Выпуклые четырёхугольники. Специфика параллелограммов. Специфика трапеций презентация

Специфика параллелограммов Специфика трапеций

между ними:

площади данного четырёхугольника.

этих треугольников равны между собой.

Специфика параллелограмма

d12 + d22 = 2(a2 +b2)

Специфика параллелограмма

перпендикулярны.

взаимно перпендикулярны, является ромбом.

3. Параллелограмм, диагонали которого являются биссектрисами его углов, является ромбом.

взаимно перпендикулярны и равны, является квадратом.

Параллелограмм, имеющий равные высоты, является ромбом.

два других – подобны с
коэффициентом подобия равным отношению
оснований трапеции.

△OAD~ △OCB (по двум равным углам),
SOAD : SOCB = k2, где k = AD:BC = OA:OC = OD:OB.

треугольников, имеющих cоответственно одинаковые основания и высоты).

3. SOAB = SOCD (т.к. SOAB = SABC – SOBC = SDBC – SOBC= SOCD).

4. SBAD : SDBC = AD : BC (SBAD = 0,5·AD·h, SDBC = 0,5·BC·h).

произведение площадей тех из них, которые прилежат к основаниям, равно квадрату площади треугольника, прилежащего к любой из боковых сторон трапеции: S1S2 = S2.

(SOAD =S1=0,5·OB·OC·sin α, SOCB = S2 =0,5·OA·OD·sin α,
SOAB =S=0,5·OA·OB·sin(180° – α)=0,5·OA·OB·sin α,
SOCD =S=0,5·OC·OD·sin(180° – α)=0,5·OA·OB·sin α, тогда S1S2 = S2).

того факта, что сумма этих углов равна 180° как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

7. Точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон, середина верхнего и середина нижнего основания – лежат на одной прямой.

Специфика трапеций

Через вершину меньшего основания трапеции провести прямую, параллельную её боковой стороне, до пересечения со вторым основанием; трапеция разбивается на параллелограмм и треугольник.

Из вершины С меньшего основания трапеции ABCD провести прямую CE, параллельную диагонали BD, до пересечения с AD в точке E; получится треугольник ACE, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а длина третьей равна сумме длин оснований трапеции
AE = AD + DE.
При этом площадь трапеции ABCD равна площади образованного треугольника ACE: SABCD = SACE

Достроить трапецию ABCD до треугольника APD, вершина Р которого образуется при пересечении продолжений боковых сторон трапеции.

Построение 3
Из вершин меньшего основания трапеции опустить две высоты BH1 и CH2.

3 и 4, если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны.

АС и ВD – диагонали четырёхугольника ABCD.

По условию КТ = РН; значит, параллелограмм КРТН – прямоугольник, угол КРТ – прямой; следовательно, угол между диагоналями ВD и АС тоже прямой, а значит,
SABCD = 0,5· ВD· АС = 0,5 · 3 · 4 = 6.
Ответ: 6.

2. По свойству средней линии треугольника отрезки КН и РТ параллельны диагонали ВD и равны её половине; отрезки КР и НТ параллельны диагонали АС и равны её половине. Значит, КРТН – параллелограмм.

Отрезки АК и ВD пересекаются в точке Р. Площадь параллелограмма ABCD равна 24, а площадь четырёхугольника РКСD равна 10. Найдите площадь треугольника АРD.

0,5·SAВCD = =0,5·24=12; SКРB = SCDB – SPKCD = 12 – 10 = 2

2. △APD~ △KPB (по двум равным углам); SAРD : SKPB = k2; AP=k·PK, DP=k·PB

3. △AВP и △ВPK имеют общую высоту из вершины В, значит, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е. SAВP : SKPB = АP : PK = k (из п.2)

4. △APD и △ABP имеют общую высоту из вершины A, значит, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е. SAP D : SAВP = DP : PB = k (из п.2)

п.4 и п.5
SAPD = k·SABP = k·2k = 2k2

SABD = SAВP + SAPD = 2k + 2k2 .
Из п.1 следует 2k + 2k2 = 12.
Корни уравнения k2 + k – 6 = 0 числа –3 и 2;
по смыслу задачи k = 2.

8. SAPD = 2k2 = 2·22 = 8.

Ответ: 8.

точке О. Площади треугольников OАD и OCВ равны соответственно 16 см2 и 9 см2. Найдите площадь трапеции.

– основания трапеции ABCD.

2. △OAD~ △OCB (по двум равным углам), SOAD : SOCB = k2 =16:9, где k = 4:3 = OA:OC.

общее основание AD и их высоты, проведённые к этому основанию, равны как высоты трапеции. Значит,
SOAB = SABC – SOBC = SDBC – SOBC= SOCD , т. е. SOCD = SOAB = 12.

5. SAВCD = SOAD + SOCB + SOCD + SOAB =16 + 9 + 12 +12 = 49 cм2.

Ответ: 49 cм2.

проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны MN и KP в точках A и B соответственно. Найдите длину отрезка AB, если
MP=40 см, NK=24 см.

CE и AD. Тогда ABCF – параллелограмм (по определению параллелограмма ). BF – диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника; SFCB = 0,5·SABCF

основание AB и общую высоту, проведённую к AB. Значит,
SАВЕ = 0,5·SABCF = SDCB = 15.
Ответ: 15.

2. SDCB = SFCB (как площади треугольников, имеющих общее основание и одинаковую высоту – высоту трапеции). Значит,
SDCB = SFCB = 0,5·SABCF = 15.

диагоналям трапеции провели перпендикуляры BH и CE. Найдите площадь четырёхугольника BCEH, если площадь трапеции ABCD равна 36.

Так как AB=BC=CD,  треугольники    ABC и DCB  равнобедренные, следовательно,  BH и CE – соответствующие медианы этих треугольников. Значит,  AH=HC=BE=ED.
Отрезок HE соединяет середины диагоналей трапеции, cледовательно, прямые HE, AD и BC параллельны, поэтому, BCEH – трапеция.

2. Найдите площадь трапеции.

Решение. 1. Дополнительное построение: СМ параллельна KL, CF параллельна BD.
2. Из построения следует: LKCM и DBCF параллелограммы; LM = KC = 0,5·BC, DF= BC, AM = AL+LM = 0,5· AD + 0,5·BC.
3. CM – медиана треугольника ACF. По формуле медианы

= 0,5·(AD+DF)·h = 0,5·AF·h = SACF=6.

Ответ: 6.

Полупериметр треугольника ACF равен

отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны. 2. В выпуклом четырёхугольнике ABCТ длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CТ, равна одному метру. Прямые BТ и AC перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и BТ. 3. На стороне ВC параллелограмма ABCD выбрана точка К. Отрезки АК и ВD пересекаются в точке Р. Площадь параллелограмма ABCD равна 80, а площадь четырёхугольника РКСD равна 31. Найдите площадь треугольника АРD.

Задачи для самостоятельного решения

Площади треугольников АOD и ВOC равны соответственно 25 см2 и 16 см2. Найдите площадь трапеции. 5. Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны AB и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка ЕF , если AD= =12 см, ВC=24 см. 6. В трапеции ABCD (AD параллельна BC, AD > BC) на диагонали AC выбрана точка Е так, что ВЕ параллельна CD. Площадь треугольника АВC равна 10. Найдите площадь треугольника DЕC.

Задачи для самостоятельного решения

Учебное пособие для учащихся старших классов и поступающих в вузы. – Москва, НТЦ «Университетский» УНИВЕР-ПРЕСС, 2008. ✓ И.В. Ященко, С.А. Шестаков и др. Математика. 9 класс. Типовые тестовые задания. – «Экзамен», Москва, 2013. ✓ Образовательный портал для подготовки к экзаменам РЕШУ ЕГЭ ✓ http://pedsovet.su/load/321 ✓ http://www.mathvaz.ru/ ✓ http://alexlarin.net/

Использованные источники