МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. презентация

рассуждений - это рассуждение от общего к частному, то есть рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом - частный результат.

Дедуктивный метод рассуждений

фигура - прямоугольник, а у каждого прямоугольника диагонали равны, следовательно, и у данного прямоугольника диагонали равны.

Дедуктивный метод рассуждений

помощи которых получают общие выводы, опираясь на ряд частных утверждений.
Простейшим методом рассуждений такого рода является полная индукция. Вот пример подобного рассуждения.

4≤n≤20 представимо в виде суммы двух простых чисел.

4=2+2;
6=3+3;
8=5+3;
10=7+3;
12=7+5;
14=7+7;
16=11+5;
18=11+7;
20=13+7.

полная индукция.

большого числа частных случаев (так называемая неполная индукция
Результат, полученный неполной индукцией, остаётся, однако, лишь гипотезой, пока он не доказан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи.

Неполная индукция

частные случаи:

1=1=12;
1+3=4=22;
1+3+5=9=32;
1+3+5+7=16=42;
1+3+5+7+9=25=52.
После рассмотрения этих немногих частных случаев напрашивается следующий общий вывод:
1+3+5+...+(2n-1)=n2,
то есть сумма n первых последовательных нечётных чисел равна n2.

цифрами, но в об­ратном порядке, делится на 9. Разность трёхзначного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 99. Возникает предположение о том, что разность четырёхзначного числа и числа, записанного теми же цифрам, но в об­ратном порядке, разделится на 999. Это, однако, неверно, например, 2231-1322= =909, но 909 не делится на 999.

что при n=1, 2, 3, 4 получаются простые числа. Он предположил, что все числа такого вида - простые. Однако Л. Эйлер нашёл, что уже при n=5 это неверно: число 232+1 не является простым - оно делится на 641.

Ошибки в индуктивных рассуждениях  

натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, найдём: P(1)=43, P(2)=47, P(3)=53, P(4)=61, P(5)=71. Все полученные значения данного трёхчлена являются простыми числами. Подставляя вместо x числа 0, -1, -2, -3, -4, получим: P(0)=41,
P(-1)=41, P(-2)=43, P(-3)=47, P(-4)=53. Значения данного трёхчлена при указанных значениях переменной x также являются простыми числами. Возникает гипотеза, что значение трёхчлена P(x) является простым числом при любом целом значении x. Но высказанная гипотеза ошибочна, так как, например, P(41)=412+41+41=41 43.

Ошибки в индуктивных рассуждениях  

n=1 из того, что оно истинно для n=k (где k - любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа n=k+1, то предложение А (n) истинно для любого натурального числа n.

Принцип математической индукции

для всех натуральных чисел n>1, достаточно:
доказать это утверждение для n=1
предположить его справедливость при n=k ≥ 1
доказать, что оно верно при n=k+1

( 2n – 1 ) = n 2 .

 
                        Предположим,
                           что оно справедливо при некотором  k , т.е. имеет место
 
                                                              1 + 3 + 5 + ... + ( 2k – 1 ) = k 2 .
 
                           Докажем, что тогда оно имеет место и при  k + 1 . Рассмотрим
                           соответствующую сумму при  n = k + 1 :
 
                           1 + 3 + 5 + ... + ( 2k – 1 ) + ( 2k + 1 ) = k 2 + ( 2k + 1 ) = ( k  + 1 ) 2 .
 
                           Таким образом, из условия, что это равенство справедливо при
                           n=k  вытекает, что оно справедливо и при  k + 1, значит оно справедливо
                           при любом натуральном  n , что и требовалось доказать.
 

2

2

истинно:
13+23+...+к3= (1+2+...+к)2
Докажем истинность при n=k+1
13+23+...+к3= (1+2+...+к)2