Стаціонарні випадкові процеси презентация

Содержание

Стаціонарні випадкові процеси

Слайд 1Стаціонарні випадкові процеси
Підготував:
Студент групи ПМ-3
Куценко Олександр

Слайд 2Стаціонарні випадкові процеси

Слайд 3Стаціонарні випадкові процеси
 
 
 
 

Слайд 4Основні характеристики стаціонарних випадкових процесів
Означення. Строга математична модель безперервного випадкового процесу

припускає, що він протікає у часі від мінус нескінченності до плюс нескінченності, тобто t∈(-∞, ∞). А ту його частину x*(t), яку вдалося у якийсь спосіб зафіксувати, називають реалізацією випадкового процесу x(t).

 

Перша із цих властивостей означає, що графік функції розподілу безперервної випадкової величини X є безперервною зростаючою зі зростанням аргументу x кривою.

Друга властивість означає, що випадкова величина X не може мати значень, менших від мінус нескінченності.

Слайд 5Основні характеристики стаціонарних випадкових процесів
Всі ці властивості є справедливими і для

дискретної випадкової величини, але слід пам’ятати, що графік її функції розподілу має східчасту форму(рис.1.).

Третя властивість означає, що випадкова величина X не може мати значень, більших від плюс нескінченності.

А четверта властивість означає, що для знаходження ймовірності потрапляння випадкової величини X у проміжок значень [x1, x2) достатньо взяти різницю значень її функції розподілу F(x) на границях цього проміжку.

Слайд 6Основні характеристики стаціонарних випадкових процесів
Рис.1. Графік функції F(x) розподілу дискретної випадкової

величини X за умови, що величина X здатна набувати лише одне із п’яти значень x1, x2, x3, x4, x5

Слайд 7Основні характеристики стаціонарних випадкових процесів
 
 
 

Слайд 8Основні характеристики стаціонарних випадкових процесів
 
У класі стаціонарних випадкових процесів X(t) виділяють

підклас ергодичних, для яких усереднення на множині значень x дає той же результат, що й усереднення в часі t.

 

Слайд 9Основні характеристики стаціонарних випадкових процесів
Але у практиці розрахунків використовуються дещо інші

формули:

 

за якими знаходяться статистична оцінка mx* математичного очікування mx ергодичного випадкового процесу X(t) та статистична оцінка Dx* дисперсії Dx цього процесу з використанням однієї, але достатньо інформативної реалізації x*(t) випадкового процесу X(t), зафіксованої на відрізку часу T.

Оцінки mx* та Dx* теж є випадковими величинами, залежними від довжини T реалізації x*(t), але, зрозуміло, що дисперсія цих оцінок є набагато меншою у порівнянні із дисперсією процесу X(t) і з ростом T наближається до нуля.

Слайд 10Основні характеристики стаціонарних випадкових процесів

Слайд 11Стаціонарно зв'язані випадкові функції
Означення. Стаціонарно зв'язаними називають дві випадкові функції X(t)

і Y(t), якщо їх взаємна кореляційна функція залежить тільки від різниці аргументів τ=t2 – t1:
Rxy(t1,t2) = rxy(τ).

Взаємна кореляційна функція стаціонарно зв'язаних випадкових функцій має наступну властивість:
rxy(τ) = ryx (-τ).

Слайд 12Диференціювання стаціонарного випадкового процесу
 
Теорема. Перша похідна від стаціонарного процесу, є стаціонарним

випадковим процесом.

Всі умови Хінчина виконуються. Тобто диференціювання стаціонарного процесу приводить до стаціонарного процесу.

Слайд 13Інтегрування стаціонарного випадкового процесу

Слайд 14Інтегрування стаціонарного випадкового процесу
 
Доведення
 
 
Що і треба було довести.

Слайд 15Кореляційні функції та спектральні густини стаціонарних випадкових процесів
Для оцінювання лінійного зв’язку

між двома значеннями x1, x2 випадкового процесу X(t) у момент часу t1 та t2 математики ввели таку характеристику, як кореляційна функція Kx(t1, t2), яку визначають як

 

де f(x1,x2,t1,t2) — двовимірна густина ймовірностей випадкового процесу X(t), котра визначається у моменти часу t1,t2, відносно яких випадковий процес X(t) можна розглядати як систему двох випадкових величин X1 та X2, значеннями x1 та x2 яких є значення x(t1), x(t2) реалізацій випадкового процесу, зафіксовані у моменти часу t1, t2:

 

Слайд 16Кореляційні функції та спектральні густини стаціонарних випадкових процесів
F(x1,x2,t1,t2) — двовимірна функція

розподілу ймовірностей випадкового процесу X(t), яка задає значення ймовірності того, що у момент t1 викону- ється нерівність X1 ≤ x1, а у момент t2 виконується нерівність X2 ≤ x2, тобто

 

Формула (*) грає не стільки практичну, скільки загальнотеоретичну роль, оскільки на практиці ніхто не проводить оцінювання функцій f(x1,x2,t1,t2) та F(x1,x2,t1,t2) за експериментальними даними.

Слайд 17Кореляційні функції та спектральні густини стаціонарних випадкових процесів
Формула (*) навіть у

теоретичному плані спрощується для стаціонарного випадкового процесу X(t), для якого двовимірна густина f та функція розподілу F ймовірностей залежать не від конкретних значень t1, t2 моментів часу t, а лише від їх різниці τ = t1 - t2, тобто

 

З урахуванням (**), формула для кореляційної функції стаціонарного випадкового процесу X(t) набуває вигляду:

 

Слайд 18Кореляційні функції та спектральні густини стаціонарних випадкових процесів
Але і формулу (•)

у практичних розрахунках теж не використовують, оскільки оцінку двовимірної густини ймовірностей f(x1,x2,τ) за експериментальними даними визначати непросто.

 

Очевидно, що чим більшим є значення T, тим точніше оцінка Kx*(τ) відображає кореляційну функцію Kx(τ).

Слайд 19Кореляційні функції та спектральні густини стаціонарних випадкових процесів
 
 
який констатує той факт,

що кореляційна функція випадкового процесу є симетричною відносно осі ординат.

 

Слайд 20Кореляційні функції та спектральні густини стаціонарних випадкових процесів

Слайд 21Кореляційні функції та спектральні густини стаціонарних випадкових процесів
 
Рис.2. Приклади графіків кореляційних

функцій ергодичних випадкових процесів

Слайд 22Кореляційні функції та спектральні густини стаціонарних випадкових процесів
Для характеристики усередненого лінійного

зв’язку між значеннями випадкового процесу X(t) у часовому перерізі t1 та випадкового процесу Y(t) у часовому перерізі t2 (рис.3.) математики вводять таку характеристику, як взаємна кореляційна функція Kyx(t1,t2), для якої справедливим є вираз

 

відповідно, двовимірні взаємні густина f та функція розподілу F ймовірностей процесів X(t) та Y(t).

Слайд 23Кореляційні функції та спектральні густини стаціонарних випадкових процесів
Рис.3. Графіки реалізацій x*(t),

y*(t) взаємопов’язаних випадкових процесів X(t), Y(t), зафіксованих на проміжку часу T

Слайд 24Кореляційні функції та спектральні густини стаціонарних випадкових процесів
Для стаціонарних випадкових процесів

X(t) та Y(t) за аналогією з (◊),(**),(•) маємо:

 

а для ергодичних випадкових процесів за аналогією з (••), (◊◊):

 

Слайд 25Кореляційні функції та спектральні густини стаціонарних випадкових процесів
 
тоді отримаємо іншу характеристику

стаціонарного випадкового процесу, яку називають його спектральною густиною Sx(ω), оскільки вона характеризує щільність спектра частот гармонічних складових з випадковими значеннями амплітуди і фази, сукупністю яких можна задати даний процес.

 

Слайд 26Кореляційні функції та спектральні густини стаціонарних випадкових процесів
 
 

Слайд 27Кореляційні функції та спектральні густини стаціонарних випадкових процесів
На рис.4. показані два

графіки кореляційних функцій Kx(ω) при σx2 = 1 та α = 1 і α = 2 (рис.4, а), а також два графіки спектральних густин Sx(ω) для цих же значень σx2 і ω (рис.4., б).

Рис.4. Приклади графіків кореляційних функцій Kx(τ) стаціонарних випадкових процесів та їх спектральних густин Sx(ω)

а б

Слайд 28Кореляційні функції та спектральні густини стаціонарних випадкових процесів
Перетворюючи за Фур’є взаємну

кореляційну функцію Kxy(ω) стаціонарних випадкових процесів X(t) та Y(t), отримаємо взаємну спектральну густину Syx(jω) цих процесів, тобто

 

 

Слайд 29Кореляційні функції та спектральні густини стаціонарних випадкових процесів
Особливу роль під час

аналізу випадкових процесів має стаціонарний процес X(t) з нульовим середнім mx = 0, жодна із гармонічних складових якого не корелюється ні з якою іншою складовою, крім самої себе.

 

 

Якщо підставити (58) у (55), то отримаємо:

Слайд 30Кореляційні функції та спектральні густини стаціонарних випадкових процесів
 
 
 

Слайд 31Властивості кореляційної функції стаціонарної функції

Слайд 32Нормована кореляційна функція стаціонарної функції

Слайд 33Кореляційна функція похідної та інтеграла стаціонарної функції

Слайд 34Кореляційна функція похідної та інтеграла стаціонарної функції

Похожие презентации

urok matematiki 222
Умножение дроби на натуральное число 315
Аналитические функции распределения, используемые в гидрологии (лекция 3) 444
Векторная алгебра 555
Построение сечений многогранника 269
Acrsin. Решение уравнений sint=a 238

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика