ИННОВАЦИОННАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА презентация

Содержание

Компьютерное моделирование процессов массопереноса в реакторных материалах ЛЕКЦИЯ 2 «Основные математические операции в компьютерном моделировании (КМ) и вычислительных методах физики (ВМФ)» Лектор: Купряжкин Анатолий Яковлевич Авторы курса: А.Я. Купряжкин, К.А. Некрасов

Слайд 1УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ - УПИ
ИННОВАЦИОННАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА


Слайд 2Компьютерное моделирование процессов массопереноса в реакторных материалах
ЛЕКЦИЯ 2
«Основные математические операции в

компьютерном моделировании (КМ) и вычислительных методах физики (ВМФ)»

Лектор: Купряжкин Анатолий Яковлевич
Авторы курса: А.Я. Купряжкин, К.А. Некрасов


Слайд 3Цель лекции:
Знакомство с методами численного дифференцирования, интегрирования, нахождения корней уравнения.


Слайд 4Основные математические операции в КМ и ВМФ:
ПЛАН ЛЕКЦИИ:
Численное дифференцирование.
Численное интегрирование.
Нахождение корней

уравнения:

Метод шагового поиска.
Метод Ньютона – Рафсона.
Метод секущих


Слайд 5Численное дифференцирование
Задача ЧД формулируется следующим образом: рассчитать приближенное значение

, используя известные значения (см. рис.).







Слайд 6Разложим функцию f (x) в ряд Тейлора вблизи x=0
Тогда


Численное дифференцирование


Слайд 7 Будем считать, что функция f и все ее производные

являются величинами одного порядка. Вычитая из , получим


В этом соотношении первый член дает конечно-разностную аппроксимацию искомой производной. Пренебрегая вторым и последним членами, получим приближенную формулу, называемую «3-х точечной» формулой




Численное дифференцирование


Слайд 8Это выражение дает точное значение производной в случае, когда f на

интервале [-h;h] является полиномом второй степени, то есть все производные высших степеней равны нулю.
Последняя формула дает более точное значение производной, чем формулы, использующие обычное приближение Эйлера, в основе которых лежит предположение о линейной аппроксимации функции на интервале между x=0 и .




Численное дифференцирование


Слайд 9Численное интегрирование
Для вычисления значения определенного интеграла на отрезке

от a до b (см. рис. ЧД ) определяют равномерную сетку с шагом h, так чтобы было целым четным числом.
Получив формулу вычисления интеграла на интервале длиной 2h в пределах от –h до +h, можно использовать ее для вычисления определенного интеграла на всем отрезке от а до b



Слайд 10Основная идея методов численного интегрирования заключается в приближенной замене функции f

между –h и +h некоторой другой функцией, которая может быть точно проинтегрирована на этом отрезке.


Численное интегрирование


Слайд 11Простейшее приближение (выполнить самостоятельно)
Заключается в разбиении отрезка [–h;h] на два

участка [–h;0] и [0; h] и принятии для этих участков линейной аппроксимации. В этом случае мы получим формулу метода трапеций.



Слайд 12Более точное приближение
можно получить, если использовать разложение f в ряд

Тейлора и подставить выражение для первой и второй производных (выполнить самостоятельно)



Слайд 13Последнее выражение называется формулой СИМПСОНА. Ее точность на два порядка выше

точности формулы трапеций. Кроме того, ошибка интегрирования по формуле Симпсона меньше той, которую следовало бы ожидать от разложения Тейлора.
Формулы более высокого порядка можно получать, оставляя больше членов в разложении f, используемом для интерполяции f между узлами сетки.
Поскольку в квадратурные формулы при ЧИ все значения f входят с одинаковым знаком, в отличие от численного дифференцирования численное интегрирование устойчиво, результат стремится к определенному пределу по мере роста N и уменьшения шага сетки h.

Формула Симпсона


Слайд 14Анализ особенностей исходного интеграла в методах ЧИ:
Верхний предел интегрирования очень большой.
Подынтегральные

функции имеют интегрируемые расходимости.
Учет наличия у функции интегрируемой особенности.

Слайд 15Верхний предел интегрирования очень большой.
Рассмотрим интеграл

, в котором с ростом x функция стремится к константе.
Для случая когда вычисление интеграла по формуле Симпсона дает очень медленную сходимость. Если сделать замену переменной , интеграл принимает вид и легко вычисляется.







Слайд 16Подынтегральные функции имеют интегрируемые расходимости.
В интеграле

имеется
особенность в точке x=1 (g – непрерывная функция). Правильный результат можно получить после замены переменной . Тогда





Слайд 17Учет наличия у функции интегрируемой особенности.
Если такая особенность имеется вблизи

одной из границ интервала (например, 0), то вычисляемый интеграл целесообразно разбить на две части


Пусть f (x) спадает вблизи нуля как (c– константа), на интервале от h до 1 расходимостей не имеет. Тогда интеграл на этом отрезке может быть легко вычислен, а вклад интеграла от 0 до h приближенно можно учесть членом .





Слайд 18Нахождение корней уравнения Метод шагового поиска
Метод шагового поиска является одним

из возможных способов нахождения корня уравнения f (x)=0 , когда его величина приблизительно известна .
Алгоритм поиска заключается в следующем.



Слайд 19Метод шагового поиска Алгоритм поиска
Выбирается начальное пробное значение x, меньшее

корня. Затем, увеличивая это значение, необходимо провести расчеты f (x), проверяя каждый раз значение f (x) в новой точке. Когда f (x) меняет знак, происходит возврат назад на один шаг, после чего величина шага уменьшается в два раза, и процесс повторяется. Когда длина шага становится меньше погрешности, с которой необходимо определить положение корня, вычисления прекращаются. Число итераций, необходимых для нахождения корня, определяется задаваемой погрешностью.
Если исходный шаг выбран слишком большим, можно пропустить исходный корень.

Слайд 20Нахождение корней уравнения Метод Ньютона – Рафсона
Метод может быть реализован

в случае, когда для произвольной точки x возможно вычисление как функции f (x) , так и ее производной, и можно предположить, что вблизи корня функция f (x) ведет себя как линейная.

Слайд 21 Последовательность может быть рассчитана, исходя из определения производной

в точке (см. рис.).







Слайд 22Основным неудобством в методе является необходимость вычисления производной

. Этого неудобства можно избежать в методе секущих.


Вывод по методу Ньютона – Рафсона


Слайд 23Нахождение корней уравнения Метод секущих
Метод секущих заключается в замене производной,

рассчитываемой по формуле метода Ньютона – Рафсона выражением


В результате последовательность может быть рассчитана по формуле (см. рис.).




Слайд 24Выводы по методу секущих
Если исходные точки выбраны достаточно близко к искомому

корню, то скорость сходимости метода секущих приближается к скорости метода Ньютона – Рафсона.
Если вблизи значения функция имеет точку перегиба или несколько близких корней, сходимость в указанных методах может отсутствовать. Более надежная процедура заключается в том, что вначале используется алгоритм шагового нахождения для приближенного определения и лишь затем переходят к одному из «автоматических» алгоритмов (Ньютона – Рафсона или секущих).




Слайд 25Основные выводы по лекции
Таким образом изложенные численные методы позволяют с заданной

точностью численное дифференцирование, интегрирование и нахождение корней уравнений f (x)=0.
Необходимым условием получения правильного результата является анализ особенностей поставленных задач и выбор соответствующего численного метода.

Слайд 26Список литературы к лекции 2
Гулд Х. Компьютерное моделирование в физике / Х. Гулд,

Я. Тобочник. ч. 1, М.: Мир, 1990. 349 с.
Кунин С.Е. Вычислительная физика / С.Е. Кунин М.: Мир, 1992. 518 с.

Слайд 27Спасибо за внимание!


Слайд 28Вопросы?


Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика