Кодирование чисел презентация

и соответствующие
ему правила действий
над числами

Системы счисления можно разделить на:

и

В главную программу

системах счисления от положения цифры не зависит величина, которую она обозначает.
Примерами непозиционных систем счисления являются:

Египетская система счисления

Римская система счисления

Славянская система счисления

возврат

появились в Древнем Египте и Месопотамии. До нас дошли надписи внутри пирамид, на плитах и обелисках. Эти надписи сделаны в виде картинок - иероглифов. Сохранилось два математических папируса, позводяющих узнать об арифметике древних египтян.
Для записи чисел египтяне использовали иероглифы: •

один -⏐,

десять - ⌠,

тысяча,

сто - ∩ ,

десять миллионов

...,

2

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎜

1

⎜ ⎜

⎜ ⎜ ⎜

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

100

3

4

5

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎜ ⎜ ⎜ ⎜

6

7

8

9

∩

∩ ∩ ∩
∩ ∩

⎜ ⎜ ⎜ ∩ ⎜ ⎜

⌠

10

15

50

Все остальные числа записывались с
помощью этих иероглифов и операции сложе-
ния. Так, что в египетской записи чисел особую
роль играла десятка и ее степени:
10,100,1000 и тд.
Делили и умножали египтяне не так как мы.
Умножение и деление проводилось путем
последовательного удвоения чисел

далее

последовательно удваивали число 94, причем в правом столбике записывали результаты удвоения,а в левом соответствующие степени двойки. (Разумеется, записывали они это по своему, но ниже вычисления показаны в современной записи).

1 94

2 188

8 752

4 376

16 1504

Удвоение продолжалось до тех пор, пока не оказывалось,что из чисел левого столбца
можно составить множитель (в нашем случае 19=1+2+16. Египтяне отмечали соответствующие строки черточками складывали числа из правого столбика

94

+1504

+188

=1786

возврат

чисел. Для записи числа 9 египтяне десять раз повторяли иероглиф для единицы. Этого недостатка лишены алфавитные системы записи чисел:
еврейская, финикийская, грузинская, армянская, славянская.
Славянская алфавитная нумерация напоминала современную позиционную. В ней числа закодированы буквами, а над этими буквами ставится специальный знак -
титло

1=Α

~

~

3=Г

2=В

~

Одной буквой кодировались числа от 1 до 9, затем 10,20,…90 и, наконец, 100,200,…,900
Для больших чисел использовались те же самые буквы с добавленными к ним специальными значками. Например:

10 000=Α

~

возврат

числа записываются комбинациями этих букв.
Например:

XVII -означает 10+10+5+1+1=27

1 - I

5 - V

1 0 - X

5 0-L

100 - C

500- D

1000- M

Если же какие-то буквы нарушают порядок, то их значения вычитаются из значения следующей буквы. Например:

XIX -означает 10+(10-1)=19

Если складывать и вычитать в такой системе можно без особого труда, то умножать очень
сложно, а деление представляет собой непосильную проблему.
Вместе с тем в римской системе счисления есть одна важная идея: вклад буквы в число зависит не только от самой буквы, но и от порядка следования этой буквы в записи числа.
Так, например, буква I дает вклад +1 в числоVI и вклад -1 в число IV. Развитие этой идеи приводит к современным позиционным системам счисления.

возврат

соревновались между собой, но к концу
«докомпьютерной» эпохи особую роль стало играть число десять, а самой популярной системой кодирования чисел оказалась позиционная десятичная система. В этой системе значение цифры в числе зависит от её места(позиции) внутри числа.
Десятичная система пришла из Индии, где она появилась не позднее VI века нашей эры.

В десятичной системе
счисления десять цифр,

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

В десятичной системе счисления информацию несет не только цифра, но и место, на котором она стоит. Особое место в десятичной системе счисления играет число 10 и его степени: 100, 1000, 10000 и т.д. Например число 1995 составляют: 5 единиц, 9 десятков 9 сотен
и одна тысяча:

1995=

5+

9*10

+9*100

+1*1000

Поскольку 1000=10^3, 100=10^2, 10=10^1, 1=10^0 (^ степень числа), можно написать еще и так

1995=

5*10^0+

9*10^1

+9*10^2

+1*10^3

Основание системы счисления

Основание системы счисления

Основание системы счисления

о
с
н
о
в
а
н
и
е

с
и
с
т
е
м
ы

с
ч
и
с
л
е
н
и
я

далее

любое десятичное число можно записать так:

N=an*10^n+an-1*10^(n-1)+an-2*10^(n-2)+…+a1*10^1+a0*10^0

Выбор числа 10 в качестве основания системы счисления объясняется скорее традицией, а не какими- то замечательными свойствами числа 10. Можно рассмотретьи системы счисления с другим основанием р.
Записать число в N в р-чной системе счисления - это значит записать его в виде:

N=an*p^n+an-1*p^(n-1)+an-2*p^(n-2)+…+a1*p^1+a0*p^0

Где каждый из коэффициентов цифр ai может быть 0, 1, 2, 3, р-1, причем старшая цифра
an ненулевая .
Взяв основание равным 2, получаем систему всего с двумя цифрами 0 и 1 и простой таблицей умножения.
0*0=0 0*1=0 1*0=0 1*1 =1
К сожалению в такой системе счисления даже небольшие числа записываются слишком длинно. Например, число 199510=111110010112
(в этой записи внизу после числа указано основание системы счисления)

далее

не инженерами-конструкторами электронных вычислительных машин, а математиками -
философами задолго до появления компьютеров,еще в XVII
веке. Великий немецкий ученый Лейбниц считал:

«Вычисление с помощью двоек …является для науки основным и рождает новые открытия…При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок».

Позже двоичная система была забыта, и только в 1936-1938 годах американский математик и инженер Клод Шеннон нашел замечательные применения двоичной системы счисления при конструировании электронных схем.
Разберемся в двоичной системе на примерах.

далее

из из первых девяти степеней двойки : 20,21,22,…28и поместим в нее цифры нашего двоичного числа

Как узнать,чему равно девятизначное число N=1111101002 в десятичной записи? Составим таблицу из из первых девяти степеней двойки : 20,21,22,…28и поместим в нее цифры нашего двоичного числа

1111100100

2^n

n

1

256

8

7

128

1

6

64

1

5

32

1

4

16

1

3

8

0

2

4

1

1

2

0

0

1

0

Единицы в этой таблице показывают, какие степени двойки нужно сложить,чтобы получить число:

N=

256+

128+

64+

32+

16+

4

возврат