ЖИВОПИСЬ И МАТЕМАТИКА работа учителя математики МКОУ СОШ №2 Левокумского района Матюшиной В.В. Март, 2012 презентация

пропорции человека стр. 6
«Ортогональная» живопись древнего Египта и искусство древнего Китая стр. 7
Живопись мастеров эпохи возрождения стр. 8-10
Золотое сечение (в картине И.И. Шишкина «Сосновая роща») стр. 11
«Золотая спираль» в картине Рафаэля стр. 12
Симметрия в искусстве стр. 13-14
Работы М.К. Эшера стр. 14-16
Современная живопись и геометрические элементы стр. 17-18
III. Заключение стр. 19
IV. Литература стр. 20

свободных искусствах, но прежде всего
я желаю, чтобы он узнал геометрию.
  Л. Б. Альберти

Нет достоверности там, где нельзя применить
одну из математических наук...
Леонардо да Винчи
Одной из важнейших задач школы является воспитание культурного, всесторонне развитого человека, воспринимающего мир ,как единое целое. Каждая из учебных дисциплин объясняет ту или иную сторону окружающего мира. Геометрия – это раздел математики, являющийся носителем собственного метода познания мира, с помощью которого рассматриваются формы и взаимное расположение предметов, развивающий пространственные представления, образное мышление, изобразительно – графическое умение, приемы конструктивной деятельности, то есть все то , что лежит в основе живописи.
Своеобразие геометрии, выделяющее ее из других разделов математики, да и всех областей науки вообще, заключается в не разрывном, органическом соединении живого воображения со строгой логикой. В своей сущности и основе геометрия и есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой, В ней всегда присутствуют эти два неразрывно связанных элемента: наглядная картина и точная формулировка, строгий логический вывод. Там, где нет одной из этих сторон, нет и подлинной геометрии.
Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, строгая логика — привилегия науки. Сухость точного вывода и живость наглядной картины — «лед и пламень не столь различны меж собой». Геометрия соединяет в себе эти противоположности, они в ней взаимно проникают, организуют и направляют друг друга. Это относится в конечном счете также к современным абстрактным геометрическим теориям, которые при всей своей возвышенной отвлеченности вырастают из той же геометрической интуиции.
Стоит лишь вспомнить классические творения архитектуры, начиная с древнейших пирамид, как сразу становится очевидным, что геометрия в некотором смысле относится к искусству. Искусство лучше всего воспринимать непосредственно. Тому способствуют гравюры М. К. Эшера, они образуют своего рода художественно-геометрический фильм, дающий зрителю редкую возможность увидеть геометрическое начало во многих явлениях природы и красоту — в чисто геометрических конструкциях и построениях. Так что же от истинного искусства всегда присутствует в истинной геометрии? Словами выразить это затруднительно. Но вглядевшись внимательно в некоторые работы художников разных эпох и направлений, увидим, как неожиданно и оригинально использованы геометрические идеи.
Эта работа направлена на интеграцию знаний, формирование общекультурной компетентности, создание представлений о математике как науке, возникшей из потребностей человеческой практики и развивающейся из них. Математика здесь подается как элемент общей культуры человечества, который является теоретической основой искусства, а также элемент общей культуры отдельного человека.

наших дней пути взаимодействия и взаимообогащения двух сфер человеческой культуры – науки и искусства; расширить представления о сферах применения математики; показать, что фундаментальные закономерности математики являются формообразующими живописи и т.д., стимулировать познавательные интересы.
Задачи состоят в следующем:
- расширить сферу математических знаний учащихся (симметрия, золотая пропорция, перспектива, проективная геометрия);
- развивать эстетическое восприятие математических фактов: расширить представления учащихся о сферах применения математики не только в естественных науках, но и в такой области гуманитарной сферы деятельности, как искусство;
- расширить общекультурный кругозор учащихся посредством знакомства их с лучшими образцами произведений искусства;
- продемонстрировать разнообразное применение математики в реальной жизни.
- учить применять приобретенные геометрические представления, алгебраические преобразования для описания и анализа закономерностей, существующих в окружающем мире;
- проводить обобщения и открывать закономерности на основе анализа частных примеров, эксперимента, выдвигать гипотезы и делать необходимые проверки.
Поиски математических закономерностей в области изобразительного искусства имеют древнейшую традицию. Во все времена — от наскальной живо писи в Сахаре до полотен Сальвадора Да ли — кто оставался главной темой изобразительного искусства? ЧЕЛОВЕК! Виллендорфская Венера или Венера Милосская, царь Хаммурапи или бог Апполон, Сикстинская мадонна или девочка с персиками — для художника все они прежде всего были образами человека. Пропорции человека составляли предмет изучения художника. Положение фигуры строго регламентировалось математическими законами.
Конечно, нельзя навести математический порядок в искусстве. Нет и еще раз нет! К искусству необходимо прислушиваться душой. Но не замечать очевидного тоже нельзя. Создавая свои бессмертные творения, древние не боялись «алгеброй разрушить гармонию» и твердо верили: математика поможет там, где, по словам Дюрера, «рука из-за спешки обманет тебя».
На уроках алгебры и геометрии нам не хватает времени, чтобы больше узнать о роли математических наук в жизни человека и их связи с различными областями жизнедеятельности, об истории возникновении и развитии этой науки, ученых и их достижениях. В результате мы часто задаемся вопросом: «Зачем мы изучаем математику? Какое место в нашей жизни она занимает?» Поэтому в своей работе я хочу показать тесную связь между жизнью человека и математическими науками, их применении не только для решения задач, но и для использования в повседневной жизни и искусстве

кому-то — Архитектура, да — это наполовину наука, наполовину искусство, и потому «математическое начало» в ней естественно. Но какая математика нужна художнику, которому кроме холста и красок вообще ничего не нужно?!»
Примером "математики в живописи" может служить разве что картина Богданова-Бельского "Устный счет"!" .Но это далеко не так.

все времена — от наскальной живописи в Сахаре до полотен Сальвадора Дали — кто оставался главной темой изобразительного искусства? ЧЕЛОВЕК! Виллендорфская Венера или Венера Милосская, царь Хаммурапи или бог Апполон, Сикстинская мадонна или девочка с персиками — для художника все они прежде всего были образами человека. Пропорции человека составляли предмет изучения художника. Положение фигуры строго регламентировалось математическими законами.



































Перед вами всем известный рисунок Леонардо, который демонстрирует связь совершенных геометрических фигур с пропорциями человека. Этот рисунок является своеобразным символом синтеза математики и искусства

Вот эта идея незыблемости пронизывала всю философию и весь жизненный уклад древнеегипетского общества. Эта идея нашла воплощение в живописи. Какой геометрический метод подходил для выражения этой философии?
  Метод ортогональных проекций. Только в нем форма предмета может быть зафиксирована единственным образом. Живописцы Древнего Египта разработали этот метод в совершенстве. Поскольку художник не мог дать все три проекции предмета (это же все-таки не чертеж!), он делал одну проекцию с наиболее характерной стороны, в наиболее выгодном ракурсе. Вот почему при изображении животных выбирался вид сбоку, профильное изображение как наиболее информативное. По той же причине человеческая фигура рисовалась в несколько странном ракурсе: голова и ноги давались в профиль, а грудь и плечи рисовались в фас.
  На рисунке в «Книге Мертвых» (религиозный сборник, гимн богам) художник показывает бога Осириса в характерном профильном изображении с развернутыми к зрителю плечами.













Искусство древнего Китая не было скованно путами церковных догматов. Здесь мирно сосуществовали и три религиозно-философских учения: конфуцианство, даосизм, буддизм; и два направления искусства: религиозное и светское. Согласно этим учениям, путь познания истины проходил через отрешение от мирской суеты, растворение и духовное очищение в природе. Именно в природе китайские художники, многие из которых были монахами, искали и находили умиротворяющую гармонию. Природу и ее изображение на картине — пейзаж — китайский художник воспринимал как безбрежный океан, в котором растворена личность художника-философа.
  Остается только удивляться, как точно философией созерцания была найдена соответствующая геометрия живописи! Аксонометрия — есть центральная проекция с бесконечно удаленным центром проектирования. Аксонометрия не знает ни угла зрения, ни точек схода, ни линии горизонта. Картина не выглядит ограниченной рамой и будто в любой момент готова беспредельно разойтись и поглотить своего бесконечно далекого наблюдателя.
  Подтверждением этих слов является фрагмент свитка на шелку «Путники в горах». Плоское начало в китайской живописи сдвинулось в пространство, однако оно еще не стало пространством.

Живопись переходила в начертательную геометрию, а геометрия в искусство.
Очень большое значение придавал Леонардо связи отношений размеров человеческого тела с формулой “золотого сечения”. “Золотое сечение” выражается пропорцией, в которой в качестве среднего пропорционального между всем отрезком (а) и его меньшей частью (в) выступает большая часть отрезка (с), т.е. а : с = с : в. Для нормально развитого человеческого тела эти пропорции в общем характерны. Эталоном мужской красоты считается фигура Аполлона Бельведерского. Оказывается, если ее высоту разделить в отношении “золотого сечения” и то же самое проделать с руками, ногами, верхней частью туловища, то точки деления придутся на анатомически важные пункты: талию, адамово яблоко, коленную чашечку… Так вот, талия делит совершенное человеческое тело в отношении “золотого сечения”: а : с = 1,618. У мужчин эта величина чаще всего 1,625, а у женщин – 1,6, так что пропорции мужчины ближе к “золотому сечению”, т.е. к идеальным, чем пропорции женщин. Для новорожденного отношение это равно 2, т.е. талия ребенка делит его рост пополам.
  Существует предание о том, как в конце XV века во Флоренции была раскопана статуя богини Венеры и как пораженный совершенством женского тела Леонардо да Винчи, взяв в руки инструменты, принялся измерять пропорции его. “Стоя на коленях рядом с Венерой, вынул он циркуль, угломер, полукруглую медную дугу, наподобие тех, какие употреблялись в математических приборах, и с выражением упорного, спокойного и проникновенного любопытства в холодных, светло-голубых глазах и тонких плотно сжатых губах, начал мерить различные части прекрасного тела… Ножки циркуля складывались и раздвигались, описывая правильные геометрические фигуры…”.
  Очень много внимания уделял вопросам пропорций и перспективы в живописи современник Леонардо да Винчи, один из самых замечательных немецких живописцев, непревзойденный мастер гравюр Альбрехт Дюрер. В частности он утверждал, что хотя “человеческое тело не может быть вычерчено с помощью циркуля и линейки, но должно быть нарисовано от точки к точке. Без правильных же измерений никто не может сделать ничего хорошего”.
  О пропорциях человеческого тела Дюрер, основываясь на собственном опыте и трудах древних, говорил: “Лицо от подбородка до верха, где начинаются волосы, составляет десятую часть человека. Такую же длину имеет вытянутая ладонь. Голова же человека составляет восьмую часть; от верхней части груди до того места, где начинаются волосы – одна шестая часть. Если же разделить лицо на три части от волос до подбородка, то в верхней будет лоб, во второй – нос, в третьей – рот с подбородком. Также ступня составляет шестую часть человека, локоть – четвертую, грудь – четвертую часть”.
  Если положить на землю человека с распростертыми руками и ногами и поставить ножку циркуля в пупок, то окружность коснется рук и ног. И подобным образом строится квадрат: если измерить длину от ног до макушки, то ширина распростертых рук будет равна этой длине. Отсюда выводится квадратное строение.
  Дюрер портил великолепные гравюры, вписывал в них окружности, квадраты, треугольники. Не щадил ни Аполлонов, ни Венер. Объяснялось это просто: он пытался разложить человеческое тело на геометрические фигуры, вычислить их размеры и высчитать соотношения. Потом решал задачу в обратном порядке: громоздил друг на друга геометрические фигуры, обводил их карандашом и получал контур Аполлона.

Милане. Все, что написал Леонардо раньше, о чем думал в тиши своих уединений, получило завершение в этой вершине его творчества. В «Тайной вечере», написанной на излюбленный евангельский мотив, все, кроме сюжета, было ново: от новых композиционных формул до новых живописных приемов и техники. Композиция картины строга и проста. В ее центре — голова Христа. Главная точка картины проходит через его правый глаз. Геометрический и смысловой центры картины совпадают, а лучи, сходящиеся в главной точке, еще более нацеливают зрителя в этот центр. Нам кажется, будто из центра картины, из глаз Христа, расходятся во все стороны эти лучи, словно потоки мысли. И апостолы расположены так не случайно. «Тайная вечеря» — это и наука, и искусство, которые для Леонардо были слиты в живописи воедино.















Итак, вместе с новой геометрией в живопись Возрождения пришло и новое художественное мышление. Ренессансная перспектива — это революция в живописи.
Леонардо да Винчи впервые говорит о сокращении масштаба разных отрезков, удаляющихся вглубь картины, дает правило построения изображений на цилиндрических и сферических сводах. Он математически обосновал правила распределения теней на полотне, характер отражения и изменения окраски предметов. Это математические законы построения тела человека, проблема построения трехмерного пространства на двумерной плоскости картины. Проблема перспективы. Мы будем говорить о математическом содержании живописи, поэтому придется оставить в стороне основные средства изобразительного искусства — цвет. Говоря о живописи, мы почти не будем касаться средств языка живописи — сюжета, композиции и т. д. Логику живописного произведения откроет нам геометрия живописи.
Переходя к примерам “золотого сечения” в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность – одна из загадок истории. Сам Леонардо да Винчи говорил: “Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды”. Он снискал славу непревзойденного художника, великого ученого, гения, предвосхитившего многие изобретения, которые не были осуществлены вплоть до XX в. Нет сомнений, что Леонардо да Винчи был великим художником, это признавали уже его современники, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не связное изложение своих идей, а лишь многочисленные рукописные наброски, заметки, в которых говорится “обо всем на свете”.
Он писал справа налево неразборчивым почерком и левой рукой. Это самый известный

годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует очень много версий об истории этого портрета. Вот одна из них. Однажды Леонардо да Винчи получил заказ от банкира Франческо де ле Джокондо написать портрет молодой женщины, жены банкира, Монны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекала простота и естественность облика. Леонардо согласился писать портрет.

картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали. Слева от главной сосны находится множество сосен - при желании можно с успехом продолжить деление картины по золотому сечению и дальше.

























Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении золотого сечения, придает ей характер уравновешенности и спокойствия, в соответствии с замыслом художника. Когда же замысел художника иной, если, скажем, он создает картину с бурно развивающимся действием, подобная геометрическая схема композиции (с преобладанием вертикалей и горизонталей) становится неприемлемой.

ощущение динамики, волнения проявляется, пожалуй, сильней всего в другой простой геометрической фигуре - спирали. Многофигурная композиция, выполненная в 1509 - 1510 годах Рафаэлем, когда прославленный живописец создавал свои фрески в Ватикане, как раз отличается динамизмом и драматизмом сюжета. Рафаэль так и не довел свой замысел до завершения, однако, его эскиз был гравирован неизвестным итальянским графиком Маркантинио Раймонди, который на основе этого эскиза и создал гравюру "Избиение младенцев".














На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вокруг лодыжки ребенка, - вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина с занесенным мечом и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить эти куски кривой пунктиром, то с очень большой точностью получается ...золотая спираль! Это можно проверить, измеряя отношение длин отрезков, высекаемых спиралью на прямых, проходящих через начало кривой. Мы не знаем, рисовал ли на самом деле Рафаэль золотую спираль при создании композиции"Избиение младенцев" или только "чувствовал" ее. Однако с уверенностью можно сказать, что гравер Раймонди эту спираль увидел. Об этом свидетельствуют добавленные им новые элементы композиции, подчеркивающие разворот спирали в тех местах, где она у нас обозначена лишь пунктиром. Эти элементы можно увидеть на окончательной гравюре Раймонди: арка моста, идущая от головы женщины, - в левой части композиции и лежащее тело ребенка - в ее центре. Первоначальную композицию Рафаэль выполнил в рассвете своих творческих сил, когда он создавал свои наиболее совершенные творения. Глава школы романтизма французский художник Эжен Делакруа (1798 - 1863) писал о нем:"В сочетании всех чудес грации и простоты, познаний и инстинкта в композиции Рафаэль достиг такого совершенства, в котором с ним еще никто не сравнился. В самых простых, как и в самых величественных, композициях повсюду его ум вносит вместе с жизнью и движением совершенных порядок в чарующую гармонию". В композиции "Избиение младенцев" очень ярко проявляются эти черты великого мастера. В ней прекрасно сочетаются динамизм и гармония. Этому сочетанию способствует выбор золотой спирали за композиционную основу рисунка Рафаэля: динамизм ему придает вихревой характер спирали, а гармоничность - выбор золотого сечения как пропорции, определяющей развертывание спирали

науки, которое наряду с понятием "гармонии" имеет отношение практически ко всем структурам природы, науки и искусства, является "симметрия". Выдающийся математик Герман Вейль высоко оценил роль симметрии в современной науке: "Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство". Что же такое "симметрия"? Когда мы смотрим в зеркало, мы наблюдаем в нем свое отражение - это пример "зеркальной" симметрии. Зеркальное отражение - это пример так называемого "ортогонального" преобразования, изменяющего ориентацию. К фундаментальным понятиям симметрии относятся плоскость симметрии, ось симметрии, центр симметрии. Плоскостью симметрии называется такая плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части, расположенные друг относительно друга так, как предмет и его зеркальное отражение. Осью симметрии называется такая прямая линия, вокруг которой симметричная фигура может быть повернута несколько раз таким образом, что каждый раз фигура "самосовмещается" сама с собой в пространстве. Число таких поворотов вокруг оси симметрии называется порядком оси. Наконец, центром симметрии называется такая особая точка внутри фигуры, характеризующаяся тем, что любая проведенная через точку прямая по обе стороны от нее и на равных расстояниях встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры. "Идеальным" примером такой фигуры является шар, центр которого и является его центром симметрии.
Симметрия широко встречается в объектах живой и неживой природы. Например, симметрия в химии отражается в геометрической конфигурации молекул. Так, например, молекула метана СH4 обладает симметрией тетраэдра. Понятие "симметрии" является центральным при исследовании кристаллов. При этом симметрия внешних форм кристаллов определяется симметрией его атомного строения, которая обуславливает и симметрию физических свойств кристалла. Особенно широко понятие "симметрии" применительно к физическим законам используется в современной физике. Если законы, устанавливающие соотношения между величинами или определяющие изменение этих величин со временем, не меняются при определенных операциях (преобразованиях), которым может быть подвергнута система, то говорят, что эти законы обладают симметрией (или инвариантны) относительно данных преобразований. Например, закон тяготения действует в любой точки пространства, то есть он является инвариантным по отношению переноса системы как целого в пространстве. По мнению, ученого-энциклопедиста академика В.И. Вернадского, "симметрия ... охватывает свойства всех полей, с которыми имеет дело физик и химик". На явление симметрии в живой природе обратили внимание еще пифагорейцы в связи с развитием ими учения о гармонии. Установлено, что в природе наиболее распространены два вида симметрии - "зеркальная" и "лучевая" (или "радиальная") симметрии. "Зеркальной" симметрией обладает бабочка, листок или жук и часто такой вид симметрии называется "симметрией листка" или "билатеральной симметрией". К формам с лучевой симметрией относятся гриб, ромашка, сосновое дерево и часто такой вид симметрии называется "ромашко-грибной" симметрией.
Еще в 19-м веке исследования в этой области привели к заключению, что симметрия природных форм в значительной степени зависит от влияния сил земного тяготения, которое в каждой точке имеет симметрию конуса. В результате был найден следующий закон, которому подчиняются формы природных тел: "Все то, что растет или движется по вертикали, то есть вверх или вниз относительно земной поверхности, подчиняется радиально-лучевой ("ромашко-грибной") симметрии.

отношению к земной поверхности, подчиняется билатеральной симметрии - "симметрии листка" (одна плоскость симметрии)". Принцип "симметрии" широко используется в искусстве. Бордюры, используемые в архитектурных и скульптурных произведениях, орнаменты, используемы в прикладном искусстве, - все это примеры использования симметрии. Художники разных эпох использовали симметричное построение картины. Симметричными были многие древние мозаики. Живописцы эпохи Возрождения часто строили свои композиции по законам симметрии. Такое построение позволяет достигнуть впечатления покоя, величественности, особой торжественности и значимости событий. В симметричной композиции люди или предметы расположены почти зеркально по отношению к центральной оси картины. Симметрия в искусстве основана на реальной действительности, изобилующей симметрично устроенными формами. Например, симметрично устроены фигура человека, бабочка, снежинка и многое другое. Симметричные композиции - статичные (устойчивые), левая и правая половины уравновешены.
Необычным творчеством голландского художника Морица Корнилиса Эшера (1898-1972). Он создал уникальные и очаровательные работы, в которых использован и показан широкий круг математических идей, в том числе и различных симметрий В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой геометрии.

Творчество Эшера раньше других оценили представители естественных наук, математики и психологи. Считается, что его следует рассматривать в контексте теории относительности Эйнштейна, фрейдовского психоанализа, кубизма и тому подобных открытий в области соотношений пространства, времени и их тождественности, в гравюре Рептилии плоское изображение ящериц чудесным образом наполняется объемом, они словно выползают за пределы рисунка.

стола, проходят кругом, чтобы снова превратиться в двухмерные фигуры. Мозаику рептилий Эшер использовал во многих своих работах.

можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники.

Позже в 1957 году в своем эссе о мозаиках Эшер написал:
«В математических работах регулярное разбиение плоскости рассматривается теоретически... Значит ли это, что данный вопрос является сугубо математическим?»

Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. Во его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

составляет композиция из простейших геометрических элементов.
Абстракционизм как направление в искусстве XX в. является высшим проявлением беспредметного изображения.

Геометризм, кубизм, беспредметничество или другими словами – супрематизм, абстракционизм – это такие направления в живописи, которые сводились к изображению геометрических фигур и всевозможных линий. В наше время мотивы такой живописи часто используются современными дизайнерами при оформлении помещений. Яркими представителями данного течения в живописи является его основоположники, это К.Малевич и В. Кандинский.

как олицетворение трагизма «немоты», стала своеобразным манифестом этого направления.










Василий Васильевич Кандинский (1866-1944), русский художник, который стоял у истоков возникновения абстракционизма в современном изобразительном искусстве.
Абстрагирование - один из основных способов нашего мышления. Его результат - образование наиболее общих понятий и суждений (абстракций). В декоративном искусстве абстрагирование - это процесс стилизации природных форм.

(как говорят: скучная и сухая наука). Но для некоторых этот мир кажется красочным, ярким, удивительным и загадочным, поэтому им удалось самим удивить мир людей и их имена вошли в историю, хотя не все их понимали (возможно из-за своей «близорукости»).
Нельзя сравнивать их искусство, оно разное, но они видели удивительное и красивое там, где многие этого не замечают.
Как бы с укором в адрес математиков звучат слова Эшера- человека, как он считал, далекого от математики: «Математики открыли дверь ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней...».
Может быть стоит приоткрыть эту дверь и заглянуть за нее, чтобы мир находящийся за ней смог удивить нас, поразить своей красотой и необычностью, пробудить интерес к бесконечности неизведанного в математике, удивительные тайны которой скрыты не только за вереницами формул…

Энциклопедия юного математика;
4. Материалы Итернет-сайтов (http://nsportal.ru4. Материалы Итернет-сайтов (http://nsportal.ru; http://www.abc-people.com;
5. Б.В. Гнеденко «Математика в современном мире»;
6. Л.М. Фридман «Учитесь учится математике»;
7. Д.С. Мерешковский «Воскресшие боги Леонарда да Винчи»;
8. И.Г. Зенкевич «Эстетика урока математики»;
9. Детская энциклопедия. Том 12. Искусство;
10. А.В. Волошов «Математика и искусство»;
Н.А. Васютинский «Золотая пропорция»;
И.И. Шевелев «Золотое сечение»;
Д. Пидоу «Геометрия и искусство».