ОБ ЭВОЛЮЦИИ ОРБИТ ИСЗ ПОД ВЛИЯНИЕМ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ ОТ ЛУНЫ И СОЛНЦА И ПРОБЛЕМЕ ВЫБОРА ДОЛГОЖИВУЩИХ ВОСОКО АПОГЕЙНЫХ ОРБИТ презентация

СОЛНЦА И ПРОБЛЕМЕ ВЫБОРА ДОЛГОЖИВУЩИХ ВОСОКО АПОГЕЙНЫХ ОРБИТ

Виктория И. ПРОХОРЕНКО

ИКИ РАН Семинар «Механика, Управление, Информатика, 25 марта 2004

Институт Космических Исследований
Российской Академии Наук

Памяти Павла Ефимовича ЭЛЬЯСБЕРГА

ИСЗ с большим эксцентриситетом и наклонением. Орбиты ИСЗ серии ПРОГНОЗ, запущенные с 1972 по 1995 г.г. послужили экспериментальным материалом для исследований.

На первой стадии исследований были использованы аналитические решения двукратно-осредненной ограниченной круговой проблемы Хилла, полученные М.Л. Лидовым [1961]. Геометрическая интерпретация этих решений позволила разработать геометрический метод анализа долгопериодической эволюции, и времени существования орбит ИСЗ.

Предположение о компланарности орбиты Луны и плоскости эклиптики позволило применить упомянутые решения задачи трех тел к задаче четырех тел (Земля, Спутник, Луна Солнце).

реальных гравитационных возмущений от Луны и Солнца позволило обнаружить существенную роль некомпланарности орбит рассматриваемых возмущающих тел.

Результаты исследования влияния прецессии орбиты Луны на характер эволюции и время существования орбит ИСЗ представлены во второй части доклада

Аннотация (2 of 2)

ограниченной круговой проблемы трех тел. Точка P движется в поле притяжения центральной точки  S (массы M) под влиянием гравитационных возмущений со стороны третьей точки J (массы M1), которая движется вокруг точки S по круговой орбите радиуса a1.

М.Л. Лидов [1961] получил аналитическое решение двукратно-осредненной системы дифференциальных уравнений движения точки P в приближении Хилла, полагая что отношение большой полуоси a орбиты точки P удовлетворяет соотношению:
α = a/a1 << 1. Это позволило использовать первый член разложения возмущающей функции по параметру α. Полученное аналитическое решение включает три первых интеграла и две независимых квадратуры.

тел в хилловском приближении

a - большая полуось, ε = 1 - e2, e – эксцентриситет;
i, ω, и Ω - наклонение, аргумент перицентра и прямое восхождение восходящего узла орбиты ИСЗ, отнесенные к плоскости орбиты возмущающего тела; N – номер витка; ε1 – параметр ε орбиты возмущающего тела; M, M2 – масса центрального и возмущающего тел

Критическое значение ε* , соответствующее соударению спутника с центральным
телом радиуса R: ε* = 1- (1-R/a)2

С1

С2

Область возможных значений интегральных констант с1, с2

серии «ПРОГНОЗ»

Δhp зависит от угла α между осью ξ и проекцией вектора возмущающего ускорения на плоскости Oξη :
0 < Δhp при α ∈ I или III четверти
Δhp < 0 при α ∈ II или IV четверти

*) Правая система координат Oξηζ: начало координат совпадает с притягивающим центром,
плоскость Oξη совпадает с плоскостью орбиты спутника, ось ξ направлена в точку перицентра,
ось ζ - по нормали к плоскости орбиты.

В книге П.Е. Эльясберга [1965] приведены оценки модуля максимального отклонения высоты перицентра за виток ⏐Δhp⏐max под влиянием гравитационных возмущений от Луны и Солнца для орбит с высотой апогея (перигея) от 2 000 до 100 000 км (от 200 до 50 000 км).

