- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Теория рядов презентация
Содержание
- 1. Теория рядов
- 2. 1.3. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными
- 3. Пример 1
- 4. Решение Сравним его
- 5. Пример 2
- 6. Решение Сравним его
- 7. Предельный признак сравнения. Пусть
- 8. Пример 3
- 9. Решение Сравним его с
- 10. В отличие от признаков сравнения, где всё
- 11. Признак Даламбера (1717-1783 фр. математик) Если в
- 12. Замечание: 1) Если же ℓ=1,
- 13. Пример 4
- 14. Решение Ответ: ряд сходится
- 15. Пример 5
- 16. Решение Ответ: ряд расходится
- 17. Пример 6
- 18. Решение
- 19. Признак Даламбера не дает
- 20. Пример 7
- 21. Решение
- 22. Признак Даламбера не дает
- 23. Заметим, что
- 24. Пример 8
- 25. Решение Признак Даламбера не дает
- 26. Признак Коши (Cauchy 1789-1857) Пусть дан ряд
- 27. Пример 9
- 28. Пример 10
- 29. Решение Признак
- 30. Интегральный признак Пусть дан ряд с положительными
- 31. Пример 11
- 32. Решение Ответ: ряд
- 33. Пример 12
- 34. Решение Ответ: ряд сходится
- 35. Обобщенный гармонический ряд
- 36. Эта функция непрерывная, монотонно убывает
- 37. Пример 13
- 38. Пример 14
- 39. Рассмотренные признаки сходимости (есть и другие) рядов
Слайд 21.3. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
Признак сравнения.
Пусть
причем un≤vn для всех n, начиная с некоторого. Тогда:
если сходится, то сходится и ряд
2) если расходится, то расходится и ряд
и
- ряды с положительными членами,
Слайд 4Решение
Сравним его с убывающей геометрической прогрессией:
Каждый член первого ряда, начиная
соответствующего члена второго ряда:
Второй ряд сходится, следовательно первый ряд сходится.
Ответ: ряд сходится
Слайд 6Решение
Сравним его с гармоническим рядом:
Каждый член первого ряда, начиная со
соответствующего члена второго ряда:
А ряд второй расходится, следовательно расходится и
первый. Ответ: ряд расходится
Слайд 7Предельный признак сравнения.
Пусть
Если существует конечный и отличный
отношения одинаковых по номеру членов рядов
то эти ряды одновременно сходятся или расходятся.
и
- ряды с положительными членами,
Если члены un и vn двух положительных рядов являются бесконечно малыми одного порядка, то эти ряды сходятся или расходятся одновременно.
Слайд 9Решение
Сравним его с гармоническим рядом:
Так как гармонический ряд расходится, то
тоже расходится. Ответ: ряд расходится
Слайд 10 В отличие от признаков сравнения, где всё зависит от догадки и
Слайд 11Признак Даламбера (1717-1783 фр. математик)
Если в ряде с положительными членами
выполняется
то данный ряд сходится, если ℓ<1;
ряд расходится, если ℓ >1.
Слайд 12 Замечание:
1) Если же ℓ=1, то ряд может быть как сходящийся, так
2) Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражение вида n! или an.
Слайд 19
Признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Но
то не выполняется необходимое условие сходимости ряда, следовательно ряд расходится.
Ответ: ряд расходится
Слайд 22
Признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим
то есть ряд может быть сходящимся или расходящимся. Установим сходимость другим путем:
Слайд 23
Заметим, что
Данный ряд можем записать в виде:
-частичная
То есть ряд сходится и его сумма равна 1.
Слайд 25Решение
Признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.
Ответ: ряд расходится
Слайд 26Признак Коши (Cauchy 1789-1857)
Пусть дан ряд с положительными членами
Допустим, что существует
Тогда данный ряд сходится, если ℓ<1;
ряд расходится, если ℓ >1.
В случае, когда ℓ=1, вопрос о сходимости ряда остается
открытым.
Слайд 29
Решение
Признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.
Ответ: ряд расходится
Слайд 30Интегральный признак
Пусть дан ряд с положительными членами
причем
и
что f(n)=un.
Тогда данный ряд и несобственный интеграл
одновременно сходятся или расходятся.
Слайд 32
Решение
Ответ: ряд расходится
Эта функция непрерывная, монотонно убывает и
Следовательно,
выполнены. Имеем
Слайд 34
Решение
Ответ: ряд сходится
Эта функция непрерывная, монотонно убывает и
Следовательно,
выполнены. Имеем
Слайд 35Обобщенный гармонический ряд
Интегральный признак целесообразно применять для исследования сходимости обобщенного гармонического
Слайд 36
Эта функция непрерывная, монотонно убывает и
Следовательно, условия интегрального признака
выполнены.
ряд сходится
ряд расходится
При p=1 имеем гармонический ряд. (см. пример 11)
Слайд 39 Рассмотренные признаки сходимости (есть и другие) рядов с положительными членами позволяют
Необходимые навыки приобретаются на практике!
