Задача аппроксимации. Виды интерполяции. Параболическая интерполяция. Единственность интерполяционного многочлена. (Лекция 3) презентация

многочлен Лагранжа. Схема Эйткена

на некоторую функцию ϕ(х) так, чтобы отклонение ϕ(х) от f(x) в некоторой области удовлетворяло заданному условию. Функция ϕ(х) называется аппроксимирующей функцией.
В качестве аппроксимирующей функции часто используют алгебраический многочлен вида:
ϕn(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn
В этом случае говорят о параболической аппроксимации.
Интерполяция является важным частным случаем аппроксимации.

n+1 точке:


так, что y0 = f(x0), y1 = f(x1), y2 = f(x2), … yn = f(xn).
Требуется найти функцию F(x), приближающую функцию f(x) (f(x) = F(x) + R(x), где R(x) – погрешность интерполяции), совпадающую с функцией f(x) в точках xi (i=0, 1, 2, …n). Функция f(x) называется интерполируемой, F(x) – интерполирующей, точки xi (i=0, 1, 2, …n) – узлами интерполяции.

лишь при некоторых дискретных значениях аргумента xi, а требуется получить ее приближенные значения в других точках x≠ xi:
если f(xi) – результаты эксперимента (измерений);
если f(xi) – результаты сложных вычислений на компьютере, например, результаты имитационного моделирования;
если f(xi) – табличные значения некоторой элементарной или специальной функции, а требуется получить таблицу с меньшим шагом или значение функции при x≠ xi.

нахождение корня уравнения f(x) = 0 методом обратной интерполяции;
численное дифференцирование и интегрирование функции f(x);
приближенное определение экстремума функции f(x).

n+1 точке:
 
y0 = f(x0), y1 = f(x1), y2 = f(x2), … yn = f(xn).
 
Требуется найти многочлен Pn(x) степени n, значения которого
 
Pn(xi) = f(xi), i=0, 1, 2, … n.

громоздкость, одним из преимуществ формулы Лагранжа является возможность ее записи непосредственно по заданной таблице значений функции. При этом следует учитывать следующие правила:
формула содержит столько слагаемых, сколько узлов в таблице;
каждое слагаемое – это произведение дробного коэффициента на соответствующее значение yi;
числитель коэффициента при yi содержит произведение разностей х со всеми узлами кроме xi, а знаменатель полностью повторяет числитель при подстановке х = xi.

что и в предыдущем разделе. Требуется найти приближенное значение функции в точке x = 0.5 путем квадратичной интерполяции.