Подземная гидромеханика (ПГМ) Лектор: к.ф.-м.н., доцент Квеско Б.Б. презентация

Теория осреднения

Теория подобия

Гомогенные

Гетерогенные

Составляющие (компо-ненты) “размазаны” по пространству и взаимодействуют на молекулярном уровне. Изменение физических и химических свойств непрерывно.

ux

Составляющие(фазы) – разделены отчетливыми геометрическими границами и взаимодействуют на поверхностях раздела. Изменение физических и химических свойств разрывно.

Анизотропия - различные изменения по отдельным направлениям.
Упорядочные структуры - анизотропны по поверхностным параметрам.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ

Эффективный диаметр –
такой диаметр шаров, образующих эквивалентный фиктивный грунт, при котором гидравлическое сопротивление, оказыва-емое фильтрующейся жид-кости в реальном и эквивалентном грунте, одинаково.

ВИДЫ ПРОНИЦАЕМОСТИ

АБСОЛЮТНАЯ
k

ФАЗОВАЯ (ЭФФЕКТИВНАЯ)
ki

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ
ki

ПАРАМЕТРЫ, СВЯЗАННЫЕ С НАЛИЧИЕМ ФЛЮИДОВ

δ - раскрытие; l - линейный размер блока породы

отношение полной длины ∑ li всех трещин, находя-щихся в данном сечении трещинной породы к удвоенной площади сечения f

Ширина трещины
mт=αтГδт,

Реологические модели
Кулона, Гука, Кельвина, Сен-Венана

Абсолютно-твердое тело

Чистое истечение на единицу объема

— скорость изменения соответствующего свойства в единице объема.

Дифференциальное уравнение состоит из членов, каждый из которых выражает воздействие на единицу объема, а сумма — баланс этих воздействий.

= 0 – течение медленное

= 0 – изменение кинетической энергии мало

- массовая сила сопротивления флюида о скелет горной породы

Получаем уравнение движения в форме Дарси

ЗАКОНЫ ФИЛЬТРАЦИИ пористой среды
Закон Дарси

ЗАКОН ДАРСИ (ЛИНЕЙНЫЙ ЗАКОН ФИЛЬТРАЦИИ)

Физический смысл скорости фильтрации - среднерасходная скорость фиктивного потока, в котором расход через любое сечение равен реальному расходу, поля давлений фиктивного и реального потоков идентичны, а сила сопротивления фиктивного потока равна реальной.

Гидравлический уклон

коэффициент фильтрации

р* = р + pgz - приведенное давление

Верхняя граница

Двухчленные зависимости

Дарси

Краснопольского

структурный коэффициент
по Минскому (нефть)

структурный коэффициент
по Ширковскому (газ)

(d – эквивалентный диаметр частиц)

- для газа

Линейный закон фильтрации

=kт –проницаемости трещиноватых сред

Для трещиновато-пористой среды общая проницаемость определяется как сумма межзерновой и трещинной проницаемостей

Число Re для трещинной среды:

Уравнения потенциального движения

ПОТЕНЦИАЛ

ЗАКОН ДАРСИ
через потенциал

УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА

Установившееся течение

ЗАКОН ДАРСИ

При Δ р < 10 Мпа показатель в выше приведенных экспоненциальных зависимостях меньше 1 и, следовательно, данные зависимости можно разложить в ряд Тейлора. Ограничиваясь первыми двумя членами, получаем

где ϕ - общее обозначение выше приведённых параметров.

Граничные условия

Внешняя граница :
1)постоянный потенциал ϕ(Г, t)=ϕк=const - контур питания;

2) постоянный расход G=Fρu=const или

3) переменный поток массы через границу

4) замкнутая внешняя граница

5) бесконечный пласт limx→∞ ϕ(Г,t)=ϕк=const
y→∞

Уравнение для потенциала
(j=0;2)

Уравнение для потенциала
(j=1)

Анализ:

3. Графиком зависимости р=р( r ) является логарифмическая кривая, вращением которой вокруг оси скважины образуется поверхность, называемая воронкой депрессии.

средневзвешенное давление

уравнение движения
интегрируем по времени от 0 до t и по расстоянию от R0 до r, где R0 - начальное положение частицы флюида

Функция Лейбензона

Пьезометрическая кривая для газа имеет более пологий характер на большем своём протяжении, чем кривая несжимаемой жидкости; однако у неё более резкое изменение у стенки скважины, чем для несжимаемой жидкости.

Распределение давления

Уравнение притока

Индикаторная зависимость для газа --параболическая зависимость дебита Qст от депрессии Δрк (с осью, параллельной оси дебитов) и линейная зависимость дебита от разницы квадратов пластового и забойного давлений.

т.к. рк2 - рс2 = 2ркΔрс - (Δрс)2
(где Δрс= рк - рс )

Индикаторная зависимость при фильтрации газа по закону Дарси в переменных Q – Δp2

Изменение скорости фильтрации

Скорость фильтрации слабо меняется вдали от скважины и резко возрастает в призабойной зоне

несжимаемая жидкость

газ

Воронка депрессии для трещиноватого пласта более крутая, чем для пористого.

В деформируемом трещиноватом пласте, за счет уменьшения раскрытости трещин, при снижении пластового давления возникают дополнительные фильтрационные сопротивления, вызывающие резкое понижение давления на сравнительно небольшом расстоянии от скважины, причем более резко снижается давление в пласте с большим β*

Распределение давления в пласте

Уравнение притока

Дебит - положительный корень уравнения притока

Индикаторная линия - парабола.

Кривая распределения давления - гипербола и воронка депрессии - гипербола вращения.

Крутизна воронки депрессии у стенки скважины больше, чем у чисто логарифмической кривой при течении по закону Дарси.

или

Уравнение притока через давление и объемный дебит

0,25 дарси

0,19 дарси

Нелинейный закон Δр=AQ +BQ2

0.61 дарси

Виды макронеднородности

Слоистая

Зональная

Общая

закон Ома
I =U / R

для последовательных сопротивлений R = ΣRi для параллельных -

СЛОИСТАЯ НЕОДНОРОДНОСТЬ

Квазиоднородное приближение:

a)

b)

Приведенный радиус несовершенной скважины

С – коэффициент несовершенства –добавочное фильтрационное сопротивление

Приведенный радиус - это радиус такой совершенной скважины, дебит которой равняется дебиту данной несовершенной скважины при тех же условиях эксплуатации.

Несовершенство по характеру вскрытия: В.И. Щуров
С = С ( a,h) (a=h/D, h - мощность пласта, D- диаметр скважины; h=hвс/h, hвс - толщина вскрытия ) .

Несовершенство по степени вскрытия: И.М. Доуэлл, Маскет, Р.А. Ховард и М.С. Ватсон
С = С (плотности перфорации, глубины прострела)
Плотность перфорации - число отверстий на 1 метр
Дебит значительно зависит от плотности перфорации только до значений 16-20 отверстий на 1 метр

f - функция относительного вскрытия

Формула Н.К.Гиринского - применяется если толщина пласта много больше радиуса скважины

Коэффициент несовершенства

D - диаметр фильтрового отверстия в см; n - число отверстий на 1м перфорированной части.

Приток к несовершенной скважине учитывается. введением приведён-ного радиуса скважины в формулу дебита

Уравнение притока реального газа по закону Дарси к совершенной скважине

С3 - по графикам Щурова, а С4 по формуле

N - суммарное число отверстий; R0- глубина проникновения перфорационной пули в пласт.

3) R2< r< Rк - действует закон Дарси и течение плоскорадиально

Параметры упругого режима

Важнейшие параметры упругого режима: коэффициенты объёмной упругости жидкости и пласта.
Коэффициент объёмной упругости жидкости βж характеризует податливость жидкости изменению её объёма и показывает, на какую часть первоначального объёма изменяется объём жидкости при изменении давления на единицу.

τж - объём жидкости; знак минус указывает на то, что объём τж увеличивается с уменьшением давления;

βж нефти - (7-30)10-10м2/н;
βж воды - (2,7-5)10-10м2/н.

Упругий запас Δτз - это количество жидкости, высвобождающейся в процессе отбора из некоторой области пласта при снижении пластового давления до заданной величины, если высвобождение происходит за счет объёмного расширения жидкости и уменьшения порового пространства пласта.
Δτз = βжτ0жΔр + βсτ0Δр=β*τ0Δр. ,

где τ0ж - объём жидкости, насыщающей элемент объёма пласта τ0 при начальном давлении р0; Δр - изменение давления;
β* = mβж + βс - коэффициент упругоёмкости пласта, показывающий долю объема жидкости от выделенного элемента объема пласта, высвобождающейся из элемента пласта при снижении давления на единицу

Параметр Фурье - определяет степень нестационарности процесса

→

→

- уравнение пьезопроводности, позволяет определить поле давления при нестационарных процессах в пласте с упругим режимом.

возмущение вызвано мгновенным стоком, существовавшим в момент t = t/

Решение

Изменение давления во времени для скважины, действовающей непрерывно с постоянным дебитом Q = Q0 в течение времени dt/

/ через сток выделяется из пласта объём dτ2 = Qdt /

Для малых u

для конечного пласта погрешность расчета давления не превышает 1%, если rк > 1000rc и fo < 3,5.105 или Fo < 0,35.

Пьезометрические кривые при пуске скважины в бесконечном пласте с постоянным дебитом

Выводы:
пьезометрические кривые представляют собой логарифмические линии.
углы наклона касательных на забое скважины одинаковы для всех кривых.

(1)

Для точек вблизи забоя

3. Стационарная скорость достигается очень быстро

на небольших расстояниях от скважины.

коэффициент проницаемости пласта →

по i = tgϕ и радиусу rc скважины из коэффициента А можно определить коэффициент пьезопроводности пласта æ.

Решаем совместно и получаем уравнение для определения давления

Пьезометрические кривые при пуске скважины в конечном пласте с открытой внешней границей
а - с постоянным дебитом;
b - с постоянным забойным давлением рс

Изменение дебита скважины с течением времени при постоянном забойном давлении рс

Постоянный дебит

С момента достижения возмущения границы пласта смещение во времени пьезометрической кривой для закрытого пласта происходит так, что все точки её опускаются на одно и тоже расстояние δ, т.е. во всех точках пласта давление падает с одной скоростью.

Изменение дебита Q (кр.1) скважины и суммарной добычи Qcp (кр.2) с течением времени t

Постоянное забойное давление

при малых r2/(4 æt)

Уравнение (1) используется для расчета коллекторских параметров газовых пластов методом обработки КВД. Принцип расчета такой же, что и в случае нефтяных скважин, но для получения линейной зависимости по оси ординат надо откладывать не депрессию, а разность квадратов пластового и забойного давлений

изменение давления

(1)

Рис. 1. Кривые распределения давления в прямолинейно-параллельном потоке по методу ПССС

Согласно закону Дарси , отсюда


Т.о. соотношение (2) можно переписать в виде

или т.к Q=const



Проинтегрируем полученное соотношение

Кривые распределения давления в разные моменты времени приведены на рис. 2. Дебит скважины, очевидно, будет описываться формулой, аналогичной формуле Дюпюи,

.


Размеры возмущенной области найдем из уравнения материального баланса

. (1)
при


Средневзвешенное пластовое давление в установившемся плоскорадиальном потоке определяется по формуле

Движения границы возмущенной области в этом случае можно определить по графику (рис. 3).

Дебит скважины определяется по формуле Дюпюи




при pс = const.

Сравнение с результатами точных расчетов показывает, что погрешность определения дебита по методу ПССС составляет около 5%.

Рис. 24.3. Зависимость безразмер-
ного радиуса возмущенной облас-
ти ( ) c
r t R от безразмерного вре-
мени fo при отборе жидкости
с постоянным забойным давлени-
ем c p = const

Рис. 4. Кривая распределения давления в прямолинейно-параллельном потоке по методу A.M.Пирвердяна

Составляющие(фазы) - разделены отчетливыми геометрическими границами и взаимодействуют на поверхностях раздела. Изменение физических и химических свойств разрывно.

вектор скорости фильтрации ui фазы определяется как вектор, проекция которого на некоторое направление L равна отношению объемного расхода Qi данной фазы к площадке Ωi , перпендику-лярной к указанному направлению:

Зависимость относительных проницаемостей ki от насы-щенности σ

Характерная несимметричная форма кривых относительной проницаемости объясняется тем, что при одной и той же насыщенности более смачивающая фаза занимает преимущественно мелкие поры и относительная проницаемость у неё меньше.
Сумма относительных проницаемостей для каждого фиксированного значения σ

Присутствие связанной смачивающей фазы мало влияет на течение не смачивающей жидкости, тогда как присутствие остаточной не смачивающей фазы значительно "стесняет" движение смачивающей фазы.

Зависимость функции Леверетта от насыщенности:
1 - кривая вытеснения; 2 - кривая пропитки; А - остаточная насыщенность вытесняемой жидкости

αп - коэффициент межфазного поверхностного натяжения; θ - статический краевой угол смачивания между жидкостями и породой; m - пористость; J(σ) — безразмерная функция Леверетта.

Если размеры области малы, то при достаточно малых скоростях фильтрации капиллярные силы могут превзойти внешний перепад давления.
Если рассматривается движение в очень большой области (например, в целой нефтяной или газовой залежи), то влияние капиллярных сил на распределение давления незначительно и их действие проявляется в локальных процессах перераспределения фаз.

+ замыкающие отношения

При увеличении содержания свободного газа фазовая проницаемость для газа растет, а фазовая проницаемость для жидкой фазы уменьшается.

Необходимое условие – давление меньше давления насыщения

Расчеты параметров потока газированной жидкости необходимо проводить на основе многофазной модели течения

Массовая скорость фильтрации газа, находящегося в растворе

σм(р) = Gгр/Gж - массовая растворимость газа в жидкости, т. е. количество массы газа, раство-ренного в единице массы жидкости при давлении р

Газовый фактор Г в одномерном установившемся потоке сохраняется постоянным вдоль всего потока.

ρг0 и ρж0 - значения плотности газа и жидкого компонента

- объемная растворимость газа в жидкости

σ(р) =αр

Закон Генри растворимости газа в жидкости ( р<10МПа)

α - объемный козффиииент растворимости, постоянный для данных жидкости и газа

Функции μж(р), μг(p), β(р) и σ(р) определяются по экспериментальным данным.

(1)

4. Подставляя граничные значения ϕ(р) в уравнение

получаем формулу массового дебита жидкой фазы

ε - показатель «несовершенства» жидкости
0 <ε < 1 –для газированной жидкости

Допущения: k, ρж и μж - постоянны

1. Получим выражения для потенциалов на забое и контуре

2. Вычитаем почленно полученные выражения и применяем теорему о среднем

3. Подставим Δϕ в и разделив на ρж находим:

k‘fж – некоторое среднее значение функции kf(р) в интервале изменения р от рс до рк.

Отличие от классической формулы Дюпюи

Для газированной жидкости дебит зависит не только от депрессии Δрс, но и от величины давления рк или рс.

Приближенные выражения для k'ж :

И. А. Чарный - k'ж = 0,65 k - для несцементированных песков
М. М. Глоговский и М. Д. Розенберг

Одномерные модели вытеснения несмешивающихся жидкостей

Основные допущения:

Полная система уравнений

u=u1+u2; Δρ=ρ2-ρ1;

функция Баклея − Леверетта или функция распределения потоков фаз

Начальные условия:
задаются значения неизвестной функции σ в зависимости от пространственных координат при t = 0.
Можно считать, что при t = 0 насыщенность всюду постоянна (например, σ = σ*).

Вид функции
Баклея-Леверетта и её производной

Задачи повышения нефте- и газоконденсатоотдачи сводятся к применению таких воздействий на пласт, которые в конечном счете изменяют вид функции f(σ) в направлении увеличения полноты вытеснения

Задача Баклея − Леверетта и ее обобщения

Графики функции Баклея - Леверетта (а) и её производной (b) для различных отношений вязкости μ0=μ1 / μ2

С ростом отношения вязкостей кривая f(σ) сдвигается вправо и эффективность вытеснения возрастает.

При 0 ≤ σ ≤σп большие насыщенности распространяются с большими скоростями, а при σп< σ ≤1 скорость распространения постоянного значения насыщенности начинает уменьшаться.

Вязкоупругие жидкости - среды, обладающие свойствами как твердого тела, так и жидкости, а также способные к частичному восстановлению формы после снятия напряжений.

Псевдопластичные жидкости

b) n > 1

Дилатантные жидкости

кажущаяся вязкость

μ* убывает с возрастанием градиента скорости.

μ* увеличивается с возрастанием градиента скорости.

кр. 1

кр. 3

кр.4

Дилатантная - суспензии с большим содержанием твердой фазы.

Псевдопластичная - растворы и расплавы полимеров

предельный (начальный) градиент

Индикаторные линии:
1 - линейная аппроксимация неньютоновской жидкости; 2 - реальная неньютоновская жидкость; 3 – ньютоновская по закону Дарси

Неньютоновские эффекты проявляются при малых скоростях фильтрации и в средах с малым размером пор, т. е. с малой проницаемостью

Из-за неньютоновских свойств нефтей пропластки последовательно включаются в работу по мере превышения градиента давления предельного градиента сдвига.

Установившееся течение вязкопластичной жидкости

Интегрируем формулу притока при р(rc)=рc; р(Rк)=рк

Распределение давления в пласте

Дебит скважины

Неустановившаяся фильтрация вязкопластичной жидкости

При решении нестационарных задач на основе модели фильтрации с предельным градиентом в пласте образуется переменная область фильтрации, на границе которой (пока она не достигнет границы пласта) модуль градиента давления должен равняться предельному градиенту α а давление - начальному пластовому.

Уравнение пьезопроводности:

Из решения уравнения пьезопроводности получаем зависимость забойного давления от времени

Основная роль при малом времени, когда преобладают упругие силы.

При больших значениях времени

Схема образования застойных зон

а - между двумя добывающими скважинами;
b - при пятиточечной расстановке скважин
(1 - нагнетательная скважина; 2 - добывающая скважина; 3 - зона застоя)

Отношение незаштрихованных областей ко всей площади пятиточечной ячейки можно считать площадным коэффициентом охвата пласта заводнением.

Величина застойной зоны и коэффициент охвата пласта зависят от параметра

Коэффициент охвата пласта увеличивается с увеличением параметра λ

Методы решения

Суперпозиции
(потенциалов)

Комплексного переменного

Комформного отображения

Линии тока образуют семейство кривых, ортогональ-ных изобарам

Исходная формула

Для данной постановки

Время движения частицы от некоторой точки х0 до точки х

Расстояние, пройденное частицей за время Т от нагнетательной скважины до эксплуатационной, вдвое больше расстояния пройденного другой частицей за это же время в положительном направлении оси х.

Дебиты из системы уравнений

Результат тем точнее, чем дальше точка отстоит от контура питания.

Исходная формула

Исходная формула

МЕТОД ОТОБРАЖЕНИЯ ИСТОЧНИКОВ (СТОКОВ) - для выполнения тех или иных условий на границах вводятся фиктивные стоки или источники за пределами пласта

МЕТОД - отображения источника и стока

Исходные формулы

При вычислении дебита скважины форма внешнего контура пласта не имеет сколько-нибудь существенного значения.

2. Чем дальше от внешнего контура пласта находится скважина, тем меньший дебит она имеет. Однако, так как величина расстояния входит под знаком логарифма, то даже значительное изменение этого расстояния мало влияет на величину дебита

3. В случае расположения скважины эксцентрично относительно контура поток можно считать плоско-радиальным и дебит рассчитывать по формуле Дюпюи если rк.>103 rc и эксцентриситет а1< rк /2.

Исходные формулы

Приток к скважинам кольцевой батареи

-

rк≤10а - случай режима растворенного газа

Семейство изобар подразделяется на два подсемейства, которые разграничиваются изобарой пересекающей себя в центре батареи столько раз, сколько скважин составляет данную батарею. Первое подсемейство изобар определяет приток к отдельным скважинам и представляет собой замкнутые, каплеобразные кривые, описанные вокруг каждой скважины. Второе семейство - определяет приток к батарее в целом и представляет собой замкнутые кривые, описанные вокруг батареи.

Состав по числу скважин : четный и нечетный

Величина дебитов скважин:равноудаленные от середины или от концов батареи - одинаковы, а при разной удаленности - отличаются.

Для однородных пластов и жидкостей относительные изменения дебитов скважин, вызванные эффектом взаимодействия, не зависят от физико-геологических характеристик пласта и от физических параметров жидкости.

Эффекты взаимодействия

- для четного числа скважин

Здесь h - толщина пласта; σ - расстояние между скважинами; L – расстояние до контура.
Ошибка в определении дебитов по данным формулам не превышает 3-4% при L=10км, rс=10см, при расстояниях между скважинами 100м≤ σ ≤500м.

Подставим значения rк , a

закон Ома
I =U / R

Дебит прямолин. батареи

сопротивления

внешнее

внутреннее

Внутреннее сопротивление - выражает местное фильтрационное сопротивление, возникающее при подходе жидкости к скважинам за счет искривлений линий тока


Дебит равен суммарному дебиту n скважин при плоскорадиальном течении, в предположении, что каждая скважина окружена контуром питания длиной σ (аналог формулы Дюпюи)

Приведенные формулы тем точнее, чем больше расстояние между батареями по сравнению с половиной расстояния между скважинами

Схема замены соседних батарей скважин одной батареей

- нелинейное сопротивление, добавляемое к внутреннему сопротивлению ρ.

2-ая зона -

ϕ = kФ+С, где

←

Исключим ϕ0

А) Кольцевая батарея во внутренней области

Б) Кольцевая батарея во внешней области (а > R0).

Сравнение дебитов скважин кольцевой батареи из n эксплуатационных скважин в двух случаях: 1)скважины имеют радиус rc и 2)скважины имеют радиус хrc.

Данная зависимость используется для расчета параметров пласта путем обработки кривой восстановления давления в случае скважины, эксплуатирующейся в течение длительного времени и остановленной для исследования.

Каждые две кривые, из которых одна принадлежит семейству кривых, определяемых уравнением ϕ (х, у) = С, а другая - семейству кривых ψ(х, у) = С* (С и С* — постоянные), пересекаются под прямым углом, т. е. два семейства кривых образуют ортогональную сетку в основной плоскости течения.

1. Общие положения теории функций комплексного переменного

F (z) = F (х + iy) = ϕ (х, у) + iψ (х, у) (1)
ϕ (х, у) и ψ (х, у) - некоторые функции действительных переменных х и у;
i — мнимая единица.

Задать функцию комплексного переменного - значит задать соответствие между парами чисел (х, у) и (ϕ, ψ).

Рис. 2. Распределение потока между двумя параллельными плоскостями 1 и 2

Для несжимаемой жидкости функция тока будет иметь значение объемного (а не массового) расхода жидкости через поперечное сечение канала, построенного на линиях тока ψ = 0 и ψ =С*.

Порядок исследования плоских течений с помощью комлексного переменного

Вынося во второй скобке множитель i за знак скобки и воспользовавшись уравнениями Коши - Римана получим:

Учитывая (4):

Модуль производной от характеристической функции течения для несжимаемой жидкости будет равен скорости (а не массовой скорости) фильтрации жидкости u.

I. Плоско-параллельный поток
F(z) = Az, где z = x +iy, A - любое комплексное или действительное число (А = А1 + iA2 )

Отсюда

Уравнение семейства эквипотенциальных линий - А1х – А2y = С. (7)
Из (7): эквипотенциальные линии - прямые с угловым коэффициентом A1/А2.

