Изгибаемые элементы презентация

6.1.1. Плиты
6.1.2. Балки
6.1.2.1 Железобетонные балки без предварительного 6.1.2.1 Железобетонные балки без предварительного 6.1.2.1 Железобетонные балки без предварительного напряжения
6.1.2.2 Железобетонные балки предварительно 6.1.2.2 Железобетонные балки предварительно 6.1.2.2 Железобетонные балки предварительно напряженные
6.2. Расчет прочности изгибаемых элементов по6.2. Расчет прочности изгибаемых элементов по 6.2. Расчет прочности изгибаемых элементов по нормальным сечениям
6.2.1. Общие сведения о расчете прочности нормальных сечений
6.2.2. Расчет на основе нелинейной деформационной модели
6.2.3. Расчет прочности по предельным усилиям
6.2.4. Расчет элементов прямоугольного профиля
6.2.4.1. Элементы прямоугольного профиля с одиночной арматурой
6.2.4.2. Элементы прямоугольного профиля с двойной арматурой
6.2.5. Расчет элементов таврового сечения
6.3. Расчет прочности элементов по наклонным сечениям
6.3.1. Предпосылки к расчету прочности наклонных сечений
6.3.2. Расчет по наклонной полосе между трещинами
6.3.3. Расчет по наклонной трещине на действие поперечных сил
6.3.4. Расчет по наклонным сечениям на действие изгибающего
момента

6. Изгибаемые элементы

один размер значительно меньше двух других. Плиты в монолитных конструкциях делают толщиной не меньше 40 мм, в основном 50÷100 мм, в сборных – возможно тоньше, в безбалочных перекрытиях 150÷250мм.
Армируют плиты сварными сетками. Сетки укладывают так, чтобы стержни их рабочей арматуры располагались вдоль пролета и воспринимали растягивающие усилия. Границы растянутых зон определяют по эпюрам изгибающих моментов, которые строятся от растянутого волокна.

монолитное; 1 – плиты; 2 – балки.

6.1.1. Плиты

при действии равномерно
распределенной нагрузки
1 – стержни рабочей арматуры; 2 – стержни распределительной арматуры

которой один из размеров (длина) значительно больше двух других.
Высоту балок определяют расчетом. Она обычно составляет 1/10 – 1/12 пролета.
В целях унификации высота балок назначается кратной 50 мм, если она не более 600 мм, и кратной 100 мм при большей высоте.
Поперечное сечение балок и схемы армирования

а – прямоугольное;
б – тавровое;
в – двутавровое;
г – трапециевидное;
1 – продольные стержни; 2 – поперечная арматура; 3 – монтажная арматура

а)

б)

в)

г)

Для снижения расхода бетона и веса конструкции ширину балок назначают наименьшей.
В поперечном сечении балки рабочую арматуру размещают в растянутой зоне сечения в 1 или 2 ряда с такими зазорами, которые допускали бы плотную укладку бетона без пустот и каверн.
Диаметр продольной рабочей и монтажной арматуры принимают не менее 12 мм. Обычно принимаются стержни периодического профиля диаметром 12…32 мм.
Продольную рабочую арматуру назначают из стержней одинакового диаметра или, в крайнем случае, из стержней двух разных диаметров.
При этом стержни большего диаметра размещают в первом ряду, в углах сечения. В стесненных условиях стержни можно располагать попарно без зазоров.
Площадь сечения продольной рабочей арматуры Аs в изгибаемых элементах должна определяться расчетом, но составлять не менее μ=0,1% площади сечения элемента с размерами b×ho.

поперечном сечении балок
al – защитный слой бетона для рабочей арматуры;
aw – то же для поперечной арматуры;
d – наибольший диаметр рабочих стержней;
a1 – расстояние между (при бетонировании)
продольными стернями;
a1I – то же между верхними стержнями;
a2 – расстояние в свету между рядами продольных
стержней.

150 мм и более предусматривают не менее двух продольных (доводимых до опоры) стержней, при ширине менее 150 мм допускается установка одного стержня.
Монтажную арматуру принимают диаметром 8…12 мм. Отдельные плоские каркасы объединяют в пространственные с помощью соединительных стержней, устанавливаемых с шагом ≤600мм.
Под поперечным армированием понимают армирование, когда стержни укладывают перпендикулярно или наклонно к продольной оси элемента.
Различают поперечную рабочую арматуру и конструктивную.
Конструктивная поперечная арматура обеспечивает проектное положение продольной арматуры, улучшает ее совместную работу с бетоном и воспринимает усилия от неравномерной усадки бетона по высоте элемента.
Рабочую поперечную арматуру устанавливают у опор балок по расчету на действие поперечной силы Q.

в которых поперечная сила по расчету не может быть воспринята только бетоном, следует предусматривать установку поперечной арматуры с шагом не более 0,5ho и не более 300 мм.
В сплошных плитах, а также в часторебристых плитах высотой менее 300 мм и в балках (ребрах) высотой менее 150 мм на участке элемента, где поперечная сила по расчету воспринимается только бетоном, поперечную арматуру можно не устанавливать.
В балках и ребрах высотой 150 мм и более, а также в часторебристых плитах высотой 300 мм и более, на участках элемента, где поперечная сила по расчету воспринимается только бетоном, следует предусматривать установку поперечной арматуры с шагом не более 0,75ho и не более 500 мм.

