- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Векторный анализ. Лекция 4 презентация
Содержание
- 1. Векторный анализ. Лекция 4
- 2. §4 Поверхности второго порядка Поверхности второго
- 3. Цилиндрическая поверхность Множество всех точек, лежащих на
- 4. Требуется составить уравнение этой цилиндрической поверхности
- 5. Подставив в равенство (*) вместо хN и
- 6. Замечания Уравнение цилиндрической поверхности, подобной рассмотренной,
- 7. Пример.
- 8. Поверхности второго порядка Общее уравнение поверхности
- 9. Поверхности второго порядка Теорема. Общее
- 10. Эллипсоид
- 11. Однополостный гиперболоид
- 12. Двухполостный гиперболоид
- 13. Коническая поверхность второго порядка (конус)
- 14. Эллиптический параболоид
- 15. Гиперболический параболоид
- 16. 7.
- 17. Параболический цилиндр
- 18. 10.
- 20. Метод сечений Пересечение исследуемой поверхности
- 21. Метод сечений Из уравнения видно,
- 22. Эллипсоид Дальше исследуем форму эллипсоида по его
- 23. Эллипсоид Аналогично устанавливается сечение данного эллипсоида
- 24. Эллипсоид Рассмотрим теперь сечение эллипсоида с
- 25. Эллипсоид Если положить
- 26. Эллипсоид При
- 27. Эллипсоид Таким образом, эллипсоид представляет собой
- 28. Гиперболоиды Каноническое уравнение однополостного
- 29. Гиперболоид Исследуем форму этого гиперболоида по его
- 30. Гиперболоид Эти уравнения определяют эллипс с полуосями
- 31. Гиперболоид Линией пересечения данного гиперболоида с
- 32. Двуполостный гиперболоид
- 33. Двуполостный гиперболоид В сечении данного гиперболоида с
- 34. Двуполостный гиперболоид Линии пересечения данного гиперболоида с
- 35. Двуполостный гиперболоид Полуоси и
- 36. Двуполостный гиперболоид Линией пересечения двухполостного гиперболоида с
- 37. Коническая поверхность второго порядка
- 38. Эллиптический параболоид
- 39. https://www.youtube.com/watch?v=qBeBPl6N2p0
§4 Поверхности второго порядка Поверхности второго порядка описываются уравнениями второго порядка относительно переменных x, y, z. Среди поверхностей второго порядка выделим цилиндрические поверхности.
Слайд 2§4 Поверхности второго порядка
Поверхности второго порядка описываются уравнениями второго порядка относительно
переменных x, y, z.
Среди поверхностей второго порядка выделим цилиндрические поверхности.
Среди поверхностей второго порядка выделим цилиндрические поверхности.
Слайд 3Цилиндрическая поверхность
Множество всех точек, лежащих на прямых (образующих), параллельных данной прямой
(l) и пересекающих данную линию (γ) (направляющую).
Пусть образующая цилиндрической поверхности (σ) параллельна одной из осей координат прямоугольной системы Охуz, например, Oz.
Ее направляющая (γ) ее лежит в
плоскости Оху и описывается
уравнениями
Пусть образующая цилиндрической поверхности (σ) параллельна одной из осей координат прямоугольной системы Охуz, например, Oz.
Ее направляющая (γ) ее лежит в
плоскости Оху и описывается
уравнениями
x
y
z
Слайд 4Требуется составить уравнение этой цилиндрической поверхности
Точка
, где (l) – одна из
образующих цилиндрической поверхности (σ), которая
пересекает направляющую (γ) в точке .
Т.к. точка N∈ (γ), то . (*)
Точки М и N принадлежат одной и той же прямой (l),
параллельной оси Oz, и, следовательно, .
образующих цилиндрической поверхности (σ), которая
пересекает направляющую (γ) в точке .
Т.к. точка N∈ (γ), то . (*)
Точки М и N принадлежат одной и той же прямой (l),
параллельной оси Oz, и, следовательно, .
Слайд 5Подставив в равенство (*) вместо хN и yN соответственно х и
у, получим равенство F(x,y)=0, которое является уравнением цилиндрической поверхности (σ).
Итак, F(x,y)=0 есть уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz, и направляющей, расположенной в плоскости Оху.
Итак, F(x,y)=0 есть уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz, и направляющей, расположенной в плоскости Оху.
Слайд 6Замечания
Уравнение цилиндрической поверхности, подобной
рассмотренной, совпадает с уравнением ее направляющей, расположенной
в одной из координатных плоскостей прямоугольной системы Охуz.
2. Уравнение не содержит одной переменной, одноименной с осью, параллельной образующей цилиндрической поверхности.
2. Уравнение не содержит одной переменной, одноименной с осью, параллельной образующей цилиндрической поверхности.
Слайд 7
Пример.
-
уравнение цилиндрической
поверхности с образующей, параллельной оси Oz
(в уравнении отсутствует переменная z), с направляющей, расположенной в плоскости Оху и
представляющей параболу с тем же самым уравнением.
уравнение цилиндрической
поверхности с образующей, параллельной оси Oz
(в уравнении отсутствует переменная z), с направляющей, расположенной в плоскости Оху и
представляющей параболу с тем же самым уравнением.
x
y
z
Слайд 9Поверхности второго порядка
Теорема.
Общее уравнение поверхности 2-го порядка с помощью симметрии
относительно плоскости, поворота оси и параллельного переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к одному из следующих канонических уравнений:
Слайд 1810.
- пара пересекающихся плоскостей,
11. - пара параллельных плоскостей,
12. - пара совпадающих плоскостей,
- прямая х=у=0 (пара мнимых пересекающихся плоскостей),
11. - пара параллельных плоскостей,
12. - пара совпадающих плоскостей,
- прямая х=у=0 (пара мнимых пересекающихся плоскостей),
Слайд 19
- точка (0, 0, 0) (мнимый конус),
- ∅ (мнимый эллипсоид),
16. - ∅ (мнимый эллиптический цилиндр),
17. - ∅ (пара мнимых параллельных плоскостей).
Указанное в теореме преобразование системы координат называется приведением к главным осям.
- ∅ (мнимый эллипсоид),
16. - ∅ (мнимый эллиптический цилиндр),
17. - ∅ (пара мнимых параллельных плоскостей).
Указанное в теореме преобразование системы координат называется приведением к главным осям.
Слайд 20Метод сечений
Пересечение исследуемой поверхности с плоскостью
дает плоскую кривую. Ряд таких
пересечений (называемых
сечениями) позволяет выяснить строение поверхности.
1. Эллипсоид.
Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид:
(a>0,b>0,c>0).
Исследуем форму эллипсоида по его уравнению.
сечениями) позволяет выяснить строение поверхности.
1. Эллипсоид.
Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид:
(a>0,b>0,c>0).
Исследуем форму эллипсоида по его уравнению.
Слайд 21Метод сечений
Из уравнения видно, что эллипсоид представляет собой ограниченную поверхность, заключенную
в параллелепипеде
Координатные плоскости являются плоскостями симметрии эллипсоида, оси координат – его осями симметрии (все оси эллипсоида вещественны, т.е. их эллипсоид пересекает), начало координат – центром симметрии эллипсоида.
Координатные плоскости являются плоскостями симметрии эллипсоида, оси координат – его осями симметрии (все оси эллипсоида вещественны, т.е. их эллипсоид пересекает), начало координат – центром симметрии эллипсоида.
Слайд 22Эллипсоид
Дальше исследуем форму эллипсоида по его сечениям
плоскостями. Рассмотрим сечение эллипсоида
координатной
плоскостью Оху. В сечении получается линия:
Эта линия представляет собой
эллипс с полуосями a и b.
плоскостью Оху. В сечении получается линия:
Эта линия представляет собой
эллипс с полуосями a и b.
Слайд 23Эллипсоид
Аналогично устанавливается сечение данного эллипсоида
с плоскостью Oxz
- эллипс с полуосями a и с,
и с плоскостью Оуz
- эллипс с полуосями b и с.
и с плоскостью Оуz
- эллипс с полуосями b и с.
Слайд 24Эллипсоид
Рассмотрим теперь сечение эллипсоида с плоскостями
, параллельными плоскости Оху.
Уравнения линий пересечения будут
или
Уравнения линий пересечения будут
или
Слайд 25Эллипсоид
Если положить
,
то уравнения запишутся в виде
Отсюда видно, что полуоси и являются
действительными числами лишь при и линия
пересечения эллипсоида с плоскостью z=h представляет
собой эллипс с полуосями и .
то уравнения запишутся в виде
Отсюда видно, что полуоси и являются
действительными числами лишь при и линия
пересечения эллипсоида с плоскостью z=h представляет
собой эллипс с полуосями и .
Слайд 26Эллипсоид
При эллипсоид и плоскость
пересекаются в
одной точке (вырожденный эллипс).
Если |h|>c, то эллипсоид и плоскость не имеют общих
точек (пересекаются по мнимому эллипсу).
Аналогично находим, что в пересечении эллипсоида с
плоскостями, параллельными координатным плоскостям
Oxz и Oyz, получаются также эллипсы.
одной точке (вырожденный эллипс).
Если |h|>c, то эллипсоид и плоскость не имеют общих
точек (пересекаются по мнимому эллипсу).
Аналогично находим, что в пересечении эллипсоида с
плоскостями, параллельными координатным плоскостям
Oxz и Oyz, получаются также эллипсы.
Слайд 27Эллипсоид
Таким образом, эллипсоид представляет собой
ограниченную поверхность, линиями пересечения которой
с
координатными плоскостями и им параллельными
являются эллипсы. Числа a,b,c называются полуосями
эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид
называется трехосным. Если a=b=c, то эллипсоид
превращается в сферу.