Изменение высоты перицентра орбиты спутника за виток Δhp зависит от значений большой полуоси спутника, эксцентриситета, и положения вектора возмущающего ускорения относительно орбитальной системы координат Oξηζ*)

значения аргумента перицентра ω, измеренного относительно линии узлов орбиты спутника на плоскости орбиты возмущающего тела:

0 < при ω ∈ II или IV четверти
< 0 при ω ∈ I или III четверти

В книге П.Е. [1965] показано, что ⏐ ⏐max = ½ ⏐Δhp⏐max

(1972 –1995)

Численное интегрирование полной системы дифференциальных уравнений выполнено с учетом гравитационных возмущений от Луны и Солнца

P1

P2

P3

P4,5,7

P6

P8

P10

I-1

Типичные начальные значения орбитальных элементов:
16.12 < a (RE) < 16.74; 0.930 < e0 < 0.936;
ie0 = 65°(до P10); ωe0 = 290°(до P7).
Угловые элементы измерены относительно плоскости земного экватора

Oεiω:

ε = 1 - e2 (0 ≤ ε ≤ 1) - радиус;
i (0° ≤ i ≤ 180°) - коширота θ;
ω (0° ≤ i ≤ 360°) - широта λ

поверхностей
c2 = (1- ε) (2/5- sin2 ω sin2i) с поверхностями
c1 = 0 (i = 90°) (c)
и c1 = 0.2 (d)

Сечения поверхностей
вращения
c1 = ε cos2i
плоскостями
ω = 0°, 180°(а)
и ω = 90°, 270°(b).
Серым тоном здесь
и далее выделена область,
соответствующая
значениям c2 < 0

а

b

d

c

ω = 180°

ω = 0°

ω = 270°

ω = 90°

показана область, соответствующая орбитам с конечным временем баллистического существования для a* = 8, определяемая неравенствами: c1 < 0.6 ε*2 или c2 > (1 - ε*)(c1 / ε* - 0.6) Гордеева [1968]

a* = 8,
ε* = 0.234,
c1=0.1, c2=0.1; c2= -0.1

ε* = (2a* - 1)/a*2, a* = a/R

a*

и интегральных констант c1, c2

ε0 = 0.6

ε0 = 0.4

0 ≤ ε0 ≤ 1
superposition

a

b

c

d

c1 = ε0 cos2i0, c2 = (1 - ε0) (2/5 - sin2i0 sin2ω0)

Сферическая поверхность
ε0=0.4

времени баллистического существования

в виде произведения независимых параметров, используя квадратуру (2) и теорию подобия и размерностей

Ю.Ф. Гордеева [1968] выразила квадратуру L через эллиптический интеграл первого рода

параметр подобия орбит LC (c1, c2)

Конфигурационный параметр подобия орбит LC (c1, c2) зависит только от c1, c2, его знак совпадает со знаком параметра c2, а абсолютное значение равно удвоенной квадратуре L, вычисленной в пределах εmin, εmax

T* = 4/15 a*-3/2 ⎮LC (c1, c2)⎮/LD,

⎮LC (c1, c2)⎮ = 2L(c1, c2, εmin, εmax, π/2)

⎮LC(c1,c2)⎮ сечение плоскостями c1 (c1<0.6)

6

6

8

8

9

9

Изолинии поверхности ⎮LC (c1, c2)⎮показаны для уровней
от 6 до 13 с единичным шагом

LB (c1, c2, a*)

Конфигурационный параметр LB (c1, c2 , a*) имеет тот же знак, что и c2, а абсолютное значение, равное удвоенной квадратуре L вычисленной в пределах ε*, εmax, с начальным значением ω0, определенным как функция от
ε* (при sin 2ω0(ε*) < 0)

TB* = 4/15 a*-3/2 ⏐LB (c1, c2, a*)⏐/LD,

⏐LB (c1, c2 , a*)⏐= 2L(c1, c2, ε*, εmax, ω0(ε*))

Изолинии для поверхностей
⎮LC (c1, c2)⎮
и
⏐LB (c1, c2 , a*)⏐
при a* = 16

LB определено только для c1, c2 , при которых εmin< ε*< εmax

Линии соответствуют значениям уровня
от 5 to 13 с единичным шагом

< 0.6)
Зеркальная квазисимметрия относительно плоскости c2 = 0 в окрестности c2 = 0 (при c1<0.6)
⏐LB(c1, c2, a*)⏐ < ⏐LC(c1, c2)⏐при любых a*
Выражаются через эллиптические интегралы первого рода [Гордеева, 1968]

ε* = 0.117) и метод выбора долгоживущих орбит

Для каждой орбиты значения параметров
c1, c2 показаны черными точками и маркированы номером ИСЗ

выбора долгоживущих орбит

Большая полуось
a = 8 RE
ε* = 0.234

Высота
перигея
hp0 = 5000 km
e0 = 0.777
ε0 = 0.4

Lc(c1,c2)

LB(c1,c2, a*)

уравнений с учетом реальных возмущений от Луны и Солнца

Солнце

∙       l =RE = 6371200 m, τ =365 сут.;
∙         μ = 0.39860044 1015 m3/s2 (Земля);
∙         μ1 = 0.4902799 1013 m3/s2, a1 = 0.3844109 m, ε1 = 1 (Луна);
∙         μ2 = 0.13271244 1021 m3/s2, a2 = 0.1495979 1012 m, ε2 = 1 (Солнце).

