Небесная механика презентация

Содержание

Законы Кеплера • Первый закон Кеплера… и длина эллипса Параметрическое уравнение эллипса x acos y bsin Длина эллипса 2    x 0  L dl

Слайд 1
Небесная механика
Банникова Е.Ю.
2017 ( есть дефекты)

Слайд 2
Законы Кеплера
•
Первый закон Кеплера… и длина эллипса
Параметрическое уравнение эллипса
x acos
y bsin
Длина

эллипса

2

 
x
0


L dl rd

 y d 4aE(e)
2 2


/2


E(e) d 1e

sin
2

-

полный эллиптический интеграл 2-го рода

2

0

Длина окружности

E(0) / 2

L 2a

Слайд 3
Гравитационный потенциал
Материальной точки
•
•
GM
r


Сферической оболочки


GM
r
GM
a


, ra


Sph





,
ra



Внутри сферической оболочки пробная частица находится в

невесомости.
Теорема Ньютона: обобщение на эллипсоидальный слой

Слайд 4
Притяжение пробной частицы внутри сферы:
элементарные соображения
Телесный угол
d dS r1
 dS

r2

2

2

1

2

2
2
F r dm r dS

2
dS r
 
1
1 2
2

F dm r


1

1

2

2

1

2

1

2

M S

F  Const

2
r r

2

Слайд 5
Гравитационный потенциал шара
Потенциал сферы



GM
r
GM
a
a
2

4G , ra



r
Sph


a
r



 4Ga, ra


внутр внешн
сфера сфера






     

внутр
шар

сфера






r

dr
r

r

a

2




 
r dr


внутр
шар

   

4

G






0

r

GM


внутр
шар

 

(3
3
a

a r )

2

2

2

GM
r


внеш
шар


Слайд 6
Гравитационный потенциал шара
Теорема Дирихле



4G, внутри объема
вне объема









2
c
1
r
out


1


  
ra

out
c2
r
 0




 

r

2
r r

r,out0, c 0, c GM  

GM
r

out

2

2










out


G r2

1

2

c
1
r

  

ra 

2

    

r  4 G

inner

c2




  

r

2
r r

3

Слайд 7
Гравитационный потенциал шара
out
inner ra
Учитываем сшивку на границе
потенциала и силы
ra
out
inner

ra
ra
Потенциал шара


GM
r


,

ra



шар






GM

(3
a3

a r ), r a



2

2



2

Слайд 8
Гравитационный потенциал
•
•
Интегрирование по объему
Суммирование по элементарным
составляющим
•
Теорема Дирихле
Сфера, цилиндр, шар….

Слайд 9
Гравитационный потенциал эллипсоида
Теорема Лапласа
Однородные софокусные эллипсоиды притягивают внешнюю точку с силами,
одинаково

направленными, а по величине пропорциональными их массам

F M


x

/

/

F M

x

Теорема Ляпунова
Шар обладает минимальной потенциальной энергий

Слайд 10
Задача Эйлера о двух неподвижных массах
•
•
Гравитационный потенциал сжатого
сфероида эквивалентен потенциалу
стержня мнимой

длины.

Метод эквигравитирующих стержней

Слайд 11
Разложение потенциала в ряд Лапласа

Слайд 12
Задача многих тел
•
Произвольная инерциальная с.к.
 


(0)
R R

(t )



R R




N
R G m

i

i


0




(0)


j

i

i

j

3

R R (t )
i

R
ij

j1

i

0

Порядок системы 6(n+1)

Первые интегралы:










m R  a,

m R  atb

закон движения центра масс

i i

i i

i

i

 


i i

Rm R  I

закон сохранения момента количества движения

i

i

E TU

закон сохранения энергии

tot

В скалярном виде 10 первых интегралов в произвольной инерциальной с.к.

Слайд 13
Задача двух тел:
Произвольная инерциальная с.к.
 
R R
2

1
3






R  Gm

R

(0)

 R (t )

1,2

1,2


0

1

2

R
12




R R
1 2
3


R (t )
1,2 0


R

(0)



1,2

R  Gm

2

1

R

12


m

i i

0

Барицентрическая с.к.

i






m

3
2
m m )

1


G (
G (

 0
 0


1

2

3

1

2

1






m

3
1
m m )

2
3
2



2

2

1

2

Слайд 14
Задача двух тел
Относительная система координат

r



rG(Mm)  0
r
3


r
(0)
(0)
 r(t )
0




r

r(t )

0

Первые интегралы:





rr  I

момент на единицу массы

E  TU

tot

Порядок системы =6, но 4 первых (в скалярах) интегралов. Не хватает…..

Слайд 15
Задача двух тел. Интеграл Лапласа
rI
r3


G(M m)
 


rI
 0
Интеграл Лапласа






r

вектор

Лапласа

rI 

r

Уравнения связи между первыми интегралами



I 0

5

независимых первых интегралов =>

Вектор момента и вектор Лапласа перпендикулярны

задача двух тел в относит с.к.
(система 6-го порядка) сводится к одному
уравнению

2

 

E I
tot

2

2

Слайд 16
Задача двух тел. Орбитальная с.к.


I
h


 r cos
 rsin
m
r
n
M
x







rr





r(rI ) 

r

r

 

I r

2

r

p
ecos

r1



p I

2

e 

Слайд 17
Задача двух тел

Слайд 18
Уравнение Кеплера
n
 (t )
3/2
ecos ) p
dn
r2
n  I


(1
n
2
0
n

1e E
tg 

tg
1e 2

2

Уравнение Кеплера

a3/2

E esinE  n(t )

 
T 2

G(M  m)

Слайд 19
Смещение перигелия Меркурия
Ньютоновское приближение
rg  2
GM
2

du 
dn 
2GMm
2
Em
u 

u
2




c
2
I
2
I
2
Релятивистская задача
2
rgmc2

du 
d


n

m c
2 2
(1

E2
)


r u
g

3

u

2


u 




I

2

I

2

m c
2 4

Максимальное смещение перигелия наблюдается для Меркурия и составляет
43’’ за 100 лет.

Слайд 20
Задача трех тел


2



r
2 r
r
1
1
3
3
r
r
1
2

U
x2ny


1,2
Gm1,2

x
U
y2nx



y
n
2
 
U(x, y,z)
2 (x2
  
y
)

U
2
1
r

r
1

2


z


z

2



2

V 2U C

J

C - интеграл Якоби (интеграл относительной энергии)
J

Слайд 21
Задача трех тел


J
n
2
 
2
V 2U C
U(x, y,z)

(x

 y

) 

2

2

1

2

2

r r

1

2

Поверхности нулевой скорости

2

 2


  

CJ

2

2

2

n (x y )

1

2

r r

1

2

CJ - интеграл Якоби

Слайд 22
Кривые нулевой скорости
m=0.04;
x0=1.179;y0=0;z0=0.0;
Vx0=0.0;Vy0=-0.238;Vz0=0.0;
m=0.04;
x0=1.12;y0=0;z0=0.0;
Vx0=0.0;Vy0=-0.238;Vz0=0.0;

Слайд 23
Точки Лагранжа
L4,L5
x1/ 22
y 3 / 2
r  r 1
1
2
2
1
L1,L2
1/3






2
31
r
2

L3
2
7
12 1

 
r 1
1

Слайд 24
Семейство Хильды
Резонанс 3:2
L3,L4,L5 – афелии астероидов

Слайд 25
Янус и Эпиметей

Слайд 26
Метод Лагранжа оскулирующих элементов

 r
3
r



r  F
возм


F

 F

возм

0

На малом интервале – невозмущенное кеплеровское движения,
соответствующее разным начальным условиям.
Возмущенная орбита является огибающей семейства невозмущенных

Планетные уравнения Лагранжа

Uвозм - возмущающий потенциал

dE



(E ,U )
i

i


 
E (i, , ,e, p, )

j

возм

dt

i

Слайд 27
Метод Лагранжа оскулирующих элементов
Разложение, усреднение U….
Вековые (секулярные) возмущения
Астероид, возмущенный Юпитером
a a
0
e

e  A(cos cos)

0

0



 Bt

0

 Ct

0

Слайд 28
Метод Лагранжа или
метод оскулирующих элементов
dE

(t,E j)
i
i
dt
Для двух планет





A
B



  


 
sin(k M k M )


cos(k M k M )
1 1 2 2

k ,k

k ,k

E E A (t t )



1

2

1

2


k n k n


0

0

0

1

1

2

2

k n k n

k1,k2

1 1

2 2

1 1

2 2

k1,2 – собственная частота движения
планеты и частота возмущающей силы (m2)

A(k ,k )

Периодические возмущения :

Amlp
T

1

2

k n k n

1

1

2 2

2


k n k n

1

1

2 2

Слайд 29
Метод Лагранжа или
метод оскулирующих элементов
•
Резонансные возмущения
Пример – астероид на резонансной орбите

с Юпитером

a 5.20

TA
TJ

2n n

J A

 0.5

J

a 3.27

A

Слайд 30
Метод Лагранжа или
метод оскулирующих элементов
•
Возмущения кеплеровских элементов Юпитер-Сатурн
Пример Юпитер-Сатурн
TJ
TS
2

5
Эксцентриситет орбиты

каждой из планет периодически изменяется
с периодом 70 100лет
Наклонение – 51 000 лет

Слайд 31
Метод Лагранжа или
метод оскулирующих элементов
A(k ,k )
Amlp
1
2
•
Короткопериодические возмущения
k n k

n

1

1

2 2

2
k1n1

k n k n k n



1 1

T

1

1

2 2

Периоды возмущений порядка орбитального периода, амплитуда мала.

•

Долгопериодические возмущения (при малых k1,k2)

k n k n 0

Отношение средних движений =простой дроби

1

1

2 2

n k


1

2
1

- резонансное состояние

n k
2

Слайд 32
Спутник-пастух колец Сатурна
Открытие в 1990г. при анализе
изображений Вояджер-2 (1981г.)
1991г.
– официально назван
в

честь бога пастухов

Расположен внутри люка Энке
и движется почти в плоскости
экватора Сатурна

Слайд 33
Спутник-пастухи Сатурна
Прометей (внутренний)
Пандора (внешний)
Cassini image

Слайд 34
Спутники-пастухи
Cassini's confirmation that a small moon orbits within the Keeler gap

in Saturn's rings is made all the
more exciting by this image, in which the disk of the 7 kilometer-wide body is resolved for the first
time.
The new body, provisionally named S/2005 S1, was first seen in a time-lapse sequence of images
taken on May 1, 2005, as Cassini began its climb to higher elevations in orbit around.
In the vicinity of the little moon, the Keeler gap edges bear striking similarities to the scalloped edges
of the 322 kilometer-wide Encke gap, where the small moon Pan (25 kilometers across) resides.

From the size of the waves seen in the scalloped edges of the Encke gap, imaging scientists were
able to estimate the mass of Pan. They expect to do the same eventually with S/2005 S1.
This image was obtained with the Cassini spacecraft narrow-angle camera on May 2, 2005, at a
distance of about 594,000 kilometers from Saturn.

https://www.nasa.gov/mission_pages/cassini/multimedia/pia06237.html

Слайд 35
Гиперион (спутник перевертыш)
Двуликий… Япет
Cassini images
Спин-орбитальный резонанс

Слайд 36
Астероид Круитни
Орбитальный резонанс с Землей 1:1
Сопутствующая ситема к.
Проекция на эклиптику

Слайд 37
Сечение Пуанкаре
Сечение (отображение) Пуанкаре – отображение проекции
траектории на выделенную плоскость фазового

пространства.

Для траектории на плоскости:

4-

х мерное фазовое пространство

 
x, y,x, y)

(

Одну из переменных можно исключить,
воспользовавшись интегралом Якоби
или полной энергией => 3D фазовое пр-во

(

x, y,x)

Выделяем одну из плоскостей, например, y=0 .

(

x,x)

Т.о. получаем проекцию на фазовую плоскость

Слайд 38
Сечение Пуанкаре
1


2 
y  y
3 
Потенциал Хенона-Хейлиса
U(x, y)

 x

2

 y

2

 2x

2

3


2

E =1/40
tot

N=50 – число частиц

150

периодов

Траектория одной из частиц

150

периодов

Слайд 39
Сечение Пуанкаре
Потенциал Хенона-Хейлиса
1 
U(x, y)  x
2 
y

 y
3 

2

 y

2

 2x

2

3


2


N=50 – число частиц

a few 100 periods

E =1/40
tot

Слайд 40
Сечение Пуанкаре
1


2 
y  y
3 
Потенциал Хенона-Хейлиса
U(x, y)

 x

2

 y

2

2x

2

3


2

E =1/20
tot

Слайд 41
Сечение Пуанкаре
1


2 
y  y
3 
Потенциал Хенона-Хейлиса
U(x, y)

 x

2

 y

2

2x

2

3


2

E =1/12
tot

Слайд 42
Сечение Пуанкаре
1


2 
y  y
3 
Потенциал Хенона-Хейлиса
U(x, y)

 x

2

 y

2

2x

2

3


2

E =1/8
tot

Слайд 43
Сечение Пуанкаре
1


2 
y  y
3 
Потенциал Хенона-Хейлиса
U(x, y)

 x

2

 y

2

2x

2

3


2

E =1/6
tot

Похожие презентации

НТИ ИРС Математика 14 занятие. Решение текстовых задач 329
prezentatsiya poryadok deystviy 240
Графы. Теория графов 989
Эпюр №1. Точка, прямая, плоскость 292
Применение теории графов к решению задач 607
Основные математические положения, применяемые для анализа и построения статистической модели 315

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое ThePresentation.ru?

Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика