Слайд 1Муниципальное бюджетное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №19 с углубленным изучением отдельных
предметов»
Свойства функции у=sinх и её график
Пикалова Тамара Павловна
Учитель математики
г.Старый Оскол
2011
Слайд 2Основные свойства функции у =sinх:
Область определения- множество всех действительных чисел;
Область
значения- отрезок [-1;1], значит, sin- функция ограниченная;
Функция нечётная: sin(-x)= -sinx для всех х из множества R;
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2∏, то есть sin(x+2∏)=sinx для всех х из множеcтва R;
Слайд 3 sinx= 0
при х=∏n, n є Z;
sinx
> 0
для всех х є (2∏n; ∏+2∏n),n є Z;
sinx < 0
для всех х є (∏+2∏n; 2 ∏+2∏n),n є Z;
Слайд 4
Функция возрастает от -1 до 1 на промежутках [-∏/2
+ 2∏n; ∏/2 + 2∏n], n є Z;
Функция убывает от 1 до -1 на промежутках [∏/2 + 2∏n; 3∏/2 + 2∏n], n є Z;
Функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках х= ∏/2 + 2∏n, n є Z;
Функция принимает наименьшее значение, равное -1, в точках х= 3∏/2 + 2∏n, n є Z;
Слайд 5График cинуса на промежутке [-∏;∏]
Слайд 6График синуса на всей области определения
Слайд 7Построить график функции y=sin 1/2x
D (y)= R;
E (y)= [-1;1];
Функция нечётная;
Функция периодическая, так как
sin1/2 x= sin (1/2x+ 2∏)= sin( (x+4∏)/2), Т=4∏. Достаточно построить график на отрезке
[0; 2∏];
Слайд 8Найдём точки пересечения графика с осью ОХ. Если y=0, то sin1/2
x=0, х/2=∏n, х=2∏n, n=0;1.
(0;0) и (2∏;0)- точки пересечения графика с осью ОХ на данном полупериоде;
Максимум функции равен 1 при х/2= ∏/2, то есть при х= ∏.
По этим данным строим график y=sin 1/2x.
Слайд 10Второй способ построения графика функции y=sin 1/2x
Период исходной функции
y=sinx равен 2∏, а период заданной функции y=sin 1/2x составляет 4∏, то есть, вдвое больше периода исходной функции.
Таким образом, график функции y=sin 1/2x можно построить путём растяжения графика функции y=sinx вдоль оси ОХ вдвое.
Слайд 12Построить график функции y=sin3x
D(y)=R;
E(Y)=[-1;1];
Период функции:
Sin3x= sin (3x + 2∏) = sin3(x+2∏/3);
T=2∏/3, T/2=∏/3.
Точки пересечения графика с осью ОХ:
Sin3x=0, 3x=∏n, x= ∏n/3, n=0;1, то есть на данном полупериоде кривая пересекает ось ОХ в точках (0;0) и (∏/3;0);
Максимум функции равен 1 при 3х= ∏/2, то есть х= ∏/6.
По этим данным строим график функции у=sin3x
Слайд 14Второй способ построения графика функции у= sin3x
График функции у=sin3x
можно построить путём сжатия по оси ОХ исходного графика y=sinx в три раза, так как период 2∏/3 заданной функции в три раза меньше периода 2∏ исходной функции
Слайд 16Построить график функции y=3sinx
Ординаты графика y=3sinx в три раза
больше соответствующих ординат графика y=sinx.
Поэтому график функции у=3sinx строится путём увеличения всех ординат графика у=sinx по оси ОУ в три раза.
Слайд 17Построить график функции у=1/2sinx
По тем же соображениям этот график
строится способом уменьшения всех ординат исходного графика в два раза, то есть путём сжатия исходного графика по оси ОУ в два раза.
Слайд 19Построить график функции у=1,5-2sin(3x+∏/4)
Y= -2sin(3x+∏/4)
Y= -2sin(3(x+∏/12))+1,5
Порядок построения графика следующий:
строим график
функции y=-sinx;
этот график сжимаем по оси абсцисс в три раза;
ось ординат переносим по горизонтали на ∏/12;
график растягиваем по оси ординат в два раза;
ось абсцисс переносим по вертикали на -1,5.
Слайд 20График функции у=1,5-2sin(3x+∏/4)
Слайд 21Упражнения для самостоятельной работы
Первый вариант
Построить графики функций:
1. y=sin2x;
2.
y= 1-2sin2x;
y= 2sinxlcosxl;
Y=tgxcosx;
5. Сколько корней имеет уравнение sin2x=a ?
Второй вариант
Построить графики функций:
У=-sin2x;
Y=1+2sin2x;
У=2cosxlsinxl;
Y=tgxctgx;
Сколько корней имеет уравнение -sin2x=b ?
Слайд 22Литература
Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников М.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала
анализа: учеб. Для10 кл. общеобразоват. Учреждений: базовый и профильный уровни/С.М. Никольский, 6 изд М.: Просвящение 2007.-492с.;
Родионов Е.М., Филимонов Л.А. Математика. Часть ll, книга l. Тригонометрия. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. М.: Самсусам, 2002.-304с..