Выпуклый анализ. Связь между выпуклыми функциями и выпуклыми множествами. Лекция 14 презентация

Содержание

1. Выпуклый анализ. Связь между выпуклыми функциями и выпуклыми множествами. Лекция 14
2. 4. СВЯЗЬ МЕЖДУ ВЫПУКЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ
3. 4.1. Надграфик выпуклой функции.
5. Упражнение. Решение.
6. Искомое множество строится как пересечение двух множеств
7. Доказательство. и определения множества Лебега выводим
8. Определение 3.
9. Дискриминант этого уравнения Покажем, что не
12. Теорема
13. Зафиксируем точку
14. имеем Полученное противоречие доказывает теорему.
15. 4.3. Опорная функция подмножества
16. Решение.
18. Свойство 4.
19. Пример 3.
20. Доказательство. Вытекает из

4. СВЯЗЬ МЕЖДУ ВЫПУКЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ И ВЫПУКЛЫМИ МНОЖЕСТВАМИ 4.1. Надграфик выпуклой функции. 4.2. Множество Лебега выпуклой функции. 4.3. Опорная функция подмножества пространства

Главная
Математика
Выпуклый анализ. Связь между выпуклыми функциями и выпуклыми множествами. Лекция 14

Слайд 1ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ
ЛЕКЦИЯ 14

4. СВЯЗЬ МЕЖДУ ВЫПУКЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ И
ВЫПУКЛЫМИ МНОЖЕСТВАМИ

Слайд 2

4. СВЯЗЬ МЕЖДУ ВЫПУКЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ И
ВЫПУКЛЫМИ МНОЖЕСТВАМИ

4.1. Надграфик выпуклой

функции.

4.2. Множество Лебега выпуклой функции.

4.3. Опорная функция подмножества пространства

4.4. Опорные функции выпуклых оболочек подмножеств

пространства

Слайд 3

4.1. Надграфик выпуклой функции.
Определение 1.

называется множество

Теорема 1.

была выпуклой,

необходимо и достаточно,

Доказательство.

составим их выпуклую комбинацию

Необходимость.

Слайд 4

Необходимость доказана.
Достаточность.

Тогда

Теорема доказана.

Слайд 5

Упражнение.
Решение.

Слайд 6Искомое множество строится как пересечение двух множеств
Очевидно, что они выпуклы.
Тогда выпукло

и их пересечение

4.2. Множество Лебега выпуклой функции.

Определение 2.

Множество

Теорема 2.

выпукла.

Слайд 7Доказательство.
и определения множества Лебега выводим
Теорема доказана.
Заметим, что обратное

утверждение неверно:

не является выпуклой,

а множества Лебега для нее

Заметим, что эти множества неограниченны.

Слайд 8

Определение 3.

Упражнение 1.
Показать, что это направление единственно.
Решение.
имеет действительные корни.
Действительно,

Слайд 9
Дискриминант этого уравнения
Покажем, что не всякое неограниченное множество имеет рецессивные направления.
является

таковым.

Секущая превращается в касательную и не является рецессивным направлением.

Слайд 10

Лемма 1.
Замкнутое неограниченное выпуклое множество
Доказательство.

Полагаем

Слайд 11

Слайд 12

Теорема 3.

ограниченно.
Доказательство.

Лемма доказана.

Слайд 13

Зафиксируем точку

Тогда

Заметим, что для всех

имеет место
В силу леммы

Слайд 14

имеем
Полученное противоречие доказывает теорему.

Слайд 15

4.3. Опорная функция подмножества пространства

Определение 4.

определенная формулой

Максимум в

правой части (1) действительно достигается

и непрерывности скалярного произведения.

Упражнение.

Решение.

Тогда

Упражнение.

Вычислить опорную функцию квадрата

Слайд 16Решение.

Слайд 17

Свойство 1.
Опорная функция является положительно однородной.
Доказательство.

Свойство 2.

Доказательство.

Свойство 3.

Опорная функция является выпуклой функцией.

Доказательство.

Слайд 18

Свойство 4.

Доказательство.

Следствие.
Справедливо равенство

Доказательство.

Слайд 19

Пример 3.

Решение.
В силу представления

Свойство 5.

Доказательство.

Следствие 1.

Доказательство.

Действительно,

Слайд 20

Доказательство.
Вытекает из предыдущего следствия и свойства 1.
Свойство 6.

Доказательство.

Тогда

Следствие 2.

Действительно,

Слайд 21

Скачать презентацию

Выпуклый анализ. Связь между выпуклыми функциями и выпуклыми множествами. Лекция 14 презентация

Содержание

Слайд 1ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ
ЛЕКЦИЯ 14

4. СВЯЗЬ МЕЖДУ ВЫПУКЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ И
ВЫПУКЛЫМИ МНОЖЕСТВАМИ

Слайд 2

4. СВЯЗЬ МЕЖДУ ВЫПУКЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ И
ВЫПУКЛЫМИ МНОЖЕСТВАМИ

4.1. Надграфик выпуклой

Слайд 3

4.1. Надграфик выпуклой функции.
Определение 1.

называется множество

Теорема 1.

была выпуклой,

Слайд 4

Необходимость доказана.
Достаточность.

Тогда

Теорема доказана.

Слайд 5

Упражнение.
Решение.

Слайд 6Искомое множество строится как пересечение двух множеств
Очевидно, что они выпуклы.
Тогда выпукло

Слайд 7Доказательство.
и определения множества Лебега выводим
Теорема доказана.
Заметим, что обратное

Слайд 8

Определение 3.

Упражнение 1.
Показать, что это направление единственно.
Решение.
имеет действительные корни.
Действительно,

Слайд 9
Дискриминант этого уравнения
Покажем, что не всякое неограниченное множество имеет рецессивные направления.
является

Слайд 10

Лемма 1.
Замкнутое неограниченное выпуклое множество
Доказательство.

Полагаем

Слайд 11

Слайд 12

Теорема 3.

ограниченно.
Доказательство.

Лемма доказана.

Слайд 13

Зафиксируем точку

Тогда

Заметим, что для всех

имеет место
В силу леммы

Слайд 14

имеем
Полученное противоречие доказывает теорему.

Слайд 15

4.3. Опорная функция подмножества пространства

Определение 4.

определенная формулой

Максимум в

Слайд 16Решение.

Слайд 17

Свойство 1.
Опорная функция является положительно однородной.
Доказательство.

Свойство 2.

Доказательство.

Слайд 18

Свойство 4.

Доказательство.

Следствие.
Справедливо равенство

Доказательство.

Слайд 19

Пример 3.

Решение.
В силу представления

Свойство 5.

Доказательство.

Следствие 1.

Слайд 20

Доказательство.
Вытекает из предыдущего следствия и свойства 1.
Свойство 6.

Доказательство.

Тогда

Слайд 21

Обратная связь

Что такое ThePresentation.ru?

Выпуклый анализ. Связь между выпуклыми функциями и выпуклыми множествами. Лекция 14 презентация

Содержание

Слайд 1ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗЛЕКЦИЯ 144. СВЯЗЬ МЕЖДУ ВЫПУКЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ И ВЫПУКЛЫМИ МНОЖЕСТВАМИ

Слайд 24. СВЯЗЬ МЕЖДУ ВЫПУКЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ И ВЫПУКЛЫМИ МНОЖЕСТВАМИ 4.1. Надграфик выпуклой

Слайд 34.1. Надграфик выпуклой функции.Определение 1. называется множество Теорема 1. была выпуклой,

Слайд 4Необходимость доказана. Достаточность. Тогда Теорема доказана.

Слайд 5Упражнение.Решение.

Слайд 6Искомое множество строится как пересечение двух множествОчевидно, что они выпуклы.Тогда выпукло

Слайд 7Доказательство. и определения множества Лебега выводим Теорема доказана. Заметим, что обратное

Слайд 8Определение 3. Упражнение 1.Показать, что это направление единственно.Решение.имеет действительные корни.Действительно,

Слайд 9Дискриминант этого уравненияПокажем, что не всякое неограниченное множество имеет рецессивные направления.является

Слайд 10Лемма 1. Замкнутое неограниченное выпуклое множествоДоказательство. Полагаем

Слайд 11

Слайд 12Теорема 3. ограниченно. Доказательство. Лемма доказана.

Слайд 13Зафиксируем точку Тогда Заметим, что для всех имеет местоВ силу леммы

Слайд 14имеем Полученное противоречие доказывает теорему.

Слайд 154.3. Опорная функция подмножества пространства Определение 4. определенная формулой Максимум в

Слайд 16Решение.

Слайд 17Свойство 1. Опорная функция является положительно однородной. Доказательство. Свойство 2. Доказательство.

Слайд 18Свойство 4. Доказательство. Следствие. Справедливо равенство Доказательство.

Слайд 19Пример 3. Решение. В силу представления Свойство 5. Доказательство. Следствие 1.

Слайд 20Доказательство. Вытекает из предыдущего следствия и свойства 1. Свойство 6. Доказательство.Тогда

Слайд 21

Похожие презентации

Обратная связь

Что такое ThePresentation.ru?

Слайд 1ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ
ЛЕКЦИЯ 14

4. СВЯЗЬ МЕЖДУ ВЫПУКЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ И
ВЫПУКЛЫМИ МНОЖЕСТВАМИ

Слайд 2

4. СВЯЗЬ МЕЖДУ ВЫПУКЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ И
ВЫПУКЛЫМИ МНОЖЕСТВАМИ

4.1. Надграфик выпуклой

Слайд 3

4.1. Надграфик выпуклой функции.
Определение 1.

называется множество

Теорема 1.

была выпуклой,

Слайд 4

Необходимость доказана.
Достаточность.

Тогда

Теорема доказана.

Слайд 5

Упражнение.
Решение.

Слайд 6Искомое множество строится как пересечение двух множеств
Очевидно, что они выпуклы.
Тогда выпукло

Слайд 7Доказательство.
и определения множества Лебега выводим
Теорема доказана.
Заметим, что обратное

Слайд 8

Определение 3.

Упражнение 1.
Показать, что это направление единственно.
Решение.
имеет действительные корни.
Действительно,

Слайд 9
Дискриминант этого уравнения
Покажем, что не всякое неограниченное множество имеет рецессивные направления.
является

Слайд 10

Лемма 1.
Замкнутое неограниченное выпуклое множество
Доказательство.

Полагаем

Слайд 12

Теорема 3.

ограниченно.
Доказательство.

Лемма доказана.

Слайд 13

Зафиксируем точку

Тогда

Заметим, что для всех

имеет место
В силу леммы

Слайд 14

имеем
Полученное противоречие доказывает теорему.

Слайд 15

4.3. Опорная функция подмножества пространства

Определение 4.

определенная формулой

Максимум в

Слайд 17

Свойство 1.
Опорная функция является положительно однородной.
Доказательство.

Свойство 2.

Доказательство.

Слайд 18

Свойство 4.

Доказательство.

Следствие.
Справедливо равенство

Доказательство.

Слайд 19

Пример 3.

Решение.
В силу представления

Свойство 5.

Доказательство.

Следствие 1.

Слайд 20

Доказательство.
Вытекает из предыдущего следствия и свойства 1.
Свойство 6.

Доказательство.

Тогда