Mongeova projekcia презентация

π

ν

x12

1sA

2s

A´1

A1

A2

A2

A1

x12

1s

2sA

Priemety bodu A:
π ∩ 1sA = A´1 – pôdorys bodu A, 1sA: A∈1sA ,1sA ⊥ π,

Združenie priemetní:
π otočíme do ν okolo x, A´1 sa otočí do A1,
A1, A2 – združené priemety bodu A,
platí A1A2 ⊥ x12,
A1A2 – ordinála bodu A.

Definícia: Bijektívne zobrazenie, ktoré každému bodu A∈ Ε3 priradí združené priemety [A1, A2 ], A1A2 ⊥ x12, voláme kolmé premietanie na dve navzájom kolmé priemetne – Mongeova projekcia.

ν ∩ 2sA = A2 – nárys bodu A, 2sA: A∈2sA ,2sA ⊥ ν.

π ⊥ν , π ∩ ν = x, označujeme ju x12 – základnica.

●

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 36

π

ν

x12

A´1

A1

A2

A2

A1

x12

I.

+z ≡ -y

+y ≡ -z

zA

yA

xA

y

z

O

O

xA

yA

zA

Kvadranty: π a ν rozdeľujú Ε3 na 4 kvadranty
I. kvadrant y • 0, z • 0, II. kvadrant y • 0, z • 0,
III. kvadrant y • 0, z • 0, IV. kvadrant y • 0, z • 0.

V združení priemetní: +z ≡ -y, +y ≡ -z

Body priemetní:
P ∈ π ⇒ P1 ≡ P, P2 ∈ x12 , zP = 0

II.

III.

IV.

P1 ≡ P

P2

N2 ≡ N

N1

N ∈ ν ⇒ N1 ∈ x12 , N2, ≡ N, yN = 0

≡ π2 ≡ ν1

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 37

π

ν

x12

a1

x12

a

Konštrukcia nárysného stopníka:
a1 ∩ x12 = Na1 , N2 ∈ a2 .

Pa1 ≡ Pa

Pa2

Na2 ≡ Na

Na1

a2

a1

a2

Pa2

Pa1 ≡ Pa

Na2 ≡ Na

Na1

Konštrukcia pôdorysného stopníka:
a2 ∩ x12 = Pa2 , P1 ∈ a1

a ∩ ν = Na – nárysný stopník priamky a.

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 38

π

x12

x12

a

a1 ≡ Pa1

Pa2

b2 ≡ Nb2

a2

Pa2

Na1

b

b1

a2

a1 ≡ Pa1

b2 ≡ Nb2

b1

●

●

2) b ⊥ ν ⇒ b2 ≡ Nb2 , b1 ⊥ x1.

ν

π

x12

a

a1

b2

a2

b

b1

ν

Na2

Pa1

x12

Pa2 ≡ Na1

b2

b1

●

Pa1

a1 ≡ a2

Na2

3) a ⊥ x ⇒ a1 ≡ a2 ⊥ x12.

4) b ⎟⎜ x ⇒ b1 ⎟⎜ b2 ⎟⎜ x12.

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 39

Na1

Na2

Na2

Pb2

Pa2

Obraz priamok v Mongeovej projekcii

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 40

π

ν

x12

X

Ak priamka leží v rovine a má stopníky, potom jej pôdorysný stopník leží na pôdorysnej a nárysný na nárysnej stope roviny:
P a1 ∈ pα1 , N a2 ∈nα2

α ∩ ν = nα – nárysná stopa roviny α. Ak existuje X = pα ∩ nα , potom X ∈ x.

α

pα1 ≡ pα

nα2 ≡ nα

X

pα1

nα2

a

a1

Pa1

Pa

Na

Pa2

Na2

Na1

a2

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 41

π

x12

x12

α

α 2 ≡ nα2

ν

π

x12

ν

x12

2) β ⎟⎜ x ⇒ pβ1 ⎟⎜ nβ2 ⎟⎜ x12

α 2 ≡ nα2

β

nβ2

pβ1

nβ2

pβ1

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 42

π

x12

α

ν

π

x12

ν

x12

4) β ⊥ ν ⇒ β 2 ≡ nβ2 , pβ1 ⊥ x12

α 1 ≡ pα1

β

β 2 ≡ nβ2

pβ1

pβ1

nα2

●

α 1 ≡ pα1

nα2

●

●

β 2 ≡ nβ2

x12

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 43

π

ν

x12

α

pα1

nα2

pα1

nα2

Nh1

Spádové priamky I. osnovy roviny α: Isα ⊥ Ihα ( pα),
Isα1 ⊥ pα1 , Isα2 = Ps2 N s2.

Ihα

Ihα1

Ihα2

Nh2

Ihα2

Ihα1

Isα

●

●

Isα1

Ps1

Ps2

Isα2

Ns1

Ns2

x12

●

●

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 44

π

ν

x12

α

pα1

nα2

pα1

nα2

Ph2

Spádové priamky II. osnovy roviny α: IIsα ⊥ IIhα (nα)
IIsα2 ⊥ nα2 , IIsα1 = Ps1 N s1

IIhα

IIhα1

IIhα2

Ph1

IIhα2

IIhα1

IIsα

●

IIsα1

Ps1

Ps2

IIsα2

Ns1

Ns2

x12

●

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 45

x12

a1

a2 ≡ Na2

b2 ≡ Nb2

b1

●

a1

a2

b1

b2

x12

x12

a1 ≡ b1

b2 ≡ Nb2

●

a2 ≡ Na2

a2

b2

x12

a1 ≡ b1

Ak sú rovnobežné priamky kolmé na niektorú z priemetní, ich priemetom v nej sú 2 body.

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 46

x12

a1

a2 ≡ Na2

b2

b1

●

a1

a2

b1

b2

x12

a2

b2

x12

a1 ≡ b1

Mimobežné priamky a, b: neplatia predchádzajúce pravidlá pre rovnobežné, ani rôznobežné priamky.

R1

R2

●

x12

a1

a2 ≡ Na2

b2

b1

●

a1

a2

b1

b2

x12

x12

a1

a2

b2

b1

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 47

π

x12

α

ν

π

ν

x12

pα1

nβ2

pβ1

pβ1

nα2

pα1

nα2

nβ2

pβ1

nβ2

β

pβ1

nβ2

β

α

pα1

nα2

2) Rôznobežné roviny:
α ∩ β = m ⇒ Pm = pα ∩ pβ, Nm = nα ∩ nβ2 .

nα2

pα1

m

Nm2

Nm1

Pm1

Pm2

m2

m1

Nm

Pm

x12

x12

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 48

Vzájomná poloha priamky a roviny v Mongeovej projekcii

Všeobecný postup a ∩ α:
Priamkou a preložíme ľubovoľnú rovinu β: a ⊂ β.

π

x12

ν

x12

nβ2

a 1

pα1

nα2

pα1

Nm1

Pm1

Pm2

m2

Pm

α

m

Nm

a

R

a

R

m

β

α

nβ2

Nm2

nα2

a2

R2

R1

Nech m je priesečnica rovín α a β: α ∩ β = m.

Podľa vzájomnej polohy priamok a a m určíme vzájomnú polohu priamky a a roviny α:
a, a ≡ m ⇒ a ⊂ α
b, a ⎟⎜ m ⇒ a ⎟⎜ α
c, a ∩ m =R ⇒ R = a ∩ α

α ∩ β = m : a 1 ≡ pβ1 ≡ m 1 , m2 = Pm2 Nm2

a, a2 ≡ m2 ⇒ a ⊂ α
b, a2 ⎟⎜ m2 ⇒ a ⎟⎜ α
c, a2 ∩ m2 =R2 ⇒ R = a ∩ α

a 1

≡ m 1

≡ pβ1

≡ pβ1

≡ m 1

β

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 49

Viditeľnosť priamky vzhľadom na rovinu v Mongeovej projekcii

π

ν

x12

a 1

pα1

pα1

Pm1

Pm2

m2

Pm

α

m

Nm

a

R

nβ2

nα2

a2

R2

R1

A2 ∈ a2 , Pα2 ∈ x12

zA • zP ⇒ bod A vidíme, teda vidíme polpriamku

a 1

≡ m 1

≡ pβ1

≡ pβ1

≡ m 1

≡ A1

A2

A

A´2 ≡ N2

A´1

N1

Viditeľnosť nárysu: Porovnávame bod na priamke a v rovine, ktorých nárysy sú totožné a viditeľný je ten, ktorý má väčšiu y-ovú súradnicu:
1. a 2 ∩ n α2=A´2 ≡ N2, A´ ∈ a, N ∈ n α ,

A´1 ∈ a1 , N1 ∈ x12 ,

3. yA´ • zN ⇒ bod A vidíme, teda vidíme polpriamku

x12

nβ2

β

nα2

Vajsáblová, M.: Deskriptívna geometria pre GaK 50