебра.

обозначений и правил, применимую ко всевозможным объектам, от чисел до предложений.
Пользуясь этой системой, он мог закодировать высказывания (утверждения, истинность или ложность которых требовалось доказать) с помощью символов своего языка, а затем манипулировать ими, подобно тому как в математике манипулируют числами. Основными операциями булевой алгебры являются конъюнкция (И), дизъюнкция (ИЛИ), отрицание (НЕ).

система Буля хорошо подходит для описания электрических переключателей схем. Ток в цепи может либо протекать, либо отсутствовать, подобно тому как утверждение может быть либо истинным, либо ложным.
А еще несколько десятилетий спустя, уже в ХХ столетии, ученые объединили созданный Джорджем Булем математический аппарат с двоичной системой счисления, заложив тем самым основы для разработки цифрового электронного компьютера.

математик
В 1936 году выпускник Мичиганского университета Клод Шеннон, которому был тогда 21 год, сумел ликвидировать разрыв между алгебраической теорией логики и ее практическим приложением

бакалавра - по электротехнике и по математике, выполнял обязанности оператора на неуклюжем механическом вычислительном устройстве под названием "дифференциальный анализатор"
Постепенно у Шеннона стали вырисовываться контуры устройства компьютера. Если построить электрические цепи в соответствии с принципами булевой алгебры, то они могли бы выражать логические отношения, определять истинность утверждений, а также выполнять сложные вычисления.

бы гораздо удобнее шестеренок и валиков, щедро смазанных машинным маслом у "дифференциального анализатора".
Свои идеи относительно связи между двоичным исчислением, булевой алгеброй и электрическими схемами Шеннон развил в докторской диссертации, опубликованной в 1938 году.

математик
1903-1957

будапештского банкира и уже в восьмилетнем возрасте владел не только несколькими иностранными языками, но также знал основы высшей математики.
Он обладал феноменальной памятью и помнил все, что когда-либо слышал, видел или читал, мог дословно цитировать по памяти большие фрагменты книг, которые читал несколько лет назад.

консультанта по математическим вопросам в группу разработчиков первой ЭВМ ENIAC.
После окончания строительства ENIAC фон Нейман опубликовал отчет "Предварительное обсуждение логической конструкции электронной вычислительной машины". Этот отчет стал исходным пунктом в конструировании новых машин.
Сам Нейман занялся разработкой собственной версии вычислительной машины, которую назвал машиной с памятью с прямой адресацией - IAS (Immediate Address Storage).

что создание компьютеров с большим количеством переключателей и проводов, которые реализуют тот или иной алгоритм, очень долго и утомительно.
И он понял: в памяти машины должны быть не только данные, которые обрабатываются в ходе работы, но также и сама программа.
Таким образом, его фундаментальным открытием в области вычислительной техники стала мысль, которая сегодня кажется нам такой естественной: в ходе работы компьютера и программа и обрабатываемые ею данные должны находиться в одном пространстве оперативной памяти.

Нейман пришел к выводу, что десятичная арифметика, реализуемая в ENIAC, очень неэффективна.
Для каждого десятичного разряда были отведены 10 ламп, и в любой момент времени горела только одна (скажем, если горит седьмая лампа, то в разряде стоит 7, если девятая - 9 и т. д.). В своей машине десятичную арифметику Нейман заменил двоичной.

машины, сконструированной фон Нейманом), которая в специальной литературе сегодня так и именуется - "архитектура фон Неймана", или "фон-неймановская машина".
Машина фон Неймана состояла из пяти основных узлов: памяти, арифметико-логического устройства (АЛУ), устройства управления и устройств ввода-вывода (в современных микропроцессорах АЛУ и устройство управления объединены в одном корпусе).

истинно или ложно
(Пример: Париж – столица Франции)

Угринович 10-11 Стр.123

мысль
Обозначение: латинская буква (А, В, Х …)
Значение: ИСТИНА (1) или ЛОЖЬ (0)
Логическая функция (или формула или логическое выражение)– это составное высказывание, которое содержит несколько простых высказываний, соединенных между собой с помощью логических операций
Обозначение: F
Логические операции – логическое действие (логическое умножение – коньюнкция, логическое сложение – дизъюнкция, отрицание – инверсия, следование – импликация, равенство – эквивалентность)

Угринович 10-11 Стр.125

дом?
в) Посмотрите в окно.
2. Придумай 2 высказывания
3. Придумай сложное высказывание с союзом И

высказываний

тогда, когда

оба исходных высказывания истинны

тогда,

когда оба исходных высказывания ложны, и истинным

во всех остальных случаях

и наоборот.

тогда,

когда из истинного основания (А) следует ложное следствие (В)

тогда,

когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны

войдут логические переменные и знаки логических операций, то получится
ЛОГИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ

истина ложь

(сложение ИЛИ ∨)
Импликация (следование →)
Эквивалентность (равенство ≡)

тогда, когда

оба исходных высказывания истинны

тогда,

когда оба исходных высказывания ложны, и истинным

во всех остальных случаях

и наоборот.

тогда,

когда из истинного основания (А) следует ложное следствие (В)

тогда,

когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны

только тогда,

Пример

СЛЕДУЕТ”, “... ВЛЕЧЕТ ...”, называется импликацией (лат. implico — тесно связаны) и обозначается знаком ®. Высказывание А ® В ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В — ложно. Каким же образом импликация связывает два элементарных высказывания?
Покажем это на примере высказываний: “данный четырёхугольник — квадрат” (А) и “около данного четырёхугольника можно описать окружность” (В). Рассмотрим составное высказывание А ® В, понимаемое как “если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность”. Есть три варианта, когда высказывание А ®В истинно:
А истинно и В истинно, то есть
данный четырёхугольник квадрат, и около него можно описать окружность;
А ложно и В истинно, то есть
данный четырёхугольник не является квадратом, но около него можно описать окружность (разумеется, это справедливо не для всякого четырёхугольника);
A ложно и B ложно, то есть
данный четырёхугольник не является квадратом, и около него нельзя описать окружность.
Ложен только один вариант: А истинно и В ложно, то есть
данный четырёхугольник является квадратом, но около него нельзя описать окружность.

ВЛЕЧЕТ ...”, называется…………..
2)Обозначается……
3)Ложь тогда……

“... равносильно ...”, называется…………..
2)Обозначается……
3)Истинна тогда……

логическую операцию

Марина старше Светы. И Оля старше Светы

А= “Марина старше Светы; В= Оля старше Светы”
А И В А^B – это конъюнкция

изучает английский язык”
В= “Вторая половина – немецкий”
А ИЛИ В А+B – это дизъюнкция

№6_2 Обозначьте простые высказывания логическими переменными А и В и запишите логическую операцию

логическую операцию

3. В кабинете есть учебники. В кабинете есть справочники.

А= “В кабинете есть учебники”
В= “В кабинете есть справочники”
А И В А*B – это конъюнкция

логическую операцию

4. Слова в этом предложении начинаются на букву Ч. Слова в этом предложении начинаются на букву А.

А= “Слова в этом предложении начинаются на букву Ч”
В= “Слова в этом предложении начинаются на букву А”
А ИЛИ В А+B – это дизъюнкция

логическую операцию

3. Часть туристов любит чай. Остальные туристы любят молоко

А= “Часть туристов любит чай”
В= “Остальные туристы любят молоко”
А И В А*B – это конъюнкция

логическую операцию

3. Синий кубик меньше красного. Синий кубик меньше зеленого

А= “Синий кубик меньше красного”
В= “Синий кубик меньше зеленого”
А И В А*B – это конъюнкция

логическую операцию

3. Х=3, Х>2

А= “Х=3”.
В= “Х>2”
А И В А*B – это конъюнкция

таблица, в которой по действиям показано, какие значения принимает логическое выражение при всех возможных наборах значений логических переменных.

(сложение ИЛИ ∨)
Импликация (следование →)
Эквивалентность (равенство ≡)

таблице (по формуле 2^n, где n – количество переменных
Найти количество столбцов = кол-во переменных + количество операций (действий)
Построить таблицу, указывая названия столбцов и возможные наборы значений исходных логических переменных
Заполнить таблицу по столбцам

И ИЛИ НЕ и ЕСЛИ

ЗАДАНИЕ
1. Постройте таблицы истинности для дизъюнкции, отрицания.
2. Постройте таблицу истинности для функции

«Петя поедет в деревню»
В = «Будет хорошая погода»
С = «Он пойдет на рыбалку»
Записываем высказывание в виде логического выражения, учитывая порядок действий
F = A ^ (B → C)

Записать в виде логического выражения следующее высказывание: «Летом Петя поедет в деревню и, если будет хорошая погода, то он пойдет на рыбалку»

условий и значение false — в противном случае:
каждое из чисел А и В больше 500;

хотя бы одно из трех целых чисел делится на 5;

каждое из трех заданных целых чисел делится на 3 и оканчивается нулем.

A>500 и B>500

АvBvC

A&B&C

отсутствие дождя, то для того, чтобы пошел дождь, достаточно, чтобы погода была пасмурной и безветренной.

(С→¬Д) →(П&¬В→Д)

(1/х>х) and not(1+x2>0) or (132<13.2 *10) or ((х2 -2 * х + 1) < 0)

Ложь

при любых значениях логических переменных X и Y

Моргана)

Логические выражения равносильны, так как в таблице истинности значения в последних столбцах совпадают

согласная –> (Вторая буква слова гласная \/ Последняя буква слова гласная))
   1) ГОРЕ   2) ПРИВЕТ   3) КРЕСЛО   4) ЗАКОН

/\ B) \/ ¬C.
 1) ¬A \/ B \/ ¬C  2) ¬A \/ ¬B \/ ¬C  3) A \/ ¬B \/ ¬C  4) A \/ B \/ ¬C

какое логическое выражение равносильно выражению ¬(A \/ ¬ B \/ C)

1)¬A \/ B \/ ¬C 2)A /\ ¬B /\ C 3)¬A \/ ¬B \/ ¬C 4)¬A /\ B /\ ¬C