Политехническая олимпиада по математике презентация

Содержание

9 класс, задача № 1 Докажите, что круги, построенные на сторонах выпуклого четырехугольника как на диаметрах, полностью покрывают этот четырехугольник. Справедливо ли это утверждение

Слайд 1ПОЛИТЕХНИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА - 2017




Омский государственный
технический университет
МАТЕМАТИКА
Омск, 16.04.2017

Слайд 2
9 класс, задача № 1






Докажите, что круги, построенные на сторонах выпуклого

четырехугольника как на диаметрах, полностью покрывают этот четырехугольник. Справедливо ли это утверждение для треугольника? Для произвольного выпуклого пятиугольника?

Возьмем произвольную точку Р внутри выпуклого четырехугольника ABCD и соединим ее с вершинами четырехугольника.

Тогда


Решение

Слайд 3
9 класс, задача № 1







Для любого треугольника это утверждение также справедливо.

Доказательство такое же, как для 4-угольников.

Слайд 4
9 класс, задача № 1
Из правильности следует

Таким образом, точка Р не

принадлежит ни одному из кругов, построенному на сторонах как на диаметрах.

Действительно, рассмотрим правильный пятиугольник и возьмем точку Р центр пятиугольника, соединив точку Р с вершинами.

Для пятиугольников это утверждение несправедливо.


Слайд 5

9 класс, задача № 2






Способ 1.






целое число


Решение

Слайд 6
9 класс, задача № 2

Способ 2.
Применим алгоритм Евклида


Таким образом, остаток

от деления всегда есть.

Решение


Слайд 7
9 класс, задача № 3
Решение

Слайд 8
9 класс, задача № 4
Параллелограмм определяется двумя парами параллельных прямых, соответственно,

из первого и второго семейств.

Решение

Слайд 9
9 класс, задача № 4



параллелограммов
Ответ

Слайд 10
9 класс, задача № 5; 10 класс, задача № 2








Решение

Слайд 11
9 класс, задача № 5
Тогда решение возможно при
Положим для определенности




Найдем максимальный вес нового сплава.

Воспользуемся




Слайд 12
9 класс, задача № 5
Тогда возможны 3 случая:
Предположим, что



Слайд 13
9 класс, задача № 6
Решите систему уравнений


Возводим второе уравнение в квадрат



Вычтем полученное уравнение из первого уравнения системы и получим










Решение

Слайд 14
9 класс, задача № 6





Проверка показывает, что все четыре пары чисел

являются решениями заданной системы.

Ответ

Слайд 15
10 класс, задача № 1






Возьмем произвольную точку Р внутри выпуклого четырехугольника ABCD и соединим ее с вершинами четырехугольника.

Тогда


Решение

Слайд 16
10 класс, задача № 1







Для любого треугольника это утверждение также справедливо.

Доказательство такое же, как для 4-угольников.

Слайд 17
10 класс, задача № 1
Нет.
Докажем, что существует пятиугольник, для которого

это утверждение несправедливо.

Действительно, рассмотрим правильный пятиугольник и возьмем точку Р центр пятиугольника, соединив точку Р с вершинами.

Из правильности следует

Слайд 18
10 класс, задача № 1

Таким образом, точка Р не принадлежит ни

одному из кругов, построенному на сторонах как на диаметрах.


Слайд 19
10 класс, задача № 3; 11 класс, задача № 5
Сколько цифр

имеет число


С другой стороны,


Решение

Слайд 20
10 класс, задача № 3



31
Ответ

Слайд 21
10 класс, задача № 4
Определите количество решений системы уравнений

Воспользуемся методом

геометрических мест точек.

Решение

Слайд 22
10 класс, задача № 4
Всего возможны 5 вариантов взаимного расположения
этих

геометрических мест точек:



Система имеет 3 решения

Система имеет 4 решения

Слайд 23
10 класс, задача № 4



Система имеет 4 решения

Система имеет 2

решения


Система не имеет решений

Слайд 24
10 класс, задача № 5
Решение

Слайд 25
10 класс, задача № 5

Слайд 26
10 класс, задача № 5

Слайд 27
10 класс, задача № 5
2857
Ответ

Слайд 28
10 класс, задача № 6
Найдите вещественные решения системы










Решение
Ответ

Слайд 29
10 класс, задача № 7
Известно, что на плоскости кратчайшее расстояние между

точками определяется прямой линией, соединяющей эти точки. Кратчайшее расстояние между двумя берегами реки в данном случае – это ширина реки.

Решение

Слайд 30
10 класс, задача № 7
Длина дороги складывается из длин 3 прямолинейных

участков дороги:
1-й участок дороги – от города А до моста (AD),
2-й участок – мост (DC),
3-й участок – от моста до города В (CB);


Слайд 31
10 класс, задача № 7

Ответ

Слайд 32
11 класс, задача № 1
Решение
Докажите, что
а) середины сторон пространственного 4-угольника

являются вершинами параллелограмма;
б) центр параллелограмма есть середина отрезка, соединяющего середины диагоналей 4-угольника.

Слайд 33




11 класс, задача № 1

Слайд 34
11 класс, задача № 2






Возьмем произвольную точку Р внутри выпуклого четырехугольника ABCD и соединим ее с вершинами четырехугольника.

Тогда


Решение

Слайд 35
11 класс, задача № 2







Для любого треугольника это утверждение также справедливо.

Доказательство такое же, как для 4-угольников.

Слайд 36
11 класс, задача № 2
Нет.
Докажем, что существует пятиугольник, для которого

это утверждение несправедливо.

Действительно, рассмотрим правильный пятиугольник и возьмем точку Р центр пятиугольника, соединив точку Р с вершинами.

Из правильности следует

Слайд 37
11 класс, задача № 2

Таким образом, точка Р не принадлежит ни

одному из кругов, построенному на сторонах как на диаметрах.

Слайд 38




11 класс, задача № 2

Слайд 39




11 класс, задача № 2

Осталось доказать, что построенный многоугольник выпуклый.

Слайд 40




11 класс, задача № 3
Решите уравнение














Решение
Ответ

Слайд 41




11 класс, задача № 4
Решение

Слайд 42




11 класс, задача № 4

Слайд 43




11 класс, задача № 4

Слайд 44




11 класс, задача № 4

Слайд 45




11 класс, задача № 6
Решите уравнение







Решение

Слайд 46





11 класс, задача № 6



Получим уравнение














Ответ

Слайд 47




11 класс, задача № 7
Решение

Слайд 48




11 класс, задача № 7
Для этого рассмотрим сумму всех элементов последовательности





(так как суммы в скобках одинаковы)


Слайд 49Спасибо за внимание!

Похожие презентации

Задачи выпуклого программирования 448
Множеества и операции над ними 455
Алгебра логики и таблицы истинности. (лекция 4) 822
Геометрическое тело цилиндр 233
Подготовка к ЕГЭ. Решение задач С2 699
Диаграммы, гистограммы, графики в Excel 398

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика