Применение производной к исследованию функций. Готовимся к ЕГЭ. (Задание 7) презентация

y = f /(x)

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

4
3
2
1

-1
-2
-3
-4
-5

y

x

Найдем точки, в которых f /(x)=0 (это нули функции).

+

–

–

+

+

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

4
3
2
1

-1
-2
-3
-4
-5

y

x

+

–

–

+

+

Исследуйте функцию у =f (x) на экстремум и укажите количество ее точек минимума.

4 точки экстремума

Ответ:
2 точки минимума

-8

8

Ответ: xmax = – 5

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-8

8

Ответ: 3.

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

-8

8

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Ответ:
(–8; –5], [ 0; 3], [ 6; 8)

-8

8

В точках –5, 0, 3 и 6
функция непрерывна, поэтому при записи промежутков возрастания эти точки включаем.

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Сложим целые числа:
-7, -6, -5, 0, 1, 2, 3, 6, 7

-8

8

(–8; –5], [ 0; 3], [ 6; 8)

Ответ: 1

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Ответ: 5.

-8

8

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Ответ: – 4.

-8

8

На отрезке [– 4; –1] функция у =f (x) убывает, значит, наибольшее значение на данном отрезке функция будет принимать в точке – 4.

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Ответ: – 1.

-8

8

На отрезке [– 4; –1] функция у =f (x) убывает, значит, наименьшее значение на данном отрезке функция будет принимать в конце отрезка точке х= – 1.

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Ответ: 3.

-8

8

На отрезке [ 0; 3] функция у =f (x) возрастает, значит, наибольшее значение на данном отрезке функция будет принимать в конце отрезка точке х=3.

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

Ответ: 3.

-8

8

Наибольшее значение на отрезке [ 1; 4] функция у =f (x) будет принимать в точке максимума х=3.

y = f /(x)

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

4
3
2
1

-1
-2
-3
-4
-5

y

x

+

–

y = f /(x)

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

4
3
2
1

-1
-2
-3
-4
-5

y

x

+

+

–

y = f /(x)

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

4
3
2
1

-1
-2
-3
-4
-5

y

x

+

На рисунке изображен график производной функции у =f /(x),
заданной на промежутке [-5;5]. Исследуйте функцию у =f (x) на
монотонность и укажите наибольшую точку максимума .

y = f /(x)

+ + +
- - -

Из двух точек максимума наибольшая хmax = 3

+

–

y = f /(x)

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

4
3
2
1

-1
-2
-3
-4
-5

y

x

+

–

+

+

–

1 2 3 4 5 6 7

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

4
3
2
1

-1
-2
-3
-4
-5

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

y

x

-9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7 8

В8. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (-9; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции  положительна.

y = f (x)

y

x

5
4
3
2
1

-1
-2
-3
-4

1). f/(x) > 0, значит, функция возрастает. Найдем эти участки графика.

2). Найдем все целые точки на этих отрезках.

Ответ: 8.

Решение:

-9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7 8

В8. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (-5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции  отрицательна.

y = f (x)

y

x

5
4
3
2
1

-1
-2
-3
-4

1). f/(x) < 0, значит, функция убывает. Найдем эти участки графика.

2). Найдем все целые точки на этих отрезках.

Ответ: 5.

Решение:

-9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7 8

В8. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной на интервале (-6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции  отрицательна.

y = f (x)

y

x

5
4
3
2
1

-1
-2
-3
-4

1). f/(x) < 0, значит, функция убывает. Найдем эти участки графика.

2). Найдем все целые точки на этих отрезках.

Ответ: 8.

Решение:

y = f(x)

y

x

a

b

y = f(x)

y

x

-7

-7

y = f(x)

y

x

-6

-7

.

В этой точке производная НЕ существует!

х

х0

у

1). Угол, который составляет касательная с положительным направлением оси Ох, острый. Значит, значение производной в точке х0 положительно.

Решение:

2). Найдем тангенс этого угла. Для этого подберем треугольник с катетами-целыми числами. Этот треугольник не подходит.

Можно найти несколько удобных треугольников, например,….

3). Найдем тангенс угла – это отношение 9:6.

Ответ:1,5

O

х

х0

у

O

1). Угол, который составляет касательная с положительным направлением оси Ох, тупой. Значит, значение производной в точке х0 отрицательно.

Решение:

2). Найдем тангенс смежного угла. Для этого подберем треугольник с катетами-целыми числами. Этот треугольник не подходит.

Можно найти несколько удобных треугольников.

3). Найдем тангенс угла – это отношение 3:4.

х0

Геометрический смысл производной: k = tg α
Угол наклона касательной с осью Ох острый, значит k >o.
Из прямоугольного треугольника
находим tgα = 4 : 4 =1,к=1

х0

Геометрический смысл производной: k = tg α
Угол наклона касательной с осью Ох тупой, значит k < o.
Из прямоугольного треугольника
находим tgα = 6 : 3 =2. Значит, k= -2