ИННОВАЦИОННАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА презентация

компьютерном моделировании (КМ) и вычислительных методах физики (ВМФ)»

Лектор: Купряжкин Анатолий Яковлевич
Авторы курса: А.Я. Купряжкин, К.А. Некрасов

уравнения:

Метод шагового поиска.
Метод Ньютона – Рафсона.
Метод секущих

, используя известные значения (см. рис.).

являются величинами одного порядка. Вычитая из , получим


В этом соотношении первый член дает конечно-разностную аппроксимацию искомой производной. Пренебрегая вторым и последним членами, получим приближенную формулу, называемую «3-х точечной» формулой

Численное дифференцирование

интервале [-h;h] является полиномом второй степени, то есть все производные высших степеней равны нулю.
Последняя формула дает более точное значение производной, чем формулы, использующие обычное приближение Эйлера, в основе которых лежит предположение о линейной аппроксимации функции на интервале между x=0 и .

Численное дифференцирование

от a до b (см. рис. ЧД ) определяют равномерную сетку с шагом h, так чтобы было целым четным числом.
Получив формулу вычисления интеграла на интервале длиной 2h в пределах от –h до +h, можно использовать ее для вычисления определенного интеграла на всем отрезке от а до b

между –h и +h некоторой другой функцией, которая может быть точно проинтегрирована на этом отрезке.

Численное интегрирование

участка [–h;0] и [0; h] и принятии для этих участков линейной аппроксимации. В этом случае мы получим формулу метода трапеций.

Тейлора и подставить выражение для первой и второй производных (выполнить самостоятельно)

точности формулы трапеций. Кроме того, ошибка интегрирования по формуле Симпсона меньше той, которую следовало бы ожидать от разложения Тейлора.
Формулы более высокого порядка можно получать, оставляя больше членов в разложении f, используемом для интерполяции f между узлами сетки.
Поскольку в квадратурные формулы при ЧИ все значения f входят с одинаковым знаком, в отличие от численного дифференцирования численное интегрирование устойчиво, результат стремится к определенному пределу по мере роста N и уменьшения шага сетки h.

Формула Симпсона

функции имеют интегрируемые расходимости.
Учет наличия у функции интегрируемой особенности.

, в котором с ростом x функция стремится к константе.
Для случая когда вычисление интеграла по формуле Симпсона дает очень медленную сходимость. Если сделать замену переменной , интеграл принимает вид и легко вычисляется.

имеется
особенность в точке x=1 (g – непрерывная функция). Правильный результат можно получить после замены переменной . Тогда

одной из границ интервала (например, 0), то вычисляемый интеграл целесообразно разбить на две части


Пусть f (x) спадает вблизи нуля как (c– константа), на интервале от h до 1 расходимостей не имеет. Тогда интеграл на этом отрезке может быть легко вычислен, а вклад интеграла от 0 до h приближенно можно учесть членом .

из возможных способов нахождения корня уравнения f (x)=0 , когда его величина приблизительно известна .
Алгоритм поиска заключается в следующем.

корня. Затем, увеличивая это значение, необходимо провести расчеты f (x), проверяя каждый раз значение f (x) в новой точке. Когда f (x) меняет знак, происходит возврат назад на один шаг, после чего величина шага уменьшается в два раза, и процесс повторяется. Когда длина шага становится меньше погрешности, с которой необходимо определить положение корня, вычисления прекращаются. Число итераций, необходимых для нахождения корня, определяется задаваемой погрешностью.
Если исходный шаг выбран слишком большим, можно пропустить исходный корень.

в случае, когда для произвольной точки x возможно вычисление как функции f (x) , так и ее производной, и можно предположить, что вблизи корня функция f (x) ведет себя как линейная.

в точке (см. рис.).

. Этого неудобства можно избежать в методе секущих.

Вывод по методу Ньютона – Рафсона

рассчитываемой по формуле метода Ньютона – Рафсона выражением

В результате последовательность может быть рассчитана по формуле (см. рис.).

корню, то скорость сходимости метода секущих приближается к скорости метода Ньютона – Рафсона.
Если вблизи значения функция имеет точку перегиба или несколько близких корней, сходимость в указанных методах может отсутствовать. Более надежная процедура заключается в том, что вначале используется алгоритм шагового нахождения для приближенного определения и лишь затем переходят к одному из «автоматических» алгоритмов (Ньютона – Рафсона или секущих).

точностью численное дифференцирование, интегрирование и нахождение корней уравнений f (x)=0.
Необходимым условием получения правильного результата является анализ особенностей поставленных задач и выбор соответствующего численного метода.

Я. Тобочник. ч. 1, М.: Мир, 1990. 349 с.
Кунин С.Е. Вычислительная физика / С.Е. Кунин М.: Мир, 1992. 518 с.