Диофантовы уравнения презентация

учитель математики Титова И.В.

сидят фазаны

и кролики,

всего у них 18 ног. Узнайте, сколько
в клетке тех и других.

у – число кроликов,
2х – число ног у фазанов,
4у – число ног у кроликов.
А так как по условию в клетке 18 ног, то составим и решим уравнение с двумя переменными:
2х + 4у = 18, или х + 2у = 9.

Решим уравнение в натуральных числах.
Выразив х через у, получим: х = 9 – 2у.

Используем метод подбора:

х

у

1 2 3 4
7 5 3 1

Ответ: (7;1), (5;2), (3;3), (1;4).

ДИОФАНТ (ок. III в.)
Диофант (вероятно, III в.)-древнегреческий математик из Александрии. О его жизни нет почти никаких сведений.
Сохранилась часть математического трактата Диофанта «Арифметика" (6 кн. из 13) и отрывки книги о многоугольных (фигурных) числах. В «Арифметике", помимо изложения начал алгебры, приведено много задач, сводящихся к неопределенным уравнениям различных степеней, и указаны методы нахождения решений таких уравнений в рациональных положительных числах; здесь же впервые появляется терминология многомерной геометрии.
Изложение Диофанта чисто аналитическое. Для обозначения неизвестного и его степеней, обратных чисел, равенства и вычитания Диофант употреблял сокращенную запись слов. При умножении сумм и разностей двух чисел применял правила знаков. Имел представление об отрицательных числах, например, знал, что квадрат отрицательного числа равен положительному числу. Сочинения Диофанта были отправной точкой для теоретико-числовых исследований П. Фермачисел, равенства и вычитания Диофант употреблял сокращенную запись слов. При умножении сумм и разностей двух чисел применял правила знаков. Имел представление об отрицательных числах, например, знал, что квадрат отрицательного числа равен положительному числу. Сочинения Диофанта были отправной точкой для теоретико-числовых исследований П. Ферма, Л. Эйлера чисел, равенства и вычитания Диофант употреблял сокращенную запись слов. При умножении сумм и разностей двух чисел применял правила знаков. Имел представление об отрицательных числах, например, знал, что квадрат отрицательного числа равен положительному числу. Сочинения Диофанта были отправной точкой для теоретико-числовых исследований П. Ферма, Л. Эйлера , К. Гаусса и других математиков. Именем Диофанта названы два больших раздела теории чисел - теория диофантовых уравнений и теория диофантовых приближений.

х:

Выделив целую часть, получим:

Чтобы значение дроби было целым числом, надо, чтобы 1 + 4у было кратно 7.

Запишем это условие в виде 1 + 4у = 7z, где z – целое число.
Отсюда:

Потребуем теперь, чтобы 3z + 3 было кратно 2, то есть чтобы выполнялось условие 3z + 3 =4u, где u – целое число.

Отсюда:

3v, где v – целое число.

Дробей больше нет. « Спуск» закончен и надо «подняться вверх»,
выразив х и у через v.

Имеем: z = 4v – 1.
Далее: y = 7v – 2,
x = 11v + 2.

Придавая в равенствах x = 11v + 2, y = 7v – 2 переменной v целые значения, будем получать целые решения нашего уравнения. Если требуется найти натуральные решения, то надо наложить дополнительное условие: 11v + 2 > 0, 7v – 2 > 0.