либо некоторое событие A наступит (с вероятностью p),
либо событие A не наступит (с вероятностью
Такие испытания впервые были изучены Бернулли.
- Главная
- Разное
- Дизайн
- Бизнес и предпринимательство
- Аналитика
- Образование
- Развлечения
- Красота и здоровье
- Финансы
- Государство
- Путешествия
- Спорт
- Недвижимость
- Армия
- Графика
- Культурология
- Еда и кулинария
- Лингвистика
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Маркетинг
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Схема независимых испытаний Бернулли презентация
Содержание
- 1. Схема независимых испытаний Бернулли
- 2. Пример. Производится 4 выстрела по мишени. Вероятность
- 3. Так как испытания независимы, то и т.д.
- 4. Теорема 1. Вероятность того, что в n
- 5. Доказательство. Рассмотрим событие, состоящее в том, что
- 6. Число таких исходов (в n испытаниях событие
- 7. Замечание. Вероятность того, что событие A появится
- 8. Пусть в схеме Бернулли проводится n испытаний.
- 9. фиксированное меняется При увеличении m
- 10. Если то Если то Пример. Бросаем 10
- 11. Замечание. Пусть проводится n независимых испытаний, в
- 12. п.2. Предельные теоремы в схеме Бернулли.
- 13. Теорема 2 (Пуассона). Пусть в схеме Бернулли
- 14. Доказательство. Так как то Заметим, что
- 15. Поэтому, Замечание. Из
- 16. Пример. В грузовике перевозится 1000 бутылок. Вероятность
- 17. Потоком событий называют последовательность событий, наступающих в
- 18. Потоком называют стационарным, если его интенсивность является
- 19. Поток стационарный, ординарный поток событий с отсутствием
- 20. Пример. Среднее число заказов такси, поступающих на
- 21. Теорема 3 (Локальная теорема Муавра–Лапласа). Пусть в
- 22. Замечание. Значения функции
- 23. Теорема 4 (Интегральная теорема Муавра–Лапласа). Пусть в
- 24. Замечание. Рассмотрим функцию — нормированная функция Лапласа.
- 25. Тогда Поэтому,
- 26. Пример. Цех в среднем выпускает 4% брака.
- 27. Замечание. Пусть событие A в n испытаниях
- 28. Доказательство. Рассмотрим неравенство Тогда Применим теорему 4:
- 29. Замечание. Переходя к пределу при
Пример. Производится 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень поражена 2 раза. Решение. Пусть Тогда
Слайд 1§4. Схема независимых испытаний Бернулли
п.1. Формула Бернулли.
Пусть проводится серия независимых испытаний,
в каждом из которых возможно лишь 2 исхода:
Слайд 2Пример. Производится 4 выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле
равна 0,7. Найти вероятность того, что мишень поражена 2 раза.
Решение. Пусть
Тогда
Слайд 3Так как испытания независимы, то
и т.д.
Кроме того события ППНН, ПНПН, …,
ННПП несовместны. Поэтому, по свойству вероятности
Заметим, что количество слагаемых в сумме:
Слайд 4Теорема 1.
Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится
ровно m раз, если вероятность появления события A в каждом из них равна p, находится по формуле:
— формула Бернулли.
Слайд 5Доказательство.
Рассмотрим событие, состоящее в том, что A появится в первых m
испытаниях и не появится в остальных испытаниях:
Так как испытания независимы, то по теореме умножения вероятность этого события равна
Кроме того, вероятность появления события A снова m раз но в другом порядке будет той же:
Слайд 6Число таких исходов (в n испытаниях событие A появится m раз
в определенном порядке) равно количеству способов разместить m множителей равных p по n местам, т.е.
Так как рассматриваемые исходы несовместны, то по свойству сложения вероятностей искомая вероятность равна:
Слайд 7Замечание.
Вероятность того, что событие A появится от до раз
включительно, равна:
Пример. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах мишень поражена не менее 3 раз.
Решение.