Значение LD в третьей колонке представляет собой сумму значений, расположенных в колонках 1 и 2

Использованы следующие характерные размер l, время τ, и динамические параметры центрального и возмущающих тел:

Солнца вместе и отдельно, рассчитанного по аналитическим формулам и по результатам численного интегрирования с учетом реальных возмущений

Эволюция радиуса перигея rp под влиянием Луны и Солнца отдельно и вместе

Солнце

Луна

Луна + Солнце

1995

2013

2000

rp = 6 RE

баллистического существования для гипотетических версий орбит v1-v7 типа ИНТЕРБОЛ –1 с различными значениями аргумента перицентра 314 °≤ ω0e ≤290°, при фиксированных значениях остальных орбитальных элементов (a =16.12 RE , e0= 0.93, i0e = 62.9°, Ω0e = 260°, Δω0 = 24.5°) и датой старта 03.08.1995

ИВ-1

290°

292°

293°

300°

298.75°

ω0e = 298.15°

304°

314.°

TB*(с1, c2, a*)

ИНТЕРБОЛ-1:
a* = 16.12, c1 = 0.0179, с2 = 0.247,
e0 = 0.93, ε0 = 0.123, ω0 = 338.7°
и версии v1-v7 со значениям 328° ≥ ω0 ≥ 314° (0.14 ≥c2≥-0.036)

Сплошная (штриховая) линия показывает период эволюции T* (мажоранту времени баллистического существования TB*) в функции параметра c2.
Расчетное время баллистического существования TBR показано в виде дискретных символов в функция значения параметра c2, определяемого начальными значениями орбитальных элементов.
Светлые (темные) значки показывают расчетное время баллистического существования TBR, связанное с ротационным (либрационным) типом эволюции аргумента перицентра.

Это позволило обнаружить «сдвиг» функции TBR относительно функции TB*

T*,TB*,TBR

время их существования (Учитывается наклонение 5.15°  плоскости орбиты Луны к плоскости эклиптики и прецессия орбиты Луны с периодом 18.6-года)

орбиты Луны

Для сопоставления аналитических решений с результатами численного интегрирования полной системы уравнений будем в процессе интегрирования следить за поведением функции ψ1(t) и ψ2(t) с начальными значениями ψ1(t0) = c1 и ψ2(t0) = c2

ψ1(t) = ε cos2i ; ψ2(t) = (1 - ε)(2/5 - sin2ω sin2i).

Параллельно рассмотрим другую пару функций ψ1m(t), ψ2m (t):
ψ1m (t) = ε cos2im; ψ2m (t) = (1 - ε)(2/5 - sin2ωm sin2im),

где индекс m маркирует орбитальные элементы, измеренные относительно плоскости орбиты Луны.
Из определения этих пар функций следует, что области их возможных значений совпадают с областью допустимых значений параметров c1, c2.

функций ψ1m(t), ψ2m (t) определяется эволюцией углового расстояния ϕ между восходящими узлами орбит спутника и Луны на плоскости эклиптики
Для орбит с фиксированным начальным значением прямого восхождения восходящего узла Ω0 начальное значение ϕ(t0) = ϕ0 зависит от даты старта, которая в свою очередь определяет позицию восходящего узла орбиты Луны.
Угловая скорость эволюции параметра ϕ определяется как разность между угловой скоростью эволюции прямого восхождения восходящего узла орбиты спутника и постоянной угловой скоростью прецессии орбиты Луны .
Эволюция параметра Ω в рамках двукратно осредненной проблемы Хилла определяется квадратурой (3).
М.А. Вашковьяк [1999] выразил эту квадратуру через эллиптические интегралы первого и третьего рода.

начального значения параметра ϕ0

C2 > 0

Рассмотрены два варианта орбит с одинаковым значением c1 = 0.018 :
IB1 - эквивалентен орбите ИСЗ ИНТЕРБОЛ-1 (ω0 = 339°, c2 = 0.247)
v4 - отличается от первого только начальным значением аргумента перицентра (ω0 = 322.6°, c2 = 0.069).

T*, TB*,TR*,
годы

ϕ0=78°

ϕ0= -89°

ϕ0=40°

Для каждой из орбит сделан расчет времени баллистического существования TBR для набора дат старта, обеспечивающего покрытие всего интервала возможных значений параметра ϕ0 (0≤ ϕ0 ≤ 360°).
Для каждой орбиты значения TBR(ϕ0 ) отнесены к своему значению c2 и маркированы значениями ϕ0.

Светлые (темные) значки соответствуют ротационному (либрационному) типу эволюции аргумента перицентра.

v4

v4

ψ1, ψ1m

ψ2, ψ2m

серии ПРОГНОЗ

= 1 - e2 (0 ≤ ε ≤ 1) -радиус;
ω (0° ≤ ω ≤ 360°) - долгота;
ψ1 (0 ≤ ψ1 ≤ 1) – координата Z

ω0 = 284°,
ε0 = 0.126
ψ1(t0)=c1=0.07,
ψ1(t0)=c2 =-0.03

Характер эволюции параметров
ω, ε и ψ1, ψ2
в зависимости от даты старта
(определяющей значение параметра ϕ0)

Реальный запуск
29.VI.1972, ϕ0 = 70°
Время существования ~ 8 лет

Гипотетический запуск
29.VI.1981, ϕ0 = 247°
Время существования ~ 60 лет

запуск
22.IX.1977, ϕ0 = 225°.
Время существования ~ 40 лет

Гипотетический запуск
22.IX.1988 , ϕ0 = 80°.
Время существования ~ 7 лет

ПРОГНОЗ-6
(a*=16.6, ε*=0.117) ω0 = 268°,
ε0 = 0.126
ψ1(t0)=c1=0.05,
ψ1(t0)=c2 =-0.19

Характер эволюции параметров
ω, ε и ψ1, ψ2
в зависимости от даты старта
(определяющей значение параметра ϕ0)

существования более 500 лет

Rp

ω°

i°

Ω°

ϕ°

ψ1, ψ1m

ψ2, ψ2m

ψ2 , ψ1m, ψ2m и орбитальных элементов ε, ω на интервале времени 1978 – 2470

1978-2150

2150-2470

2150-2470

ψ1

ψ2

ω = 90°

ε=1

возмущения от реальных внешних тел, позволило выделить параметры, от которых зависит характер эволюции орбитальных элементов и время баллистического существования ИСЗ, обусловленное гравитационными возмущениями со стороны внешних тел (Луны и Солнца).
Такими параметрами являются безразмерные константы первых интегралов двукратно-осредненной задачи c1 (0≤ c1 ≤ 1), c2 (-0.6 ≤ c2 ≤ 0.4), безразмерный параметр 1 < a*, равный отношению большой полуоси орбиты спутника к радиусу центрального тела, и параметр ϕ0 (0°≤ ϕ0 ≤ 360°) – начальное угловое расстояние между восходящими узлами орбит ИСЗ и Луны на эклиптике.

Заключение

гравитационных возмущений внешних тел. // Искусственные спутники Земли. 1961. №. 8. С. 5.
Моисеев Н.Д. О некоторых основных упрощенных схемах небесной механики, получаемых при помощи осреднения ограниченной круговой проблемы трех точек Труды ГАИШ, т.15, ч.1, с.100, 1945.
 Гордеева Ю.Ф. Зависимость элементов от времени в долгопериодических колебаниях в ограниченной задаче трех тел // Космич. исслед. 1968. Т. 6. № 4. С. 536.
Вашковьяк М.А. Об эволюции орбит далеких спутников Урана // Письма в "Астрон. журн." 1999. Т. 25. № 7. С. 554.
Прохоренко В.И. Геометрическое исследование решений ограниченной круговой двукратно осредненной задачи трех тел // Космич. исслед. 2001. Т. 39. № 6. С. 622.
Прохоренко В.И. Исследование периодов эволюции эллиптических орбит в двукратно осредненной задаче Хилла // Космич. исслед. 2002. Т. 40. № 1. С. 22.
Назиров Р.Р., В.И. Прохоренко, А.И. Шейхет Ретроспективный геометрический анализ долгопериодической эволюции орбит и времени баллистического существования ИСЗ серии ПРОГНОЗ // Космич. исслед. 2002. Т. 40. № 5. С. 538.
Вашковьяк М.А. Тесленко Н.М. Построение периодически эволюционирующих орбит спутника сжатой планеты в осредненной задаче Хилла с учетом прецессии орбиты возмущающей точки // Письма в Астрон. журн. 1998. Т. 24. № 6, С. 474.