Теория вероятностей и математическая статистика презентация

Содержание

Список литературы 1. Н.Н. Одияко, Н.Ю. Голодная. Теория вероятностей. Учебное пособие. 2. Н.Н. Одияко, Н.А. Бажанова. Обработка одномерной выборки. 3. Н.Ю. Голодная, Н.Н. Одияко. Математическая статистика.

Слайд 1Теория вероятностей и математическая статистика

Слайд 2Список литературы
1. Н.Н. Одияко, Н.Ю. Голодная. Теория
вероятностей. Учебное пособие.

2.

Н.Н. Одияко, Н.А. Бажанова. Обработка
одномерной выборки.

3. Н.Ю. Голодная, Н.Н. Одияко.
Математическая статистика. Теория
корреляции в расчетах. Часть2.

Слайд 34. В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и
математическая статистика.

5. В.Е. Гмурман. Руководство к

решению
задач по теории вероятностей и
математической статистике.


Слайд 4Основные понятия комбинаторики

Слайд 5Правило умножения

Слайд 6Пусть требуется выполнить одно за
другим какие-то действия.

Если
первое действие можно выполнить
способом, второе действие -
способами, третье - способами и т.д.
до действия, которое можно
выполнить способами, то все
действий вместе быть выполнены
могут быть выполнены
способами.








Слайд 7Правило сложения

Слайд 8Если два действия взаимно исключают друг друга , причём одно из

них можно выполнить способами, а другое- способами, то выполнить одно любое из этих действий можно способами.
Это правило распространяется на любое конечное число действий.



Слайд 9

Опр. Последовательность
элементов называется
упорядоченной, если порядок


следования элементов в ней задан

Слайд 10
Опр. Размещением из элементов по

элементов называется любое упорядоченное подмножество из элементов множества, состоящего из различных элементов:






Слайд 11Опр. Перестановками из элементов называется любое упорядоченное множество,

в которое входят по одному разу все различные элементы данного множества:




Слайд 12Опр. Сочетанием из элементов по элементов называется любое подмножество

из элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из различных элементов:








Слайд 13СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Слайд 14Опр. Испытание (опыт, эксперимент)-
выполнение определенного комплекса
условий, в которых наблюдается то

или
иное явление, фиксируется тот или иной
результат

Слайд 15Опр. Событие называется случайным по отношению к данному испытанию (опыту), если

при осуществлении этого испытания (опыта) оно может наступить или не наступить.

Событие обозначается:


Слайд 16 Определения.
1.Событие , которое

в результате опыта обязательно произойдет называется достоверным.
2.Событие, которое в результате опыта никогда не наступит называется невозможным.
3. Если одновременно одно событие влечет за собой другое и наоборот, такие события называются равносильными.

Слайд 17 4. События называются несовместными,
если наступление одного из

них исключает
наступление любого другого.
5. События называются
равновозможными, если в результате
испытания по условиям симметрии ни одно
из этих событий не является объективно
более возможным.

Слайд 18 6. События называются
единственно возможными, если появление в
результате испытания

одного и только
одного из них является практически
достоверным событием.


Слайд 197. Несколько событий образуют
полную группу, если они являются
единственно возможными и


несовместными исходами испытания.

Это означает, что в результате
испытания обязательно должно
произойти одно и только одно из этих
событий.

Слайд 20«Статистическое определение» вероятности случайного события

Слайд 21Опр. Пусть при - кратном повторении опыта

событие произошло раз. Частотой события называется отношение







Слайд 22 Опр.
Вероятность случайного события – это
связанное

с данным событием постоянное
число, около которого колеблется частота
наступления этого события в длинных
сериях опытов.

Слайд 23



Если событие - достоверное, то


Если событие

- невозможное, то






Слайд 24Комбинация событий

Слайд 25
Опр. Суммой событий и называется событие

+ , состоящее в том, что в опыте произойдет хотя бы одно из этих событий или .














Слайд 27

Опр. Произведением событий и
называется событие

, состоящее в
одновременном появлении этих
событий.








Слайд 29
Опр. Событие называется противоположным событию , если

оно считается наступившим тогда и только тогда, когда не наступает.









Слайд 31Опр. Разностью двух событий


и называется событие, которое
состоится, если событие произойдет, а
событие не произойдет.

Слайд 33Правило сложения вероятностей.

Слайд 34
Если события несовместны, то
вероятность их суммы равна сумме
вероятностей этих

событий:


Слайд 35Следствие.