Слайд 8Пусть в схеме Бернулли проводится n испытаний.
Вероятность наступления события A в
каком количестве испытаний будет самой высокой? (Какое наивероятнейшее число появлений события A?).
Найдем отношение:
Слайд 9
фиксированное
меняется
При увеличении m от 0 до n вероятность сначала растет, а
затем убывает.
Таким образом, существует такое число
при котором вероятность достигает максимального значения (наивероятнейшее число).
Слайд 10Если
то
Если
то
Пример. Бросаем 10 раз кубик. Рассмотрим событие
Найти наивероятнейшее число появлений события
A.
Решение.
Слайд 11Замечание.
Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых возможно наступление
равно одного из k событий причем в каждом испытании
Тогда вероятность того, что появится раз,
появится раз, …, появится раз, находится по формуле
Слайд 12п.2. Предельные теоремы в схеме Бернулли.
Вычисления в схеме Бернулли при больших
n проводятся с помощью приближенных формул.
Слайд 13Теорема 2 (Пуассона).
Пусть в схеме Бернулли
число испытаний n неограниченно возрастает,
вероятность
p неограниченно уменьшается,
произведение является постоянной величиной.
Тогда для любого фиксированного m справедлива формула
— формула Пуассона.
Слайд 15
Поэтому,
Замечание.
Из теоремы 2 следует приближенная формула
Ее обычно применяют, когда n велико,
p мало,
Слайд 16Пример. В грузовике перевозится 1000 бутылок. Вероятность того, что в дороге
разобьется одна бутылка равна 0,001. Найти вероятность того, что: 1) разобьются равно 3 бутылки, 2) разобьется не более 3 бутылок.
Решение.
Применим формулу Пуассона.
1)
2)
Слайд 17Потоком событий называют последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени.
Пример.
Поток посетителей ресторана,
поток звонков на телефонную станцию,
поток обслуживания абонентов.
Интенсивностью потока называют среднее число событий, появляющихся в единицу времени.
Слайд 18Потоком называют стационарным, если его интенсивность является постоянной величиной, т.е.
Потоком называют
ординарным, события появляются не группами, а по одиночке.
Говорят, что потоком обладает свойством отсутствия последствия, если вероятность появления событий на любом участке времени не зависит от того, сколько событий появилось на любом другом, непересекающимся с ним участке («будущее» не зависит от «прошлого»).
Слайд 19Поток стационарный, ординарный поток событий с отсутствием последствий называется простейшим (пуассоновским).
Вероятность
появления m событий простейшего потока за время t продолжительностью находится по формуле
Слайд 20Пример. Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт за одну
минуту, равно 3. Найти вероятность того, что за 2 минуты поступит 4 вызова.
Решение.
Слайд 21Теорема 3 (Локальная теорема Муавра–Лапласа).
Пусть в схеме Бернулли
число испытаний n неограниченно
возрастает,
вероятность постоянна.
Тогда
где
— функция Гаусса.
Слайд 22Замечание.
Значения функции находят по специальной таблице, при
этом учитывая, что
Пример. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,7. Найти вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена 160 раз.
Решение.
Слайд 23Теорема 4 (Интегральная теорема Муавра–Лапласа).
Пусть в схеме Бернулли
число испытаний n неограниченно
возрастает,
вероятность постоянна.
Тогда
Слайд 24Замечание.
Рассмотрим функцию
— нормированная функция Лапласа.
Значения этой функции находят по специальной таблице,
при этом учитывая, что
Слайд 26Пример. Цех в среднем выпускает 4% брака. Приемщик проверяет партию из
200 изделий. Если в ней окажется более 10 бракованных изделий, то вся партия бракуется. Какова вероятность того, что партия будет принята?
Решение.
Слайд 27Замечание.
Пусть событие A в n испытаниях появилось m раз.
Тогда вероятность отклонения
относительной частоты от вероятности p можно найти по формуле:
Слайд 29Замечание.
Переходя к пределу при в
равенстве
получим
— закон больших чисел (одна из формулировок).