Замечание. Эллипсоид может быть получен равномерным
сжатием сферы относительно двух перпендикулярных его
плоскостей симметрии.
являются эллипсы. Числа a,b,c называются полуосями
эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид
называется трехосным. Если a=b=c, то эллипсоид
превращается в сферу.
Замечание. Эллипсоид может быть получен равномерным
сжатием сферы относительно двух перпендикулярных его
плоскостей симметрии.
Слайд 28Гиперболоиды
Каноническое уравнение однополостного гиперболоида.
, (a>0,b>0,c>0).
Из уравнения видно, что координатные
плоскости прямоугольной системы
координат Охуz являются плоскостями
симметрии, оси координат – осями
симметрии (две оси – вещественные,
одна - мнимая), начало координат –
– центром симметрии однополостного
гиперболоида.
Из уравнения видно, что координатные
плоскости прямоугольной системы
координат Охуz являются плоскостями
симметрии, оси координат – осями
симметрии (две оси – вещественные,
одна - мнимая), начало координат –
– центром симметрии однополостного
гиперболоида.
Слайд 29Гиперболоид
Исследуем форму этого гиперболоида по его сечениям
координатными и параллельными им
плоскостями.
Линия пересечения гиперболоида с плоскостью Оху имеет
уравнения:
Линия пересечения гиперболоида с плоскостью Оху имеет
уравнения:
Слайд 30Гиперболоид
Эти уравнения определяют эллипс с полуосями а и b.
Линиями пересечения
данного гиперболоида с плоскостями
z=h (h∈R), параллельными координатной плоскости Оху,
будут эллипсы
или
с полуосями
Полуоси и неограниченно увеличиваются с увеличением |h|.
z=h (h∈R), параллельными координатной плоскости Оху,
будут эллипсы
или
с полуосями
Полуоси и неограниченно увеличиваются с увеличением |h|.
Слайд 31Гиперболоид
Линией пересечения данного гиперболоида с плоскостью
Oxz будет гипербола
с действительной
полуосью Ox и мнимой осью Oz, а и с – полуоси гиперболы, с плоскостью Оуz - гипербола
с полуосями b и с.
Числа a,b,c называются полуосями однополостного гиперболоида.
с полуосями b и с.
Числа a,b,c называются полуосями однополостного гиперболоида.
Слайд 32Двуполостный гиперболоид
, (a>0, b>0, c>0).
Из этого уравнения видно, что
координатные плоскости являются
плоскостями симметрии, оси
координат – осями симметрии
(одна ось – вещественная, две оси –
– мнимые), а начало координат –
– центром симметрии двухполостного
гиперболоида.
Из этого уравнения видно, что
координатные плоскости являются
плоскостями симметрии, оси
координат – осями симметрии
(одна ось – вещественная, две оси –
– мнимые), а начало координат –
– центром симметрии двухполостного
гиперболоида.
Слайд 33Двуполостный гиперболоид
В сечении данного гиперболоида с координатной
плоскостью Оху получается мнимый
эллипс:
Это значит, что плоскость z=0 не пересекает гиперболоид.
Это значит, что плоскость z=0 не пересекает гиперболоид.
Слайд 34Двуполостный гиперболоид
Линии пересечения данного гиперболоида с
плоскостями z=h представляют собой эллипсы,
уравнения
которых имеют вид:
или
где
которых имеют вид:
или
где
Слайд 35Двуполостный гиперболоид
Полуоси и являются действительными числами
лишь
при Это означает, что в пространстве между
плоскостями z=с и z= – с не содержится точек рассматриваемой поверхности.
Эта поверхность состоит из двух полостей, расположенных так, как показано на рисунке.
плоскостями z=с и z= – с не содержится точек рассматриваемой поверхности.
Эта поверхность состоит из двух полостей, расположенных так, как показано на рисунке.
Слайд 36Двуполостный гиперболоид
Линией пересечения двухполостного гиперболоида с плоскостью Oxz будет гипербола
с
действительной полуосью с и мнимой полуосью а, с плоскостью Оуz - гипербола
с действительной полуосью с и мнимой полуосью b.
Числа a, b, c называются полуосями двухполостного гиперболоида.
с действительной полуосью с и мнимой полуосью b.
Числа a, b, c называются полуосями двухполостного гиперболоида.
Слайд 37Коническая поверхность второго порядка
(a>0, b>0, c>0).
Аналогичные исследования
позволяют выявить
строение этой поверхности.
Слайд 38Эллиптический параболоид
(p>0,q>0).
Из уравнения видно, что координатные
плоскости Охz, Оуz являются
плоскостями симметрии параболоида,
а Oz – ось симметрии его. Начало
координат О – вершина параболоида.
Из уравнения видно, что координатные
плоскости Охz, Оуz являются
плоскостями симметрии параболоида,
а Oz – ось симметрии его. Начало
координат О – вершина параболоида.
