МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД презентация

молекулярной физики УГТУ-УПИ

Екатеринбург 2008

решения задач механики сплошных сред
4. Вязкая среда. Теория подобия
и анализ размерностей

Плоское и цилиндрическое течение Пуазейля.
Лекция 15. Движение среды между двумя вращающимися цилиндрами. Обтекание шара медленным потоком вязкой среды.

2008. Численные методы…Лекция 14

цилиндрическое течение Пуазейля

2008. Численные методы…Лекция 14

движения вязкой среды
Диссипация кинетической энергии
Получение и применение решения уравнения Навье-Стокса на основании правдоподобных интуитивных гипотез Биркгофа
Течение Куэтта
Установление основных закономерностей плоского и цилиндрического течения Пуазейля.

2008. Численные методы…Лекция 14

движение вязкой среды.
8.2. Диссипация кинетической энергии в несжимаемой вязкой среде.
8.3. Точные решения уравнения Навье-Стокса:
8.3.1. Основные затруднения при решении уравнения
Навье – Стокса,
8.3.2. Течение Куэтта.
8.3.3. Плоское течение Пуазейля
8.3.4. Цилиндрическое течение Пуазейля

2008. Численные методы…Лекция 14

движения (импульса единицы массы) - уравнение движения в фундаментальной системе уравнений сохранения (6.9.1), которое содержит производную по координатам от тензора упругих напряжений σik. В случае, если в среде имеют место и неупругие напряжения, описываемые тензором неупругих (вязких) напряжений , то в уравнении движения (6.9.1) вместо тензора σik должен быть подставлен полный тензор напряжений , определяемый согласно (6.11.1). Тогда уравнение движения (6.9.1) принимает форму:
(8.1.1)

Для ньютоновских сред (μ = 0), испытывающих только всестороннее сжатие или растяжение по трем взаимно перпендикулярным направлениям, полный тензор напряжений Σik в изотермических условиях согласно (5.2.5а) и (6.10.4) равен:
(8.1.2)

После вычисления производной ∂Σik/∂xk, подстановки её в (8.1.1) и приведения подобных, уравнение движения для i - ой компоненты скорости индивидуальной частицы принимает вид:
(8.1.3)

коэффициент кинематической вязкости ν = η/ρ, то уравнение движения можно записать в векторной форме:
(8.1.4)

Уравнения (8.1.3) и (8.1.4) называют уравнениями Навье-Стокса для вязкой среды. Для несжимаемой среды divυ = 0 и уравнение Навье-Стокса записывается в виде:
(8.1.5)

Из уравнений (8.1.3) и (8.1.4) видно, что уравнение Навье-Стокса отличается от уравнения Эйлера (7.1.2) дополнительными слагаемыми в правой части, учитывающими вязкость среды.
Замкнутая система уравнений сохранения массы, импульса и внутренней энергии вязкой среды включает также уравнение непрерывности движения (6.3.5) и уравнение сохранения внутренней энергии (6.7.10) с заменой в σik нем на Σik, т.е.
(8.1.6)

Уравнения (8.1.5), (8.1.6) вместе с термическим и калорическим уравнениями состояния и законом Фурье ( ) образуют замкнутую систему уравнений движения вязкой среды. Предполагается, что решение этой системы существует и при заданных начальных и граничных условиях оно единственно.

показано, что вязкая среда “прилипает” к поверхности обтекаемого тела. Силы взаимодействия между поверхностными атомами обтекаемого тела и “прилипающими” к ним молекулами среды оказываются достаточными, чтобы последние двигались непрерывно с поверхностью обтекаемого тела. Поэтому на поверхности тела, обтекаемого вязкой средой, в каждой точке поверхности должны быть равны нулю не только нормальные компоненты скорости среды и тела, но также и касательные компоненты. Следовательно, на поверхности обтекаемого тела в каждой точке в общем случае должно выполняться векторное равенство:
(8.1.7)
Сила, действующая на единицу поверхности тела в направлении i - ой координатной оси, определяется компонентами полного тензора напряжений, т.е.

где nk есть проекция на ось к нормального единичного вектора, внешнего по отношению к телу.
Рассмотрим движение двух несмешивающихся сред. Очевидно, на поверхности раздела этих сред скорости их в каждой точке поверхности раздела должны быть равны υ1 = υ2.
Для любого элемента поверхности раздела двух несмешивающихся сред силы, с которыми среды действуют друг на друга, равны по величине и обратные по направлению согласно третьему закону Ньютона.

со стороны среды 2 на единицу площади в i - ом направлении, равна σi(1) = Σik(1)nk(1), где nk(1) есть проекция внешнего по отношению к среде 1 нормального единичного вектора на ось к. Аналогично сила, действующая на среду 2 со стороны среды 1, равна σi(2) = Σik(2)nk(2), но nk(1) = - nk(2). Тогда третий закон Ньютона можно записать в виде:

На свободной поверхности среды, граничащей с вакуумом, должно выполняться условие

Условие (8.1.7) не имеет места при обтекании тел разреженным газом, когда средняя длина свободного пробега молекул газа сравнима с размерами обтекаемого тела. В этом случае вблизи поверхности можно выделить слой толщиной, равной средней длине свободного пробега газовых частиц, в котором частицы не сталкиваются.
Внутри этого слоя можно выделить две группы частиц. Одна из них с отрицательной нормальной составляющей скорости каждой частицы имеет некоторую среднюю переносную скорость u0 вдоль поверхности. Другая часть частиц, отражённых от границы по закону диффузного (равновероятного) рассеяния - закону косинуса имеет нулевую скорость переноса вдоль поверхности. Усреднённая по обеим группам частиц скорость равна u0/2. Поэтому тангенциальная скорость газа испытывает скачок вблизи поверхности тела, т.е. газ «скользит» вдоль поверхности. При этом на поверхности тела испытывает скачок и температура.

объёмные силы являются потенциальными, т. е. f = −∇εпот. Воспользуемся известной формулой векторного анализа для замены (υ∇)υ в (7.1.1), тогда (8.1.5) можно переписать в виде:


Применяя операцию ротора к обеим частям уравнения и принимая во внимание, что rot∇ ≡ 0, rotυ = 2ω, получим:
(8.1.8)
Это уравнение движения для вихря ω = 1/2rotυ. Если ν = η/ρ = 0, то из (8.1.8) следует уравнение Громека для баротропного движения идеальной среды.
В качестве примера рассмотрим плоский вихрь с компонентами вектора угловой скорости, равными ωx = ωy = 0, ωz = ωz(r,t). Очевидно, частицы среды в любой момент времени двигаются по окружностям с центром на оси вихря с линейной скоростью υφ = υφ(r,t). В п.7.4.3 было показано, что для плоского вихря в среде rotυ = 0. Поэтому второе слагаемое в левой части уравнения (8.1.8) обращается в нуль, и уравнение (8.1.8) имеет место только для z - компоненты вектора ω:
(8.1.9)

В цилиндрической системе координат уравнение (8.1.9) можно записать в виде:

(8.1.10)

уравнение параболического типа описывает некоторый необратимый процесс (первая производная по времени).
Пусть в начальный момент времени вихревое движение было стационарным и поддерживалось некоторым постоянным источником (например, вращением тонкого металлического цилиндра). При этом движение в любой точке, кроме оси вихря, как показано в предыдущем разделе (п. 7.4.3), является потенциальным, т.е. rotυ = 0. Траектории частиц представляют собой окружности с центром на оси вихря. Линейные скорости частиц находятся из определения циркуляции:

Если в начальный момент времени интенсивность (циркуляция скорости) вихревого движения определяется величиной Г0, то в последующие моменты времени решение уравнения (8.1.10) даёт временную зависимость в виде:
(8.1.11)

Правильность решения можно проверить подстановкой (8.1.11) в уравнение (8.1.10).

(r = 0, t > 0) убывает обратно пропорционально времени. В некоторой фиксированной точке пространства (r = a > 0) z - компонента ротора скорости, а следовательно, и интенсивность увеличиваются с течением времени, достигают максимума при t = a2/4ν, а затем уменьшаются до нуля. При t → ∞ интенсивность вихревого движения в любой точке среды стремится к нулю.
Таким образом, в отличие от вихревого движения в идеальной среде, которое сохраняется с течением времени, вихревое движение в вязкой среде с течением времени захватывает все большие области пространства, занятого средой (диффундирует), и затухает с течением времени вследствие диссипации (рассеяния в пространстве) энергии механического движения из-за вязкости среды. В конечном счете, эта энергия механического движения переходит в тепло.
После выключения источника вихревого движения в любой точке вязкой среды rotυ ≠ 0, так как ωz ≥ 0, т.е. движение не потенциально во все последующие моменты движения

счет ее диссипации в пространстве. Рассмотрим некоторый неподвижный в пространстве объем V, заполненный движущейся средой. Кинетическая энергия среды в этом объеме равна

Найдем изменение кинетической энергии среды в этом объеме в единицу времени:
(8.2.1)
Произведем необходимые преобразования под знаком интеграла:
(8.2.2)
Здесь первое слагаемое равно нулю, так как среда предполагается несжимаемой, т.е. ρ = const.
Воспользуемся далее уравнением движения НавьеНавье-Стокса для замены ∂υi/∂t в (8.2.2) и, пренебрегая действием массовых сил (fi = 0), получим:
(8.2.3)

Нетрудно видеть, что слагаемые в правой части (8.2.3), используя условие несжимаемости среды divρυ = 0, можно записать в виде:
(8.2.4)

8.2. Диссипация кинетической энергии в несжимаемой вязкой среде

правой части (8.2.5) может быть преобразован в соответствии с теоремой Гаусса-Остроградского в интеграл по поверхности S, ограничивающей рассматриваемый объём. Нетрудно видеть, что выражение в квадратных скобках уравнения (8.2.5) представляет собой k - ю компоненту вектора плотности потока полной энергии (вектор Умова-Пойтинга) в отсутствие потока тепла (q = 0) и потенциальной энергии (εпот = 0). Полагая, что на бесконечно удаленной поверхности среда покоится (υ = 0), очевидно, что первый интеграл в правой части (8.2.5) равен нулю. Тогда второй интеграл в (8.2.5) определяет изменение кинетической энергии среды в единицу времени в рассматриваемом объёме:
(8.2.6)

Для несжимаемой среды (divυ = 0) тензор вязких напряжений имеет вид:


Поэтому выражение (8.2.6) можно записать в виде:
(8.2.7)

Так как кинетическая энергия вязкой среды вследствие необратимой диссипации из-за вязкости может только уменьшаться с течением времени, то из (8.2.7) следует, что коэффициент вязкости η всегда положителен, т.е. η > 0.

Навье-Стокса (8.1.5) по сравнению с уравнением Эйлера содержит наряду с первыми и вторые производные скорости по координатам. Основная трудность решения уравнения движения вязкой среды заключается не в дополнительных членах, учитывающих вязкие силы, а в нелинейности уравнений, обусловленной слагаемым (υ∇)υ.
В теории движения идеальной среды эту трудность обходили, полагая движение потенциальным, т.е. предполагали rotυ = 0. Если для идеальной среды предположение о потенциальности движения не противоречило механической модели среды, то движение вязкой среды в общем случае не является потенциальным. Можно назвать лишь несколько частных случаев, когда движение вязкой среды потенциально. Так, например, в предыдущем разделе было показано (п. 7.4.3), что движение в любой точке, кроме оси плоского вихря постоянной интенсивности, является потенциальным вне зависимости от модели среды. Поэтому существует очень мало точных решений уравнения Навье-Стокса. Эти точные решения могут быть получены в том случае, когда удается тем или иным способом избавиться от нелинейного слагаемого (υ∇)υ.
В чисто математическом смысле краевые задачи теоретической гидродинамики чрезвычайно трудны. Поэтому становление теории шло бы гораздо медленнее, если бы строгая математика не дополнялась бы различными правдоподобными интуитивными гипотезами.