Слайд 37Классический способ подсчета вероятности

Слайд 38Эту формулу применяют в тех случаях, когда исходы некоторого испытания образуют

полную группу событий и равновозможны.
Такие исходы называются элементарными исходами


Слайд 40Вероятность события равна отношению
числа элементарных исходов,
благоприятных для этого события,

к
общему числу элементарных исходов.

Слайд 41Геометрическое определение вероятности

Слайд 42Опр. Геометрической вероятностью
события называется отношение меры
области благоприятствующей появлению
события

, к мере всей области


Слайд 43Условная вероятность

Слайд 44Опр. Условной вероятностью
события относительно события


называется вероятность осуществления
события при условии, что событие
уже произошло.









Слайд 46Пример. Слово “лотос” составлено из одинаковых букв- кубиков. Кубики рассыпаны. Берут

наугад один за другим три кубика. Какова вероятность того, что при этом появиться слово “сто”.
Решение: - проявиться слово «сто»
- первой извлечена “с”
- второй извлечена “т”
- третьей извлечена “о”





Слайд 47Представим событие в виде:







Слайд 48Тогда:




Слайд 49Независимые события

Слайд 50Опр. События называются
независимыми, если наступление одного
не меняет шансов появления

другого .

Если события и независимы, то




Слайд 51ЗАМЕЧАНИЯ.
Для совместных событий:

Для несовместных событий:

Для независимых событий:

Для зависимых событий:





Слайд 52ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

Слайд 53
Предположим, что событие может наступить только вместе с

одним из нескольких попарно несовместных событий


тогда имеет место формула




Слайд 54ФОРМУЛА БАЙЕСА

Слайд 55Эта формула решает следующую задачу: пусть произведен опыт, и в результате

него наступило событие
Сам по себе этот факт ещё не позволяет сказать, какое из событий имело место в проделанном опыте. Можно поставить следующую задачу: найти вероятности







Слайд 57Формула Бернулли

Слайд 58



где - столько раз проводили опыт;

- число появления соб. ;
- вероятность появления соб. ;
- вероятность не появления соб. ,










Слайд 59Замечание.
Формулу Бернулли используют при

Слайд 61

т.к.

и ,

то эту формулу можно переписать в виде





Слайд 62Событие произойдет:

а) менее раз



б)

не менее раз








Слайд 63
в) более раз




г) не более

раз







Слайд 64Наиболее вероятное число успехов

Слайд 65Рассмотрим





Слайд 67Вероятность при больших значениях


Слайд 68Локальная приближенная формула Лапласа ( -велико)

Слайд 71Интегральная формула Лапласа

Слайд 72Формула позволяет найти




Слайд 73Пусть


Слайд 74Свойства интегральной функции
Лапласа

1)



2)




Слайд 75Тогда


где



Слайд 76Формулы применяются при

но при

дают
незначительную погрешность при
выполнении условия



Слайд 77Вероятность того, что частота наступления соб. в опытах

отклонится от вероятности соб. не более чем на :






Слайд 78Приближенная формула Пуассона

Слайд 79 велико,






Слайд 80Док-во: Воспользуемся формулой Бернулли



т.к.

, то











Слайд 83Формулу Пуассона можно использовать
если велико,








Слайд 84Случайные величины

Слайд 85
Опр. Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то

или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.

Слайд 86
Опр. Дискретной случайной величиной называют такую случайную величину, множество возможных

значений которой либо конечно, либо бесконечно, но обязательно счетно.

Слайд 87

Опр. Непрерывной случайной величиной называют такую случайную величину, которая может принять

любое значение из некоторого конечного или бесконечного интервала.

Слайд 88

Случайные величины:

;


значения: .



Слайд 89Операции над случайными величинами.

Слайд 91Определение.
Суммой случайных
величин

и называется случайная величина , возможные значения которой есть





Слайд 93
Опр. Произведением случайных величин и называется случайная величина

, возможные значения которой есть





Слайд 95Опр. Произведением случайной величины

на постоянную называется случайная величина , возможные значения которой есть









Слайд 96Закон распределения случайной величины

Слайд 97

Опр. Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь

между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями.

Слайд 98
Закон распределения случайной величины можно задать, как и функцию: табличным, графическим

и аналитическим способами.

Слайд 99

Опр. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения вероятностей одной

из них не зависит от того какие возможные значения приняла другая.

Слайд 100Табличный способ

Слайд 101 Ряд распределения случайной величины

Слайд 102Пусть
тогда



тогда

тогда
…………………………………

тогда









Слайд 105Графический способ

Слайд 106Многоугольник распределения

Слайд 108Аналитический способ

Слайд 109Функция распределения вероятностей

Слайд 110
Опр. Функцией распределения вероятностей случайной величины называется функция

, задающая вероятность того, что случайная величина принимает значение, меньшее , т.е. .






Слайд 111Свойства функции распределения.

Слайд 1121.

;
Т.к , а
2. - неубывающая функция и для

















Слайд 115Т.к.

Отсюда
- неубывающая.

Слайд 1163. Если - функция распределения,
то




4.Если - непрерывная случайная величина, то .









Слайд 117
Если - дискретная случайная величина,

то


















Слайд 118



…………………………………………...........






Слайд 121Плотность распределения вероятностей

Слайд 122Пусть -непрерывная случайная величина.
Рассмотрим вероятность попадания значений

случайной величины в элементарный участок





Слайд 123




Обозначим

Слайд 124

Опр. Дифференциальной функцией распределения или плотностью распределения вероятностей наз. первая производная

интегральной функции распределения


Слайд 125График дифференциальной функции распределения наз. кривой распределения:



Слайд 126Свойства плотности распределения вероятности.

Слайд 1271.Для
2.Для имеет место равенство


3.

4.





Слайд 128Числовые характеристики случайных величин.

Слайд 129Математическое ожидание.

Слайд 131Опр. Математическим ожиданием
дискретной случайной величины наз.
сумма произведений

всех возможных
значений случайной величины на
соответствующие вероятности появления
этих значений:




Слайд 132Пусть случайная величина приняла значения
Причем

появилось раз,
появилось раз,
……………………….,
появилось раз.



где












Слайд 133
При

.




Тогда .




Слайд 134Опр. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины , возможные значения

которой принадлежат , называется



Если возможные значения принадлежат

, то






Слайд 135Свойства математического ожидания

Слайд 136 1.
2.
3.Если независимые случайные

величины, то

4.Если независимые случайные величины, то

5.








Слайд 137Пример 1.



Слайд 138Пример 2.

Слайд 141Дисперсия
Опр. Математическое ожидание квадрата отклонения СВ от

её математического ожидания называют дисперсией СВ :






Слайд 142Если СВ - дискретная СВ, то




Если

СВ - дискретная СВ, то





Слайд 143

Среднее квадратическое отклонение



Слайд 144Свойства дисперсии
1.
2.
3.
4.
5.





Слайд 145Опр. СВ

называется центрированной:


Опр. СВ называется стандартной:





Слайд 146Опр. Начальным моментом порядка

СВ называется



Опр. Центральным моментом порядка СВ называется









Слайд 147Опр. Коэффициентом асимметрии наз-ся величина :






Слайд 148Опр. Эксцессом наз-ся величина



Слайд 149Виды распределения

Слайд 150Равномерное распределение

Слайд 153Нормальное распределение

Слайд 155


Если СВ ~

, то





Слайд 156
Если СВ ~

, то






Слайд 157
Обозначим , тогда




Слайд 158Пусть




Слайд 159Правило «трёх сигм»: если СВ распределена по нормальному закону, то отклонение

этой величины от её по абсолютной величине практически не превышает утроенного среднего квадратического отклонения.
Если СВ ~ , т.е.
СВ - стандартная, то







Слайд 160Биномиальное распределение

Слайд 162Распределение Пуассона

Слайд 164Закон больших чисел

Слайд 165Неравенство Чебышева

Слайд 166Пусть имеется СВ с математическим ожиданием

и дисперсией . Каково бы ни было положительное число , вероятность того, что величина отклонится от своего математического ожидания не меньше чем на , ограничена сверху числом








Слайд 167
Если СВ , для которой существует математическое ожидание

, может принимать только неотрицательные значения(т.е. ), то вероятность того, что принятое ею значение окажется не меньше 1, не превосходит числа






Слайд 168Следствие




Слайд 169Теорема Чебышева

Слайд 170 Пусть имеется бесконечная последовательность независимых случайных величин

с одним и тем же математическим ожиданием и дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной:

Тогда каково бы ни было положительное число






Похожие презентации

Уравнение прямой 785
Кластерный анализ 310
Элементарная теория устойчивости динамических систем 435
презентация на тему сложные слова 293
презентация "графический диктант" 455
Описательная статистика 327

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика