Отношения следования и равносильности презентация

А(х)⇒В(х), заданный на том же множестве, который ложен лишь при тех значениях х ∈ Х, при которых А(х) истинен, а В(х) ложен.

–двузначное», х ∈ N

А(х)⇒В(х): «Если число х кратно 3, то оно двузначное».

ТА – множество чисел, кратных 3,

ТВ – множество двузначных чисел.

ТА⇒В – множество чисел, не кратных 3 или двузначных

ТА⇒В =

ТА'

∪

ТВ

– двузначное», х ∈ N

А(х)⇒В(х): «Если число х однозначное, то оно двузначное».

ТА – множество однозначных чисел

ТВ – множество двузначных чисел.

ТА⇒В – множество неоднозначных чисел

х кратно 2», х ∈ N

А(х)⇒В(х): «Если число х кратно 4, то оно кратно 2».

ТА – множество чисел, кратных 4

ТВ – множество чисел, кратных 2

ТА⇒В = N

х ∈ Х

Предикат В(х) логически следует из предиката А(х), то есть А(х) ⇒ В(х), тогда и только тогда, когда ТА ⊂ ТВ

«Для того, чтобы число х было кратно 4, необходимо, чтобы оно было кратно 2».

«Для того, чтобы число х было кратно 2 достаточно, чтобы оно было кратно 4».

А(х)⇔В(х), заданный на том же множестве, который истинен лишь при тех значениях х ∈ Х, при которых оба предиката истинны или оба ложны.

предикатов А(х) ⇔ В(х) истинна при всех х ∈Х.

Отношение равносильности

Предикаты А(х) и В(х) равносильны, то есть А(х) ⇔ В(х), тогда и только тогда, когда ТА = ТВ

Пусть даны предикаты А(х) и В(х), х ∈Х.

цифрой 0»

А(х)⇔В(х): «Число х делится на 10 тогда и только тогда, когда его запись оканчивается 0»

ТА – множество чисел, кратных 10,
ТВ – множество чисел, запись которых оканчивается цифрой 0.

ТА = ТВ, значит А(х) ⇔ В(х),
то есть эквиваленция А(х) ⇔ В(х) истинна при всех х ∈ N

чтобы его запись оканчивалась нулем»

не следует, что предикаты, выраженные теми же словами, окажутся равносильными на другом множестве Y.

Пример:
А(х): «Все стороны четырехугольника равны»,
В(х): «Диагонали четырехугольника перпендикулярны».

и достаточно, чтобы его диагонали были перпендикулярны» - истина

и достаточно, чтобы его диагонали были перпендикулярны» - ложь

Теорема - от греч. τεορεμα - представление, зрелище

⇒ В(х), где А(х) и В(х) – предикаты, причем В(х) логически следует из А(х), то есть В(х) обращается в истинное высказывание при всех тех значениях х, при которых А(х) истинен.

А(х) – условие теоремы, В(х) – заключение теоремы.

Теорема может быть сформулирована с помощью слов «если …, то…», «следует», «необходимо», «достаточно», а также без использования этих слов.

в нем равны

Из того, что четырехугольник является прямоугольником следует, что его диагонали равны

Для того чтобы в четырехугольнике диагонали были равны, достаточно, чтобы он был прямоугольником

Для того чтобы четырехугольник был прямоугольником, необходимо, чтобы его диагонали были равны

не формулируется, но всегда подразумевается, и при работе с теоремой ее необходимо выделять).

В рассмотренном выше примере разъяснительная часть следующая: работаем на множестве всех прямоугольников.

называемые правилами и формулами.
Пример: правило деления суммы на число:
«для того, чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое из слагаемых и полученные результаты сложить»
(а + b) : с = а : с + b : с

Условие: а, b и с – целые неотрицательные числа (с ≠ 0), а  с и b  с
Заключение: (а + b) : с = а : с + b : с

теорема противоположная данной

теорема обратная противоположной или
противоположная обратной

само число кратно 9»

В(х) ⇒ А(х):

«Если число кратно 9, то и сумма цифр числа кратна 9»

: «Если сумма цифр числа не кратна 9, то и число не кратно 9»

: «Если число не кратно 9, то и сумма цифр числа не кратна 9»

дизъюнкцию, то чтобы получить теорему противоположную данной и обратную противоположной (противоположную обратной), нужно учитывать правила построения отрицания конъюнкции или дизъюнкции.

И НА 5, ТО ОНО ДЕЛИТСЯ НА 15»

: «Если число не делится на 3 или не делится на 5, то оно не делится на 15»

: «Если число не делится на 15, то оно не делится на 3 или не делится на 5»

⇒ А(х), то их можно объединить в одну А(х) ⇔ В(х), и тогда в формулировке будут использоваться слова «необходимо и достаточно»,
«тогда и только тогда, когда»

равны»

В(х) ⇒ А(х):

«Если в треугольнике углы при основании равны, то треугольник равнобедренный»

достаточно, чтобы в нем углы при основании были равны»
или

«Треугольник будет равнобедренным тогда и только тогда, когда в нем углы при основании будут равны»

ЧТО ОНА СОСТОИТ ИЗ ДВУХ ВЗАИМНО ОБРАТНЫХ ТЕОРЕМ:
А(Х) ⇒ В(Х) И В(Х) ⇒ А(Х),
И, СЛЕДОВАТЕЛЬНО, ЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СВОДИТСЯ К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ДВУХ УКАЗАННЫХ ТЕОРЕМ

равны.
б) Равенство треугольников есть достаточное условие их равновеликости.
2. Для данной теоремы сформулируйте обратную, противоположную и обратную противоположной теоремы : «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны».
3. Покажите, что следующая теорема является объединением двух теорем: «На 5 делятся те и только те числа, запись которых оканчивается цифрой 0 или цифрой 5»