Теория кривых. Сопровождающий трехранник презентация

В любой точке кривой имеется бесконечно много нормалей.

Определение: нормаль кривой, параллельная вектору

называется главной нормалью.

Определение: нормальной плоскостью кривой в точке Р
называется плоскость, содержащая все нормали
в данной точке.

(9) – направляющий вектор бинормали.

(9)

Определение: нормаль, перпендикулярная главной нормали,
называется бинормалью.

Определение: плоскость, содержащая касательную и главную
нормаль в данной точке кривой, называется
соприкасающейся плоскостью.

Определение: нормальная, соприкасающаяся и спрямляющая
плоскости являются гранями сопровождающего
трехгранника кривой в данной точке.

при

- бесконечно малый касательный вектор.

займёт своё предельное

положение и станет касательной к кривой в точке с параметром t.

Поэтому предельное значение вектора

- это касательный

вектор к кривой в точке с параметром t :

(4)

Касательный вектор

определяет направление перемещения

точки вдоль кривой для данного значения параметра t.

t до точки с параметром t+Δt.

.

- касательный вектор;

тогда

, следовательно, можно написать в силу

пропорциональности координат:

- уравнение касательной в натуральной параметризации.

,в силу утверждения 1

раздела «Векторный анализ».

- точки на кривой,

- радиус вектор точек на главной нормали,

тогда

, следовательно, в силу пропорциональности

координат можно записать:

(10)

(10) – уравнение главной нормали в натуральной параметризации.

,

имеет координаты:

- радиус-вектор точек на бинормали,

- вектор бинормали,

- точки на кривой, тогда

,

- направляющий вектор касательной,

- точки на кривой.

Тогда

, следовательно:

распишем это уравнение по координатам:

(12)

(12) – уравнение нормальной плоскости в натуральной
параметризации.

тогда

, распишем

1 способ:

, следовательно,

уравнение по координатам:

(13)

(13) – уравнение соприкасающейся плоскости в натуральной
параметризации.

Тогда из определения соприкасающейся плоскости следует, что

вектора касательная

и главная нормаль

лежат в

соприкасающейся плоскости, тогда вектора

должны

быть компланарны, следовательно:

Распишем по координатам:

- уравнение соприкасающейся плоскости в натуральной
параметризации.

Тогда

, следовательно выполняется условие

Распишем это уравнение по координатам:

,

(14)

(14) – уравнение спрямляющей плоскости в натуральной
параметризации.

лежит в соприкасающейся плоскости кривой в данной

точке.

Доказательство:

, тогда

.

Рассмотрим вектор

следовательно, вектор

,

лежит в плоскости векторов

,

т.е. в соприкасающейся плоскости.

Ч.т.д.

(15) – направляющий вектор бинормали.

- направляющий вектор касательной.

(16)

(16) – направляющий вектор главной нормали.

(17)

(17) – правая тройка векторов.

выход

, называется главной

нормалью.

, называется главной

нормалью.

, называется главной

нормалью.

, называется главной

нормалью.