в теоретической гидродинамике, назвал семь таких гипотез. Рассмотрим только две, которые понадобятся в дальнейшем:
1. При определении физических переменных в задачах можно полагаться на интуицию, которая может быть подкреплена оценкой слагаемых в рассматриваемых уравнениях.
2. Топологию течения, т.е. общее представление о поле течения жидкости, можно определить интуитивно, полагая, в частности, что симметричное воздействие вызывает симметричный эффект.
Конечно, с точки зрения чистой математики такие гипотезы не имеют право на существование в строгой теории. Но, как видно будет далее, они позволяют либо получить решение, либо значительно упрощают решение и приводят к результатам, хорошо согласующимися с опытными данными, что и является конечной целью всякого исследования.
Таким образом, решения, полученные на основании таких гипотез, необходимо проверять экспериментально. В случае адекватности предполагаемого на основании гипотез движения действительному, наблюдаемому в опыте, полученные решения можно считать точными.

плоскостями, находящимися на расстоянии h друг от друга.

Пусть в некоторый момент времени верхняя плоскость (рис. 8.1) начинает двигаться и движется в дальнейшем с постоянной скоростью u, параллельной нижней плоскости. Через некоторое время из-за «прилипания» среды к поверхностям между плоскостями установится некоторое стационарное движение вязкой среды с некоторым распределением скорости вдоль оси у (задача Куэтта).

Определим это установившееся распределение скорости. Так как плоскости в направлении оси неограниченны, то можно рассматривать движение как плоское. Если ускорение силы тяжести направлено вдоль оси y, а расстояние между плоскостями невелико, то можно пренебречь влиянием силы тяжести на движение среды в зазоре. Здесь использована гипотеза 1. Далее интуитивно полагаем, что скорость частиц среды в любой точке зазора направлена только вдоль оси x и зависит только от координаты y в силу бесконечности пластин в направлении x. Здесь использована вторая гипотеза об интуитивном определении топологии течения, основанная на предположении о симметрии эффекта при симметричном воздействии.

y, то и эффект (движение частиц среды) также будет симметричным относительно оси y, т.е. скорости частиц будут направлены только вдоль оси x. Движение жидкости будем полагать изотермическим. Таким образом, в этом случае нет необходимости рассматривать уравнение сохранения внутренней энергии. Необходимо решить уравнения при следующих условиях:
(8.3.1)

Запишем уравнение движения (8.1.5) для компонент скорости движения в декартовой системе координат и уравнение непрерывности в форме:


(8.3.2)




Из системы уравнений (8.3.2) видно, что при заданной топологии движения нелинейное слагаемое (υ∇)υ из уравнений исчезает. Так будет всегда, когда линии тока рассматриваемого движения параллельны.

получим следующие уравнения:
(8.3.3)
Из (8.3.3) видно, что при заданной топологии движения среды уравнение непрерывности удовлетворяется тождественно. Из 2-го и 3-го уравнений системы (8.3.3) заключаем, что давление не зависит ни от y, ни от z, а может быть функцией только x.
Обратимся к первому уравнению системы (8.3.3). Так как справа в уравнении стоит функция только y, а слева - функция только x, то равенство возможно только тогда, когда правая и левая части равны некоторой постоянной величине, не зависящей от координат. Тогда имеем:
(8.3.4)
Здесь снова приходится обращаться к правдоподобной гипотезе о симметрии эффекта. Из (8.3.4) следует, что на бесконечности (при x → ±∞) давление является неограниченным.
Но это трудно понять физически, так как движение среды в любой точке начиналось из одного и того же состояния, не зависящего от координаты x. Поэтому постоянную в уравнении (8.3.4) можно считать равной нулю. В соотношении (8.3.4) P0 есть некоторое постоянное давление, которое можно обозначить как P.

эпюра скоростей частиц среды в зазоре согласно уравнению (8.3.6).
Найдем силы, действующие на единичную площадку на поверхностях. Рассмотрим силу, действующую в направлении оси на единицу площади нижней поверхности.

Переобозначим для краткости записи тензор напряжений
Согласно определению (п. 5.3.1), сила, действующая на единичную площадку в направлении оси i, равна:

Тогда для нахождения распределения скорости в зазоре имеем уравнение:
(8.3.5)
Граничные условия к уравнению (8.3.5) имеют вид:

Используя граничные условия, имеем:
(8.3.6)

Распределение скорости в зазоре

действующая на единицу площади нижней поверхности в направлении оси y, равна:
(8.3.8)

Действие сил на поверхности

Для нижней поверхности нормальный единичный вектор имеет компоненты n = n(0, 1, 0). Следовательно, для силы получим следующее выражение:

Заметим, что здесь использовано условие несжимаемости среды ∂υk/∂xk = 0. Сила, действующая на верхнюю поверхность в направлении оси х с нормальным вектором n = n(0, -1, 0), равна:

(8.3.7)

Рис. 8.3

верхней плоскости в направлении оси действует сила, равная P.
Выделим в зазоре некоторую индивидуальную частицу, имеющую форму квадрата (рис. 8.3), и определим силы, действующие на стороны этого квадрата, вызываемые окружающей средой. Силы, действующие на стороны, перпендикулярны оси y, уже определены выше, и так как они не зависят от y, то будут одинаковы во всех сечениях, перпендикулярных оси y. Силы, действующие на сторону 1-2 n = n(-1, 0, 0) в направлении оси y и x, равны соответственно:


Поэтому имеем:
(8.3.9)
Аналогично можно показать, что силы, действующие на сторону 3-4 индивидуальной частицы (см. рис. 8.3) , вследствие обратного направления нормали соответственно равны и противоположны по знаку найденным выше.
Очевидно, что на сторону 2-3 и 4-1 действуют силы равные и сонаправленные силам, действующим на единичные площадки на нижней и верхней поверхностях соответственно.

частица подвергается сжатию силами давления P и перекосу тангенциальными силами σx(n) и σy(n).
Выше специально подробно рассмотрено нахождение всех сил, действующих на частицу, так как в данном случае лучше воспользоваться формальными определениями, чем полагаться на интуицию.
Полученное точное решение задачи Куэтта может быть использовано для экспериментального определения феноменологического коэффициента динамической вязкости η. Для этого нужно измерить силу, действующую на единицу площади верхней или нижней поверхности. Тогда, измеряя расстояние между плоскостями и воспользовавшись формулой (8.3.7), можно определить коэффициент динамической вязкости.
Однако с точки зрения экспериментальной техники это не самый простой способ измерения коэффициента динамической вязкости среды.

равно h. Пусть между плоскостями изотермически движется вязкая несжимаемая среда под действием постоянного градиента давления, направленного вдоль оси x (рис. 8.4).

Снова будем предполагать, что если ускорение силы тяжести направлено вдоль оси y, то сила тяжести не должна влиять на движение среды в зазоре между плоскостями из-за малости зазора.
Пусть градиент давления создан некоторым внешним источником (насос, компрессор). Предполагаем, что движение плоское, стационарное.

Используя гипотезу 2, можно считать, что скорость частиц среды в зазоре направлена только вдоль оси x и зависит только от y. Таким образом, необходимо решить уравнение Навье-Стокса при тех же условиях (8.3.1), что и в задаче Куэтта. Рассматривая систему уравнений (8.3.2) при сделанных предложениях, получим уравнения:
(8.3.10)

Уравнение непрерывности удовлетворяется тождественно.

не зависит ни от y, ни от z, а может быть функцией только x. Необходимо решить уравнение

Из последнего соотношения следует, что давление P есть линейная функция x, а скорость определяется следующей формулой:

Постоянные a и b могут быть определены из граничных условий:

Таким образом, зависимость скорости υx от y можно записать в следующем виде:
(8.3.11)
Согласно (8.3.11) эпюра скоростей (рис. 8.4) представляется параболой.
Из формулы (8.3.11) легко получить среднюю и максимальную υmax скорости течения среды в зазоре:


(8.3.12)
Знак скорости определяется знаком градиента давления. Если давление уменьшается вдоль оси x, то dP/dx < 0, а υx > 0, т. к. скорость направлена в сторону уменьшения давления.

нижней поверхности в направлении оси x. Так как для y = ±h/2, nx = 0, nz = 0, то
Дифференцируя уравнение (8.3.11), получим:
(8.3.13)

Объемный и массовый расходы жидкости через любое сечение, перпендикулярное оси x (единичной ширины), равны соответственно:
(8.3.14)

,

круглой цилиндрической неограниченно длинной трубе, вызываемое постоянным градиентом давления, который направлен вдоль оси трубы. Для решения естественно воспользоваться цилиндрической системой координат. Уравнение Навье-Стокса, уравнение непрерывности для несжимаемой среды, а также компоненты тензора напряжений в цилиндрической системе координат имеют вид:




(8.3.15)

расположена горизонтально, то сила тяжести не влияет на движение среды в трубе. Естественно направить ось z вдоль оси трубы. Будем также полагать, используя гипотезу 2, что скорости частиц среды в трубе имеют единственную компоненту, направленную вдоль оси трубы и зависящую только от радиуса r. Следовательно, необходимо решить уравнение Навье-Стокса при следующих условиях:
(8.3.16)
При условиях (8.3.16) из уравнений (8.3.15) получим:
(8.3.17)

Из первого и второго уравнения системы (8.3.17) следует, что при заданной топологии течения давление не зависит ни от r, ни от ϕ, а может быть функцией только z. Поскольку υz зависит только от r, то имеем:

После интегрирования получаем:

Поскольку на оси трубы не может быть бесконечной скорости, то постоянную a следует положить равной нулю. Постоянную b найдем из граничных условий:

имеем:
(8.3.18)
Теперь нетрудно вычислить максимальную и среднюю скорости движения среды по трубе:


Направления скоростей определяются направлением градиента давления.
Для объемного и массового расхода среды через любое сечение трубы имеем формулы Пуазейля:
(8.3.19)
Найдем силу, действующую на единицу площади поверхности трубы в направлении оси z.

Используя формулы (8.3.15), имеем:

элемент трубы длиной Δz в направлении оси z. Согласно определения силы сопротивления имеем:


Из последнего соотношения видно, что разность сил давлений Р1 и Р2, действующих на среду в двух любых сечениях трубы S1 и S2, разделенных расстоянием Δz, определяется вязкой силой, действующей на боковую поверхность рассматриваемого элемента объема участка трубы. Очевидно, это следует из закона Ньютона, так как лишь при равенстве сил рассматриваемый элемент объема среды будет находиться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

изменение характеристик вязкой среды:
Уравнение Навье-Стокса для вязкой среды.
Уравнение движения вихря.
Изменение скорости углового вращения вихря в
пространстве и во времени.
Диссипация кинетической энергии в несжимаемой
вязкой среде.
Задача Куэтта для вязкой несжимаемой среды.
Получено решение уравнения Навье-Стокса для плоского и
цилиндрического течения Пуазейля.
Установлены законы распределения скорости потока и найдено её
среднее значение, а также формулы объёмного и массового расхода.

2008. Численные методы…Лекция 14

Гидродинамика. М.: Наука. 2002. 735с.
Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука. 1970. Т.1. 492 с.; Т.2, 568с.
Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. М.: ГИТТЛ. 1950. 814 с.
Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1970. 736 с.

2008. Численные методы…Лекция 14

расчета задач механики сплошных сред. 1. Теория упругости и идеальная среда».
Автор: Породнов Борис Трифонович, д. ф. – м. н., профессор кафедры молекулярной физики УГТУ-УПИ.
Учебно-методический комплекс подготовлен на кафедре МФ ФТФ ГОУ ВПО УГТУ-УПИ.

электронный адрес: porodnov@dpt.ustu.ru