Уравнение семейства линий тока - А1у + А2х = С**. (8)
Из (8): линии тока -- прямые с угловым коэффициентом (-A2/А1).

Заданная характеристическая функция F(z) = Az соответствует прямолинейно-параллельному потоку.
Фильтрационное поле представлено ортогональной прямолинейной сеткой, изображенной на рис. 4.

Массовая скорость фильтрации

Находим производную от F (z) no z
Исходные формулы

z– в полярных координатах: z = х +i y = r (cos θ + i sin θ) = reiθ, где г — радиус - вектор точки; θ — полярный угол.

F(z) = A In (reiθ) = A In r + iAθ.

ϕ=Alnr; ψ=Aθ.

Уравнение эквипотенциальных линий - r=const (9)
Эквипотенциальные линии - концентрическими окружностями с центром в начале координат

Уравнение линии тока - θ = const. (10)
Линии тока - прямые, проходящие через начало координат.

Рис. 5. Карта эквипотенциальных линий и линий тока при плоско-радиальном (сходящийся или расходящийся) потоке.
Центр скважины (сток или источник) находится в начале координат.

комплексное переменное

модуль компл. числа = массовой скорости

(11)

(12)

Приравниваем (11) и (12) находим

Тогда

(13) М>0 – сток (экспл. скважина)

Функция (13) характеризует плоско-радиальное движение жидкости или газа в однородном горизонтальном пласте неограниченной протяженности.
Скважина предполагается гидродинамически совершенной.

z-а– в полярных координатах (г — расстояние любой точки плоскости потока не до начала координат, а до особой точки а = а1 + ia2, в которой помещается сток или источник; θ— полярный угол с вершиной в особой точке).

Отсюда:

Характеристическая функция сложного потока

Fj (z) - характеристическая функция, соответствующая стоку или источнику за номером j, находящемуся в точке аj:

Рис. 6. Схема расположения источника 01 и стока 02

Отделяем действительную часть от мнимой

(15)

(14)

а2-a1=2a

Резуме:
Линии тока представляют собой окружности, проходящие через центры обеих скважин, и ортогональны окружностям - изобарам. Центры всех этих окружностей расположены на прямой (эквипотенциальной линии), делящей расстояние между скважинами пополам

Для плоско-радиального притока
(аj — комплексное число, определяю-щее положение стока за номером j).

аj представим в тригонометрической форме, а –радиус батареи

где

Разделим переменные и интегрируем вдоль линии тока

Характеристическая функция

(23)

(θ =const ),

(23) → (22)

Время движения по нейтральной линии (θ=π/n)

Местоположение частицы контура нефтеносности на нейтральной линии тока r/ в момент прорыва воды в скважины

/из (25)/

/из(24)/

3) Площадь ωн, занятая оставшейся в пласте нефтью в момент прорыва воды в скважины

Вывод: при большом числе скважин в батарее нефтеносная площадь ωн не зависит от величины отношения а/гн.

z = z (ς)

Полученная из F функция F1 определяет некоторый плоский фильтрационный поток на плоскости ς. Изучив первый поток F, можно изучить поток F1 (ς).

Задаваясь той или иной преобразующей функцией z = z (ς), из одного потока F (z) плоскости z можно получить бесчисленное множество других потоков на плоскости ς.
Таким образом, функция z=z(ς) реализует конформное отображение плоскости z на плоскость ς.

Отделим в функции z=z(ς)действительную часть от мнимой

Отсюда

x=x(ξ,η), y=y(ξ,η),
ξ= ξ(x,y), η= η(x,y). (2)

В зависимости от того, однозначна или многозначна преобразующая функция z=z(ς), каждой точке плоскости ς соответствует одна или несколько точек плоскости z.
Точно так же каждой линии одной плоскости соответствует одна или несколько линий на другой плоскости.
Таким образом, линиям тока и эквипотенциалям, т. е. сетке течения одной плоскости, будет соответствовать вполне определенная сетка течения на другой плоскости. При этом сами значения потенциала скорости Ф и функции тока Ψ будут одинаковыми на соответствующих друг другу линиях обеих плоскостей.