предварительно напряженных конструкций можно использовать стержневую высокопрочную арматуру классов А600, А800, А1000, высокопрочную проволоку и арматурные канаты классов K800, K1200, K1400. По способу производства арматура может быть горячекатанной, термомеханически упрочненной и холоднодеформированной. Требования к механическим свойствам арматуры регламентируются соответствующими стандартами.
Предварительно напряженная арматура также размещается в соответствии с эпюрой изгибающих моментов и поперечных сил, но не входит в состав каркаса (т.е. к ней не приваривается и не привязывается никакая другая арматура). Размещение арматуры в сечении должно обеспечивать возможность использования стандартных анкеров и захватов, а также качественное уплотнение бетона.
Кроме напрягаемой арматуры в балках устанавливают ненапрягаемую (расчетную и конструктивную), располагая её ближе к наружным поверхностям элемента так, чтобы поперечная арматура охватывала всю продольную арматуру.
Расположение напрягаемой арматуры по длине элемента может быть прямолинейным по всей длине или криволинейным на приопорных участках.
В однопролетных балках небольшой высоты при небольших нагрузках и пролетах преднапряженную арматуру располагают в растянутой зоне прямолинейно по всей длине элемента

б – прямолинейной напрягаемой арматурой;
в – криволинейной напрягаемой арматурой.

растянутой зоне поперечного сечения предварительно напряженных балок
а – армирование стержнями периодического профиля; б – армирование пучками или канатами в каналах; в – армирование высокопрочной проволокой;
1 – напрягаемая арматура; 2 – продольная ненапрягаемая арматура;
3 – поперечная арматура;

а)

б)

в)

Р приложено внецентренно (а), то при обжатии балка получает выгиб, и в верхних волокнах появляются растягивающие напряжения, постоянные по всей длине балки (б). От внешней нагрузки в верхней зоне возникают сжимающие напряжения, изменяющиеся по длине балки по квадратичной параболе (в). Суммируя эпюры напряжений (г), видим, что в верхних волокнах балки вблизи опор неизбежны растягивающие напряжения, которые могут вызывать появление трещин. Для погашения этих напряжений в балках большой высоты устанавливают верхнюю напрягаемую арматуру в количестве 15…25% от нижней (д). Равнодействующая усилий напрягаемых арматур ΣPi в этом случае должна находиться в пределах ядра сечения.

пролетах часть напрягаемой арматуры можно отгибать кверху. Чаще это делают при натяжении арматуры на бетон.
Отгиб напрягаемой арматуры дает возможность:
- уменьшить величину поперечной силы за счет вертикальной составляющей усилия натяжения отгиба, что уменьшает главные растягивающие напряжения на приопорных участках балки, уменьшает толщину ребра и сечение поперечной арматуры;
- уменьшить растягивающие напряжения в верхних волокнах бетона при обжатии вблизи опорных сечений, где влияние собственного веса почти не сказывается;
- удобнее разместить анкеры и натяжные приспособления на торцах балки для натяжения арматуры.

Отгибы продольной напрягаемой арматуры на приопорных участках балки

конструирование приопорных участков. Здесь происходит передача значительных усилий обжатия с арматуры на бетон в результате чего возникают мощные местные сжимающие и растягивающие напряжения в торцевой части балки, что приводит к появлению трещин, раскрывающихся на торце и на верхней грани опорной части элемента.
Поэтому концевые участки преднапряженных балок усиливают путем увеличения размеров сечения на опорах, утолщения защитного слоя бетона, а также дополнительной поперечной и продольной арматурой.

6.1.2.2 Железобетонные балки предварительно
напряженные

а – напряженно-деформированное состояние;
б – образование продольных (радиальных) трещин вдоль напрягаемой арматуры без анкеров;
I – траектории главных растягивающих напряжений; II – то же, сжимающих;

Схема работы опорных участков предварительно напряженных балок.

напряженных элементов
1 – напрягаемая арматура; 2 – четыре сетки косвенного армирования;
3 – дополнительные хомуты; 4 – дополнительные сетки

Постановка сеток (2) необходима для предотвращения появления продольных трещин, вследствие передачи усилия предварительного напряжения с арматуры на бетон.
Для восприятия растягивающих напряжений выше анкера устраивают хомуты (3).
С целью ограничения раскрытия вертикальных трещин в верхней зоне концевых участков на длине анкеровки арматуры lp≥2×ho устанавливают дополнительную ненапрягаемую продольную арматуру (4) As=0,002×b×h. В любом случае фактическую длину анкеровки принимают не менее 0,3×lo,an и не менее 15×ds и 200 мм.

работы железобетонного
изгибаемого элемента
I – участок действия M и Q;
II – участок действия Mmax.

изгибаемый элемент с симметричной формой поперечного сечения, загруженный в пролете двумя сосредоточенными силами F.
При действии внешних нагрузок в различных его сечениях возникают два вида внутренних усилий: изгибающие моменты M и поперечные силы Q.
Участок балки в средней части пролета между линиями действия сил F находится в зоне чистого изгиба. Здесь во всех сечениях поперечные силы равны нулю, а изгибающие моменты равны между собой и достигают максимальной величины.
От действия изгибающего момента в самом слабом сечении может произойти разрушение балки по нормальному (перпендикулярному к продольной оси) сечению. В момент разрушения изгибаемый элемент будет находиться в третьей стадии НДС (напряженно-деформированного состояния).
В ныне действующих нормативных документах предлагаются две методики расчета нормальных сечений железобетонных элементов. Основная методика предполагает использование нелинейной деформационной модели. Эта модель связана с большим объемом вычислений и может быть эффективно реализована только при использовании вычислительной техники.

деформационной модели позволяет с высокой степенью точности не только определить несущую способность железобетонного элемента, но и оценить его напряженно-деформированное состояние в целом.
Вторая методика расчета, которая использовалась в нашей стране на протяжении нескольких десятилетий, и потому частo называется традиционной методикой, основана на методе предельных усилий.
Основным достоинством этой методики является простота, основанная преимущественно на использовании эмпирических подходов к расчету прочности. Однако, учитывая всеобщую компьютеризацию расчетов, эта простота утратила свою актуальность.
При использовании любой из этих методик принимают, что на элемент действует изгибающий момент М, вычисляемый при расчетных значениях нагрузок с γf > 1, а в арматуре и бетоне действуют усилия, определяемые при напряжениях, равных расчетным сопротивлениям.

прочности нормальных сечений железобетонных элементов с использованием нелинейной деформационной модели на уровне равновесия внешних сил и внутренних усилий в рассматриваемом сечении, а также на следующих основных положениях:
распределение деформаций бетона и арматуры по высоте сечения элемента
принимают по линейному закону;
связь между осевыми напряжениями и относительными деформациями бетона и
арматуры принимают в виде диаграмм их деформирования “σb-εb” и “σs-εs”.
сопротивление бетона растянутой зоны допускается не учитывать,
принимая при εbi≥0 напряжения σbi=0.
При расчете элемента и данной модели его нормальное сечение по высоте сечения условно разделяют на малые участки конечной толщины.
Напряжения в бетоне в пределах этих малых участков принимают усредненными равномерно распределенными. Начало осей координат располагают в произвольном месте в пределах поперечного сечения элемента.

изгибаемых в плоскости симметрии поперечного сечения элементов используют:
уравнения равновесия внешних сил и внутренних усилий в нормальном сечений элемента

уравнения, определяющие распределение деформаций по сечению элемента

зависимости, связывающие напряжения и относительные деформации бетона и арматуры

принятые следующие обозначения:
M - изгибающий момент, возникающий в рассчитываемом сечении от внешней нагрузки;
Abi, Zbi, εbi, σbi - площадь, координата центра тяжести i-го участка бетона относительно
выбранного центра в точке 0, напряжение на уровне его центра тяжести;
Asj, Zsj, εsj, σsj - площадь, координата центра тяжести j-го стержня арматуры, его относительная
деформация и напряжение в нем;
εo - относительная деформация волокна на уровне выбранного центра осей координат
(точки 0);
1/r - кривизна продольной оси в рассматриваемом поперечном сечении элемента в плоскости
действия изгибающего момента M;
Eb - начальный модуль упругости бетона;
Esj - модуль упругости j-го стержня арматуры;
vbi - коэффициент упругости бетона i-го участка;
vsj - коэффициент упругости j-го стержня арматуры;
εs,max и εb,max - относительные деформации наиболее растянутого ряда арматуры и крайнего
сжатого волокна бетона.

расчета по деформационной модели заключается в определении значений деформаций бетона εb,max и арматуры εs,max в нормальном сечении и сопоставлении их с величинами предельных деформаций сжатого бетона εb,ult и растянутой арматуры εs,ult.
Прочность сечения считается обеспеченной при выполнении условий:

Значения деформаций εb,max и εs,max определяют из решения системы двух уравнений:

Жесткостные характеристики D11, D12 и D22 и определяют по следующим формулам:

по зависимости коэффициентов упругости i-го участка бетона vbi и j-го стержня арматуры vsj привлекают уравнения, определяющие связь между напряжениями и относительными деформациями:

Действующие нормы проектирования в качестве расчетных предлагают использовать упрощенные (двухлинейные или трехлинейные) диаграммы состояния бетона и арматуры.
Однако такое упрощение ведущими учеными, занимающимися проблемами теории расчета железобетонных конструкций, считается нецелесообразным.
Все расчеты прочности железобетонных конструкций на основе нелинейной деформационной модели могут быть практически реализованы только с использованием соответствующих программ на ЭВМ.
Поэтому использование здесь криволинейных диаграмм “σ-ε” не вызывает дополнительных затруднений.

принимаем аналитическую зависимость для описания криволинейной диаграммы с ниспадающей ветвью. Например согласно рекомендациям между-народных норм данная зависимость представлена в виде:

где Rb - расчетное сопротивление бетона;
εbo - относительная деформация бетона при одноосном воздействии,
соответствующая максимальным напряжениям Rb.
В нормах проектирования значение принято равным εbo = 0,002.
Здесь следует заметить, что в специальной литературе, кроме предложенной в Еврокоде зависимости, имеется немало других предложений по аналитическому описанию связи σbi с εbi. В настоящее время общепризнанным является факт, что на точность расчетов железобетонных конструкций в гораздо большей степени влияют значения параметрических точек используемых диаграмм (σb1, Rb, εb1, εbo, εb ), нежели сам вид этих диаграмм.

в расчетах линейных диаграмм σbi=f(εbi) также оправдано и находит подтверждение по результатам сравнения теоретической прочности с экспериментальными данными.
Зависимости для описания трехлинейной диаграммы принимаются в виде:
при 0≤εbi ≤ εb1


при εb1 ≤εbi ≤ εbo




при εbo ≤εbi ≤ εb2


Граничные значения напряжений σb1 и деформаций εb1 участка, на котором бетон работает как квазиупругий материал, назначают равными:



Максимальные значения деформации на границе условно-пластического участка принимают равными εb2=0,0035.

диаграмма состояния сжатого бетона,
б) двухлинейная диаграмма состояния сжатого бетона

когда связь σbi=f(εbi) принимается двухлинейной, используют следующие зависимости:
при 0≤εbi ≤ εb1,red

при εb1,red ≤εbi ≤ εb2

Величину относительной деформации εb1,red соответствующей границе квазиупругой работы бетона, принимают равными εb1,red=0,0015, а соответствующий приведенный модуль упругости вычисляют по формуле:


Приведенные выше параметры диаграмм работы бетона при сжатии относятся к тяжелому бетону класса на прочности на сжатие до B60 включительно при кратко-временном статическом действии нагрузки и нормальных условиях окружающей среды.
Для других случаев производят соответствующие корректировки параметров базовых точек на диаграммах.

расчетной диаграммы состояния (деформирования, арматуры, которая устанавливает связь между напряжениями σsj и относительными деформациями εsj принимают двухлинейную или трехлинейную диаграммы, в зависимости от наличия или отсутствия физической границы текучести, двухлинейную диаграмму (ее часто называют диаграммой Прандтля) описывают следующими зависимостями:
при 0≤εsj≤εso
при εso<εsj≤εs2
Значение максимальной относительной деформации εs2, определяющей границу пластического участка диаграммы, принимают равной εs2=0,025.
Значение относительной деформации εso, определяющей границу упругого участка диаграммы, принимают равной εso = Rs / Es.
Для высокопрочных арматурных сталей лучше подходит трехлинейная диаграмма.
В этом случае используют следующие зависимости:
при 0≤εsj≤εs,el
при εs,el<εsj≤εso

εso<εsj≤ εs2




где η - резерв прочности растянутой арматуры, при η=σsв/σ02;
В пределах от σ02=Rs до σsв=η∙Rs, напряжение σsв определяется умножением расчетного сопротивления Rs на коэффициент условий работы высокопрочной арматуры γsb.
При этом относительные деформации εs,el определяют по формуле:

а относительные деформации:

Предельные значения относительных деформаций εв,ult принимают равными εв2. Предельные значения деформации арматуры εs,ult принимают во всех случаях равным 0,025.

отмечалось, расчет по деформационной модели выполняют с помощью вычислительной техники.
В процессе расчета прочности, чаще всего, при известной нагрузке и геометрических параметрах железобетонного элемента задаются классом бетона по прочности на сжатие и подбирают минимально необходимое количество арматуры, обеспечивающее выполнение необходимых условий.
Эта модель позволяет производить расчет на единой методической основе любых железобетонных элементов с различной формой поперечного сечения, с различным расположением арматуры в сечении, с составными комбинированными и усиленными сечениями, включающими различные виды и классы бетона и арматуры, с учетом предварительных напряжений и начальных деформаций в предварительно напряженных конструкциях, при различном характере внешних воздействий и нагрузок.
В настоящее время рассмотренная модель широко используется в зарубежной нормативной практике и включена в нормативные документы многих стран.

железобетонных элементов любого симметричного профи-ля по нормальным сечениям, согласно первой группе предельных состояний, рассчитывают по III стадии напряженного состояния.

Схема усилий при расчете прочности изгибаемых элементов
по нормальному сечению
1 – нормальные трещины; 2 – расчетное нормальное сечение; 3 – сжатая зона сечения; 4 – растянутая зона сечения; 5 – плоскость изгиба

сжатой зоны криволинейную эпюру напряжений для упрощения заменяют прямоугольной. Таким образом, напряжения в бетоне принимаются одинаковыми во всей сжатой зоне и равными Rb.
Сечение элемента может быть любой формы, симметричной относительно оси, совпадающей с силовой плоскостью изгиба. В растянутой зоне сечения элемента в общем случае имеется арматура без предварительного напряжения с площадью сечения As, с расчетным сопротивлением растяжению Rs и предварительно напряженная арматура площадью Asp со своим расчетным сопротивлением Rs.
Арматура может быть также в сжатой зоне: без предварительного напряжения площадью AsI с расчетным сопротивлением на сжатие Rsc и предварительно напряженная площадью AspI с некоторым напряжением σsc.
Рекомендуется применять изгибаемые элементы при сечениях, удовлетворяющих условию:

Расчетные формулы прочности нормальных сечений любой симметричной формы выводят из двух условий равновесия элемента в предельном состоянии:

равенства нулю суммы проекций всех нормальных усилий на ось
элемента

можно определить площадь сечения бетона Аb сжатой зоны, а по ней и высоту сжатой зоны x (предварительно нужно задать класс бетона, класс и диаметр арматуры).
Прочность элемента достаточна, если внешний расчетный изгибающий момент не превосходит момента внутренних усилий. При моментах, взятых относительно оси, нормальной к плоскости действия изгибающего момента и проходящей через точку приложения равнодействующей усилий во всей растянутой арматуре As и Asp,
условие прочности выражается неравенством:

где Zb - плечо внутренней пары сил (расстояние от центра тяжести сжатой зоны элемента до центра тяжести растянутой арматуры).

формул напряжение σsc в арматуре AspI принимают равными:

Если, однако, рассчитывается изгибаемый элемент при условии χ>ξR∙ho в уравне-ниях принимают γs6=1 и значение σs вместо Rs.
Высота сжатой зоны подсчитывается по формуле:

Значение σs определяют по зависимости:

где - подсчитывают при значении Rs, а σsp берут при коэффициенте точности натяжения арматуры γsp>1.

одиночным армированием
M –расчетный изгибающий момент от внешних нагрузок (из статического расчета);
Nb =Rbbx – равнодействующая сжимающих напряжений в бетоне;
Ns = RsAs – равнодействующая растягивающих напряжений в растянутой арматуре.

6.2.4.1. Элементы прямоугольного профиля
с одиночной арматурой

профиля с одиночной арматурой (без предварительного напряжения) имеют следующие геометрические характеристики:

где h0 и b – рабочие высота и ширина сечения.
Высоту сжатой зоны х определяют на основании равенства, которое в данном случае может быть записано в следующем виде:

Условие прочности имеет вид:

Проверка прочности также осуществляется при помощи уравнения моментов, взятых относительно оси, проходящей через центр тяжести сжатой зоны:

(1)

(2)

(4)

(3)

Формулы (2) и (3) или (4) применяют совместно. Они действительны при χ ≤ ξR∙ho.
Если из (2) окажется, что χ > ξR∙ho, то изгибающий момент вычисляют по формуле (3), принимая

задачи: проверка прочности сечения с заданными b, h, As (материалы предполагаются известными). Проверяют в следующей последовательности:
1) из условия (2) находят высоту сжатой зоны х;
2) проверяют условие χ ≤ ξR∙ho;
3) пользуются выражением (3) или (4).
Сечение считается подобранным удачно, если его несущая способность, выражен-ная по моменту, превышает заданный расчетный момент не более чем на 3 – 5%.
II тип задачи: требуется определить необходимое сечение арматуры As при известных моментах (от внешней нагрузки), геометрических размерах рассчитываемого сечения и материалах.
В этом случае формулы (3) и (4), преобразовав, можно привести к следующему
виду:

(5)

Тогда можно записать

Тогда требуемое количество арматуры

(6)

(10)

(12)

Аналогично преобразуя выражение (4), получим

(7)

(8)

(9)

(11)

Полученные формулы справедливы при

(13)

Величины взаимосвязаны и могут быть представлены в виде таблицы.

могут встретиться случаи применения изгибаемых элементов с двойной арматурой, хотя арматура в сжатой зоне менее эффективна, чем в растянутой. Сжатую арматуру устанавливают в том случае, когда прочность бетона сжатой зоны оказывается недостаточной (χ > ξR∙ho) для восприятия изгибающего момента от внешней нагрузки.
При этом увеличение рабочей высоты сечения ho оказывается нецелесообразным по архитектурным соображениям, а повышение класса бетона по технологическим
и экономическим соображениям. Сжатую арматуру устанавливают также при воздействии на элемент изгибающих моментов двух знаков (неразрезные балки, ригели рам и т.д.) для уменьшения ползучести бетона сжатой зоны или уменьшения эксцентриситета усилия обжатия в предварительно напряженных элементах.
Если в изгибаемом элементе предусматривается продольная арматура в сжатой
(при действии нагрузки) зоне (с Rsc ≤ 400 МПа), учитываемая в расчёте, то для предотвращения выпучивания продольных стержней поперечную арматуру ставят:
в сварных каркасах на расстоянии не более 20d;
в вязаных каркасах – не более 15d и не более 500 мм, где
d – наименьший диаметр сжатых продольных стержней.

для сечения прямоугольного профиля с двойным армированием

двойной арматурой (при отсутствии Asp и AIsp):

6.2.4.2. Элементы прямоугольного профиля
с двойной арматурой

Уравнение для определения положения границы сжатой зоны:

При этом имеется в виду соблюдение условия χ ≤ ξR∙ho.
При подборе сечения с двойной арматурой по заданному моменту, классу бетона и классу стали возможны задачи двух типов.
I тип задачи: Заданы размеры сечения b и h. Определить площадь сечения арматуры As и A`s.
Из условия (14), учитывая выражение (7), при χ = ξR∙ho (предельный случай применения расчетных формул, т.е. прочность сечения по бетону сжатой зоны и по растянутой арматуре одинакова) находим:

(14)

(15)

уравнения (15)

II тип задачи: Заданы размеры сечения b и h и сжатая арматура A`s.
Определить площадь сечения арматуры As.
Из условия (14), учитывая выражение (7) находим:

Если αm≤αR, находим ξ и из равенства (15):

в практике весьма часто как в отдельных железо-бетонных элементах – балках, так и в составе конструкций – в монолитных ребристых и сборных панельных перекрытиях.
Целесообразность таврового (двутаврового) профиля состоит в том, что
такая форма позволяет наиболее экономно распределять материал по сечению. Так как бетон растянутой зоны на несущую способность не влияет, а высота растянутой зоны может составлять до 4/5…9/10 всей высоты сечения, то можно максимально удалить его из растянутой зоны, оставляя лишь узкое ребро, необходимое для связи со сжатой зоной и размещения арматуры.
Полученное таким образом тавровое сечение будет экономичнее прямоугольного той же высоты, т.к. при примерно равной несущей способности на изготовление элемента таврового профиля расходуется значительно меньше бетона и распределен он рациональнее с точки зрения эффективного использования высокой прочности на сжатие и низкой на растяжение – сконцентрирован в сжатой зоне (в полке тавра) и максимально удален из растянутой.
Элементы таврового профиля имеют, как правило, одиночное армирование, поскольку у них обычно сильно развита сжатая зона.

балка с полкой в сжатой зоне;
б – то же, в растянутой зоне;
в – тавровое сечение, выделенное из монолитного ребристого перекрытия;
г – то же, из сборного перекрытия;
д – приведение к тавровому сечению многопустотных и ребристых плит;
1 – полка; 2 – сжатая зона; 3 – ребро.

полки участки свесов, значительно удаленные от ребра, напряжены (сжаты) слабее, чем участки свесов вблизи ребра.
Поэтому нормы ограничивают длину свесов, вводимую в расчет.
Она принимается равной: с ≤ 1/6l (где l - пролет элемента) и .
Кроме того, учитывается отношение :
а) для самостоятельных балок таврового сечения, имеющих консольные свесы полки (тип I) :
- при - , т.е. максимально возможная ширина полки, вводимая в расчет, в этом случае будет ;
при - , т.е. ширина полки будет ;
При - т.е. свесы полки в расчете не учитывают;
б) для тавровых сечений типа II:
- при наличии поперечных ребер или при - , т.е. максимально возможная ширина полки, вводимая в расчет, в этом случае будет ;
- при отсутствии поперечных ребер или при расстояниях между ними больших, чем расстояния между продольными ребрами, и при принимают .

сечения:
а – для случая расположения границы сжатой зоны в пределах полки;
б – то же, в ребре

сечений различают два случая положения нижней границы сжатой зоны: в пределах полки и ниже полки.
Случай I: нижняя граница сжатой зоны располагается в пределах полки (x ≤ hˡf).
Характерен для сечений с широкой полкой. В этом случае тавровое сечение рассчитывают как прямоугольное с размерами bIf и ho, поскольку площадь бетона в растянутой зоне на несущую способность не влияет.
Расчетные формулы (для элементов без предварительного напряжения) также получают из двух уравнений равновесия:

(1)

(2)

(3)

χ > hˡf - нижняя граница полки размещается ниже полки.
В этом случае сжатая зона сечения состоит из сжатой зоны ребра и свесов полки.
Положение нижней границы сжатой зоны определяется из уравнения

Условие прочности при моментах, вычисляемых относительно оси, нормальной плоскости изгиба и проходящей через точку приложения равнодействующей усилий в растянутой арматуре, имеет вид:

Для тавровых сечений должно быть соблюдено условие: χ ≤ ξR∙ho.
Для практических расчетов можно пользоваться следующими рекомендациями. Вначале установить расчетный случай таврового сечения по условию:

(4)

(5)

(6)

Если условие (6) соблюдается – нейтральная ось проходит в полке; при обратном неравенстве она пересекает ребро.

граница сжатой зоны проходит ниже полки, формулы (3) и (4) можно преобразовать с учетом соотношений χ = ξ∙ho и αm = ξ∙(1-0,5∙ξ).

(7)

(8)

(9)

Затем по таблице находим ξ (в зависимости от αm), требуемое количество растянутой арматуры:

(10)

изгибаемого железобетонного элемента.
При совместном действии изгибающих моментов и поперечных сил в железобетонном элементе возникает система наклонных трещин, разделяющих элемент на отдельные блоки, которые связаны между собой продольной арматурой в растянутой зоне, поперечной арматурой и не треснувшей частью бетона над вершиной наклонных трещин в сжатой зоне.
Само разрушение по наклонной трещине может происходить по одной из двух форм:
1 – по наклонному сечению от действия поперечной силы;
2 – по наклонному сечению от доминирующего действия изгибающего момента.
При разрушении по первой форме имеем преимущественные деформации сдвига. При этом текут хомуты и дробится бетон над трещиной.
Такой характер разрушения наблюдается при сильной хорошо заанкеренной продольной арматуре.

изгибаемого
элемента по наклонному сечению
от действия поперечной силы.
1 – хомуты;
2 – наклонная трещина.

Схема разрушения изгибаемого элемента по наклонному сечению
от доминирующего действия изгибающего момента
1 – хомуты; 2 – наклонная трещина.

деформации поворота. В этом случае текут хомуты и одновременно наблюдается текучесть или нарушение анкеровки продольной арматуры. Такое разрушение наблюдается при ослаблении продольной арматуры в пролете в результате ее обрывов или ослабления анкеровки этой арматуры на опорах.
Помимо разрушения железобетонного элемента по наклонной трещине может произойти раздробление бетона в блоках между наклонными трещинами.
Этот вид разрушения наблюдается при сильной поперечной арматуре и слабой тонкой стенке. в тавровых и двутавровых элементах.

Схема разрушения изгибаемого элемента по сжатой полосе между наклонными трещинами

6.3.1. Предпосылки к расчету прочности
наклонных сечений

наклонных трещин в стенке балки выделяются наклонные бетонные полосы, расположенных между трещинами.
Бетонные полосы испытывают воздействие сжимающих сил, направленных вдоль бетонной полосы, и растягивающих сил от поперечной арматуры, пересекающей наклонные полосы, а также касательных сил, которые действуют по берегам наклонных трещин и по границам верхнего и нижнего поясов элемента.
Таким образом, выделенная полоса находится в сложном напряженном состоянии и теоретическое определение действующих на нее усилий затруднительно. Поэтому прочность наклонных сжатых полос рассчитывают по эмпирическим зависимостям.
Установлено, что предельная поперечная сила, воспринимаемая элементом перед разрушением бетона стенки, пропорциональна ширине стенки b и рабочей высоте элемента ho. Так как бетон разрушается в основном от сжатия, в расчетную зависимость вводится Rb.

состояния элемента

для тяжелого бетона;
- для легкого бетона.

МГТУ им. Г.И. Носова

6.3.2. Расчет по наклонной полосе
между трещинами

Поскольку бетон в наклонных полосах испытывает одновременно и сжатие, и растяжение, то есть находится в условиях плоского напряженного состояния, а прочность на растяжение всегда отстает от прочности на сжатие с увеличением класса бетона, то несущая способность возрастает непропорционально прочности бетона на сжатие, а несколько слабее.
Это обстоятельство учитывается введением коэффициента φb1:

Коэффициент φω1 учитывает, что на несущую способность наклонной сжатой полосы существенно влияет арматура, пересекающая бетонную полосу:

- коэффициент поперечного армирования.

сил

Предпосылки к расчету прочности
В общем случае в рассматриваемом наклонном сечении действуют:
продольная и поперечная составляющая усилий в бетоне сжатой зоны (над
наклонной трещиной) Nb и Qb;
усилие в поперечной арматуре (хомутах) Qw, которую пересекает
наклонная трещина;
продольная и поперечная составляющая усилий в продольной
арматуре Ns и Qs;
усилие зацепления по берегам наклонной трещины Tz.
Расчет выполняем по методу предельного равновесия в соответствии с расчетной схемой.
Общий принцип такого расчета состоит в том, что рассматривается равновесие всех внешних и внутренних усилий на отсеченном блоке:

сил

Расчетная схема
изгибаемого элемента

Схема внутренних усилий,
возникающих в
наклонном сечении

сил

Традиционный расчет должен производиться из совместного решения трех уравнений равновесия. Но решение этой системы в общем виде встречает большие трудности и приемлемого решения пока не найдено.
Для практических инженерных расчетов используются приближенные методы. Согласно указаниям действующих норм из этой системы рассматривается лишь два уравнения, причем независимо друг от друга:


Первое уравнение ΣQ = 0 соответствует той форме разрушения, когда раздроб-ляется бетон над трещиной, и текут хомуты.
Второе уравнение ΣM = 0 – когда текут хомуты и одновременно растянутая арматура достигает предела текучести.
Соответственно эти два случая рассматриваются как расчет по наклонным сечениям на действие поперечных сил и расчет по наклонным сечениям на действие изгибающих моментов.

сил

При расчете на действие поперечной силы вводится еще одно упрощение. Условие прочности здесь имеет вид:


В общем случае поперечная сила Qsb в наклонном сечении проходящем через наклонную трещину представляет собой сумму:


Так как удовлетворительных методов для нахождения каждой из этих составляющих пока не найдено, в инженерных расчетах выделяются две компоненты поперечной силы Qsb и условие прочности имеет вид:

где - интегральная величина, эмпирическое выражение для нахождения которой определялось по результатам опытов для балок без хомутов.

сил

Поперечная сила в наклонном сечении от внешней нагрузки.
В данном расчете рассматривается система внешних и внутренних сил, приложенных к блоку железобетонного элемента, отделенному наклонным сечением.
Поэтому и поперечная сила Q в наклонном сечении находится как равнодействующая всех поперечных сил от внешней нагрузки приложенная к рассматриваемому блоку.

Отсюда видно, что нагрузка, приложенная в пределах блока, отделенного наклонным сечением, уменьшает поперечную силу в наклонном сечении по сравнению с поперечной силой на опоре.
При наличии временной нагрузки следует рассматривать наиболее невыгодный вариант с точки зрения загружения участка элемента, отсекаемого наклонной трещиной.
Наиболее осторожное и простое решение состоит в том, что поперечная сила на опоре вычисляется от полной нагрузки, а при определении поперечной силы в наклонном сечении разгружающее влияние временной нагрузки не учитывается, т. е. Q=Qmax

сил

Поперечная сила Q в наклонном сечении

сил

Тем не менее при расчете междуэтажных перекрытий чаще имеют дело с эквивалентной равномерной нагрузкой, когда предполагают, что фактическая временная нагрузка может иметь произвольный характер, а эпюра изгибающих моментов М от такой нагрузки нигде не превосходит эпюру М от принятой нагрузки ν.
При этом временная нагрузка может отсутствовать в пределах приопорного участка длиной с и тогда учет разгружающего влияния неправомерен.
Однако в этом случае Qmax снижается.

Расчетная схема для определения эквивалентной нагрузки

сил

Определим, как снизится Qmax при самом неблагоприятном случае, т. е. когда временная нагрузка отсутствует по всей длине с, но изгибающие моменты в конце наклонного сечения от фактической и эквивалентной временных нагрузок взаимно равны:

Отсюда видим, что минимальное уменьшение Qmax соответствует учету разгружающего влияния половины временной эквивалентной нагрузки ν.
Очевидно, что разгружающее действие постоянной нагрузки g следует учитывать всегда. Таким образом, при расчете элементов на действие эквивалентной равномерно распределенной нагрузки значение q следует принимать q=g+v/2.

сил

Поперечная сила, воспринимаемая бетоном
Установлено, что Qb находится в прямой зависимости от прочности бетона на растяжение Rbt, ширины сечения b и рабочей высоты ho.

Установлено также, что поперечная сила Qb существенно зависит от так называе-мого относительного пролета среза c/ho, зависимость обратно пропорциональная, т. е. с увеличением c/ho происходит резкое падение поперечной силы Qb.
Таким образом:

где (для тяжелого бетона).
При слишком малых или слишком больших значениях относительного пролета среза поперечная сила практически не зависит от c/ho и сохраняет близкие к постоянным значения:
(при слишком малых пролетах),
(при больших пролетах).
Применяется для тяжелого бетона .

сил

Таким образом, во всех случаях должно выполняться условие:

Эксперименты показали, что наличие полки, расположенной в сжатой зоне элементов таврового и двутаврового сечений, существенно увеличивает прочность элемента по наклонному сечению.
Для учета сжатой полки в расчетную зависимость вводится специальный коэффициент φf, связанный с геометрическими размерами полки.
Сжатая полка эффективно включается в работу на действие поперечных сил только в том случае, если она связана с ребром поперечной арматурой, надежно заанкеренной в полке, и сама армирована поперечной арматурой.
Опыты показали, что продольные силы – сжимающие и растягивающие – также существенно влияют на прочность железобетонных элементов при действии поперечных сил, причем сжимающие влияют положительно, т. е. увеличивают прочность наклонных сечений, а растягивающие – отрицательно, уменьшая прочность.

сил

Влияние продольных сил учитывается коэффициентом φn, полученным из анализа экспериментальных данных. Для сжимающих сил:

Из осторожности коэффициенты φf и φn в расчетах принимают не более 0,5.
Таким образом, при наличии сжатых полок и продольных сил (например, в тавровых предварительно напряженных элементах) поперечная сила Qb определяется по формуле:

При этом суммарный поправочный коэффициент, учитывающий влияние сжатых полок и продольных сжимающих сил φf+φn также из осторожности принимается не более 0,5, т. е. повышение несущей способности элемента учитывается не более чем в 1,5 раза.

сил

Поперечная сила, воспринимаемая поперечной арматурой
Железобетонный элемент по наклонной трещине разрушается в целом при достижении в поперечной арматуре, пресекающей наклонную трещину, сопротивления арматуры растяжению Rs. Тем не менее, при вычислении общей поперечной силы Qw, воспринимаемой поперечной арматурой в наклонной трещине, следует считаться с неодинаковым растяжением поперечной арматуры по длине наклонной трещины и с неопределенностью нахождения концов наклонной трещины относительно дискретно расположенных по длине элемента стержней поперечной арматуры. Эти обстоятельства учитываются принятием пониженного расчетного сопротивления для поперечной арматуры Rsw.
В результате поперечная сила Qsw определяется как суммарная величина усилий в отдельных стержнях поперечной арматуры с расчетными сопротивлениями Rsw по некоторой расчетной длине co проекции наклонной трещины на продольную ось элемента.
Для поперечных стержней, нормальных к продольной оси элемента, усилие Qsw вычисляется по формуле:

сил

Усилия в поперечных стержнях

сил

Если поперечные стержни на некотором участке элемента располагаются равномерно (с одинаковым шагом и одинаковым диаметром), то их можно рассматривать как поперечную арматуру, непрерывно распределенную по длине элемента, и усилие Qsw находится по формуле:

Важнейшим элементом расчета являются:
1) Определение длины co проекции наклонной трещины на продольную ось элемента, на которой учитывается усилие в поперечной арматуре;
2) Определение пролета среза с (расстояния от вершины трещины до опоры).

- погонное усилие в хомутах

сил

Расчетная длина проекции наклонной трещины

Проекция наклонной трещины на продольную ось элемента

сил

Из практики известно, что

Условие прочности наклонного сечения

Предположим, что длина проекции наклонной трещины co совпадает с пролетом среза c.
Рассмотрим, как изменяется несущая способность элемента по наклонному сечению, т. е. суммарная величина Qb+Qw, с изменением c.
При увеличении длины c поперечная сила Qb уменьшается (Qb=Mb/c), а поперечная сила Qw увеличивается (Qw=qsw∙co).
При определенной величине c=co, Qb=Qw, т. е.

Эта длина соответствует минимуму несущей способности (определенному теоретически), т. е. min (Qb+Qw).

сил

Зависимость несущей способности
элемента по наклонному
сечению от пролета среза

поперечных сил

Таким образом, получается, что при длине cco увеличивается.
Однако это противоречит опытам, из которых следует, что с ростом длины несущая способность элемента с поперечной арматурой постоянно уменьшается. Чтобы снять это противоречие, в расчетах принимают длину наклонной трещины co, на которой учитываются усилия Qw, постоянной.

сил

В результате, после того как длина c перешла граничное значение co, с ростом c поперечная сила Qb продолжает уменьшаться, а поперечная сила Qw остается постоянной, и в целом суммарная сила Qb+Qw также снижается.
При этом поперечная сила от внешней нагрузки:

Следовательно, необходимо проверять выполнение условия

во всем возможном диапазоне изменения c.
Основываясь на опытных данных, при решении задачи в общем виде, рекомендует-ся проверять значения c в интервале от c=ho до c=3∙ho и от co=ho до co=2∙ho.

сил

Минимальное поперечное армирование
При небольшом количестве поперечной арматуры существует опасность, что после образования наклонной трещины поперечные усилия, воспринимаемые до этого бетоном, не смогут быть восприняты поперечной арматурой и произойдет внезапное хрупкое разрушение элемента. Особенно это опасно при больших пролетах среза.
Для того чтобы этого избежать, поперечную арматуру следует устанавливать в количестве не менее некоторого минимального предела, при котором она может полностью воспринять поперечную силу, воспринимаемую в этом случае бетоном.
При больших пролетах среза поперечная сила, воспринимаемая бетоном, определяется по формуле:

А поперечная сила, воспринимаемая поперечной арматурой Qw при максимальной величине проекции наклонной трещины:

сил

Схема образования наклонных трещин при небольшом
количестве поперечной арматуры.
1 – поперечные усилия могут быть восприняты арматурой;
2 – поперечные усилия не могут быть восприняты арматурой.

сил

Из равенства

получим условие для минимального количества поперечной арматуры:

Кроме того, при большом шаге поперечной арматуры может произойти разрушение по наклонной трещине, располагающейся между поперечными стержнями.
Во избежание этого максимальное расстояние между поперечными стержнями Smax должно устанавливаться так, чтобы была обеспечена прочность по наклонному сечению без поперечной арматуры, принимая длину c, равной расстоянию между поперечными стержнями.
Из условия:

при c = Smax, имеем:

сил

Слишком большое увеличение шага поперечных стержней приводит к завышению величины поперечной силы, воспринимаемой поперечной арматурой в пределах расчетной длины проекции наклонной трещины, которая может и
не компенсироваться уменьшением расчетного сопротивления хомутов
( Rsw вместо Rs).
Поэтому устанавливают дополнительные конструктивные требования к максимальному шагу хомутов в зависимости от высоты сечения элемента
(s ≤ h/2, s ≤ 300 мм).

момента

Этот расчет производится из условия

где М – момент от внешней нагрузки, действующий в рассматриваемом
наклонном сечении;
Мsu – внутренний момент, воспринимаемый арматурой в наклонном сечении.
Моменты M и Msu определяются относительно точки приложения равнодействую-щей усилий в сжатой зоне наклонного сечения.
Момент Msu определяется как суммарная величина моментов, воспринимаемых продольной арматурой и поперечной арматурой:

где zs – расстояние от усилия в продольной арматуре до равнодействующей усилий в сжатой зоне.
Для прямоугольного сечения:

момента

Расчетная схема усилий в наклонном сечении

момента

Или, рассматривая поперечную арматуру, как непрерывно распределенную по длине наклонной трещины с интенсивностью qsw:

Проверку прочности наклонного сечения на действие изгибающего момента можно не производить, если соблюдаются следующие конструктивные требования:
Напряжения сжатия бетона на опоре должны быть в пределах допустимой величины:

где Rb – расчетное сопротивление бетона осевому сжатию;
Asup – площадь сечения на опоре;

момента

Анкеровка продольной арматуры на свободной опоре должна быть достаточна:

где d – диаметр продольной арматуры;

при

при

Анкеровка арматуры, обрываемой в пролете должна быть достаточна:

На следующим слайде приведен пример обрыва пролетной арматуры, сопровождаемой построением эпюры материалов (на эпюре М) и эпюры поперечных сил Q.

момента

Анкеровка продольной арматуры
на эпюре материалов
I – I - сечение в месте
теоретического обрыва
стержней арматуры;
II – II - сечение в месте их
фактического обрыва;
III – III - наклонное сечение;

1 – эпюра расчетных моментов от нагрузки;
2 – эпюра моментов, воспринимаемых нормальными сечениями элемента
(эпюра материалов).