- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Метод тригонометрических подстановок презентация
Содержание
- 1. Метод тригонометрических подстановок
- 2. Тригонометрическая подстановка используется в тех случаях, когда
- 3. Если из условия задачи следует, что допустимые
- 4. Непрерывная функция y=cos x убывает на промежутке
- 5. В случаях, когда переменная может принимать любые
- 6. Когда выражение зависит от двух переменных x
- 7. А числа, сумма квадратов которых равна единице,
- 8. Теперь решим несколько примеров
- 9. Пример 1. Решить уравнение Конечно, данный пример
- 10. Легче сделать так: Пусть x=cos α, α∈[0;π],
- 11. Решение задач Пример 1
- 12. Пример 2. Решить уравнение Перепишем пример в таком виде: Решение задач Пример 2 Пример 1
- 13. Решение задач Пример 2 С учетом замены уравнение принимает такой вид:
- 14. Решение задач Пример 2 Используем формулу разности синусов:
- 15. Решение задач Пример 2 Учитывая, что α∈[0;π], получаем
- 16. Пример 3. Решить уравнение Поделим все члены
- 17. Докажем, что все корни данного уравнения по
- 18. Положим x=cos α, α∈[0;π]. Уравнение примет вид Решение задач Пример 3
- 19. Условию α∈[0;π] удовлетворяют три значения Решение задач Пример 3
- 20. Поскольку кубическое уравнение не может иметь больше
- 21. Пример 4. Решить уравнение Пусть x=t+1, тогда
- 22. Это уравнение мы уже решали. Его
- 23. Перейдем к переменной t, а затем к переменной x Решение задач Пример 4
- 24. Пример 5. При каких а неравенство
- 25. Положим x=r cos α, y=r sin α, α∈[0;π], тогда Решение задач Пример 5
- 26. Оценим выражение Решение задач Пример 5 Наименьшее
- 27. Презентация окончена Спасибо за внимание. Решение задач Пример 5
Слайд 2Тригонометрическая подстановка используется в тех случаях, когда область определения исходного уравнения
совпадает с областью значения тригонометрической функции или включается в эту область.
Выбор той или иной функции при этом зависит от вида уравнения, неравенства, их систем или алгебраического выражения, которое требуется упростить.
Выбор той или иной функции при этом зависит от вида уравнения, неравенства, их систем или алгебраического выражения, которое требуется упростить.
Слайд 3Если из условия задачи следует, что допустимые значения переменной определяются неравенством
|x|≤1, то удобны замены x=cos α или x=sin α.
В первом случае достаточно рассмотреть α∈[-π/2;π/2], так как на этом промежутке непрерывная функция y=sin x возрастает, поэтому каждое свое значение принимает ровно в одной точке.
В первом случае достаточно рассмотреть α∈[-π/2;π/2], так как на этом промежутке непрерывная функция y=sin x возрастает, поэтому каждое свое значение принимает ровно в одной точке.
Слайд 4Непрерывная функция y=cos x убывает на промежутке [0;π], поэтому также каждое
свое значение принимает ровно в одной точке. Вот почему в случае замены x=cos α, достаточно взять α∈[0;π].
Слайд 5В случаях, когда переменная может принимать любые действительные значения, используются замены
x=tg α, α∈(−π/2;π/2) или x=ctg α, α∈(0;π), так как область значения функции y=tg x и y=ctg x на соответствующих промежутках есть множество всех действительных чисел.
Слайд 6Когда выражение зависит от двух переменных x и y, целесообразно положить
x=r sinα, y=r cos α, где r∈R, r≠0. Такая замена законна. Действительно, для любых x и y существует такое r≥0, что x2+y2=r2. При r≠0 имеем
Слайд 7А числа, сумма квадратов которых равна единице, по модулю не превосходят
единицы и их можно рассматривать как синус и косинус некоторого угла. Геометрический смысл такой замены состоит в следующем: для каждой точки (x;y) определяется расстояние r до начала координат и угол α наклона вектора (x;y) к положительному направлению оси абсцисс.
Слайд 9Пример 1. Решить уравнение
Конечно, данный пример можно разрешить, возведя в квадрат,
не забыв про условие. Но тогда получится уравнение шестой степени, которое решается не совсем просто.
Решение задач
Пример 1
Слайд 10Легче сделать так:
Пусть x=cos α, α∈[0;π], тогда
Решение задач
Пример 1
Лишь три корня
удовлетворяют условию 0 ≤ α ≤ π:
Слайд 16Пример 3. Решить уравнение
Поделим все члены уравнения на 2. Уравнение примет
вид
Решение задач
Пример 3
Пример 2
Слайд 17Докажем, что все корни данного уравнения по модулю не превосходят единицы.
Пусть |x|>1, тогда |4x2−3|>1, |x(4x2− 3)|>1. Получили, что при |x|>1 левая часть уравнения по модулю больше единицы, а правая – меньше единицы, что невозможно.
Решение задач
Пример 3
Слайд 20Поскольку кубическое уравнение не может иметь больше трех различных корней, то
мы нашли все решения.
Решение задач
Пример 3
Слайд 21Пример 4. Решить уравнение
Пусть x=t+1, тогда уравнение перепишется в виде
Решение задач
Пример
4
Введем замену
Пример 3
Слайд 22Это уравнение мы уже решали.
Его корни
Решение задач
Пример 4
Два последних значения
меньше нуля, поэтому нам подходит только
Слайд 24Пример 5. При каких а неравенство
имеет решение.
x=y=0 не является решением
неравенства, поэтому поделим обе части неравенства на x2+y2.
Решение задач
Пример 5
Неравенство имеет решение при а большем наименьшего значения выражения
Пример 4
Слайд 26Оценим выражение
Решение задач
Пример 5
Наименьшее значение выражения равно −4,5. Значит, при a>−4,5
неравенство имеет решение.
Ответ: a>−4,5