Отсюда

(4)

Аргумент дроби равен разности аргументов числителя и знаменателя. argdz1 — это угол между направлениями элемента dzl и осью х.
Таким образом, arg dzl — arg dz2 = arg dς1 — arg dς2, т. е. углы между отрезками dz1, dz2 и отрезками dς1, dς2 равны.
Преобразование z(ς) или ς (z) называется конформным, так как оно сохраняет подобие бесконечно малых элементов в соответствующих точках.

(3)

l - произвольный замкнутый контур, окружающий скважину на плоскости z;
λ - произвольный замкнутый контур, окружающий скважину на плоскости ς;
dn и dl — элементы нормали и касательной для контура l на плоскости z;
dv и d λ — элементы нормали и касательной для контура λ на плоскости ς.

Доказательство

Абсолютная величина дебита | Q | скважины на плоскости z

составляющая скорости фильтрации по нормали к контуру.

(7)→(6) и сокращая на получим

В правой части формулы (8) стоит абсолютная величина дебита скважины на плоскости ς, равная абсолютному значению дебита скважины на плоскости z.

Отделяем действительную и мнимую части

Отсюда

Эквипотенциали φ = Ах = const - семейство прямых, параллельных оси у
Линии тока ψ = Ау = const — прямые, параллельные оси х. (рис.)

Проекции скорости фильтрации

Вывод. Характеристическая функция течения F (z) = Az определяет плоско-параллельное течение в сторону отрицательной оси х с постоянной во всех точках скоростью u =- А.

Сетке течения Ф = Ах = const, Ψ = Ay = const на плоскости z соответствует на плоскости ς сетка течения ρ = const и θ = const, т. е. при А >0 приток к точечному стоку в начале координат с дебитом q = 2 πА.

Плоскость z: в точке х = 0, у = а находится скважина малого радиуса гс; ось х является эквипотенциалью φ=φк, а окружность малого радиуса гс — эквипотенциалью φ=φс; пласт полубесконечен; контур питания прямолинейный

Цель задачи: найти преобразование ς = ς (z) или обратное z =z (ς), которое реализует конформное отображение верхней полуплоскости z в круг ρ = ρк плоскости ς, а точку zc = ia плоскости z, где расположен центр скважины радиусом гс, в начало координат ς = 0 плоскости ς

Рис.7. Соответствие между плоскостями z и ς в задаче о притоке в скважину

Откуда следует

действительная ось z = х перешла в окружность ρн плоскости ς, а точка верхней полуплоскости z = ia в начало координат ς = 0.

По формуле Дюпюи имеем

Подставляем ρс из формулы (12)

«Пассивные» обратные задачи - распознавание объектов разработки и уточнение представления о состоянии и свойствах пластовой системы.

Особенности исследовательских и коммерческих программных систем — «симуляторов»

состоит в согласовании результатов расчетов техноло-гических показателей предшествующего периода с фактической динамикой разработки.

Адаптация модели связана с уточнением фильтрационных и емкостных параметров пласта, функций относительных фазовых проницаемостей для нефти, газа и воды, энергетических характеристик пласта — поля давлений, оценки выработки запасов нефти на отдельных участках пластов.

В результате адаптации уточняются размеры законтурной области, начальные и остаточные геологические запасы нефти и газа, проницаемость и гидропроводность пласта, коэффициенты продуктивности и приемистости, функции модифицированных фазовых проницаемостей, функции адсорбции и десорбции.

геологические модели: данные сейсморазведки и их интерпретации, результаты анализов и исследований кернов, результаты исследований промысловой геофизики, их интерпретации, данные инклинометрии скважин, сведения о составах и минерализации грунтовых вод и т.д.
фильтрационные модели: результаты интерпретации геофизических и гидродинамических исследований скважин, помесячная история разработки месторождений, координаты скважин и режимы их работы, значения пластовых и забойных давлений в скважинах и другая информация